基础与能力并举 经典与创新共舞*——2017年浙江省数学高考试卷评析

●郑日锋

(学军中学,浙江 杭州 310012)



基础与能力并举 经典与创新共舞*
——2017年浙江省数学高考试卷评析

●郑日锋

(学军中学,浙江 杭州 310012)

文章对2017年浙江省数学高考卷的特点、命题规律及命题的变化进行分析，指出试卷对教学的启示．

试题特色；文理合卷；核心素养；复习教学

2017年是浙江省高考改革后的第一年，较往年最大的不同是采用文理合卷．2017年浙江省数学高考试卷依然坚持“起点低、坡度缓、层次多、区分好”的命题思路和命题风格，严格遵循国家课程标准、省教学指导意见及省考试说明，充分考虑文理合卷，试题起点低，角度宽，既系统、全面地考查了高中数学的基础知识和基本技能，又多层次地考查了数学素养和学习潜能．试卷有较好的信度、效度与区分度，难度较前两年有所下降，有利于高校选拔人才，并对高中数学教学具有良好的导向作用，可谓“基础与能力并举，经典与创新共舞”．

1 试题特色

1.1 注重基础，体现人文关怀

试卷充分考虑到文理合卷的特点，从学科整体和思维价值的高度设计试题，体现人文关怀．试卷全面覆盖了中学数学教材中的主干知识模块，对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，层次分明．命制的试题既让基础薄弱的学生可动笔，不致于望题兴叹，也让优秀学生感觉并不是那么容易，全卷没有偏难题，绝大部分试题入口宽，不同层次的学生会有不同的认识，但方法选择不当会导致耗时较多或出错．

立足课本.试卷中第1～4，6，7，11～14，18题以及第19题第1)小题、第20题第1)小题、第21题第1)小题，都来源于课本，或从课本中的例、习题直接改编而来,体现了数学试题的基础性．

考查概念.如第5题考查函数的极差，第6题考查等差数列的定义，第7题考查函数的单调性与导函数的符号的关系，解决这些试题只需概念清楚，无需多动笔．

降低起点.如第1～3，11，12，18题考查的知识点单一，考生如熟悉基本知识、基本方法，解决这些问题可以做到既快又对．

注重通法.试卷充分考虑了解题方法的大众化与常规化，不在冷僻的技巧上设置问题．努力贴近学生在通性通法上下功夫，大部分试题中规中矩、不偏不怪，材料背景熟悉，设问方式常规，解题方法基本，和平时教学匹配度高，在考基础、通性、通法上体现得浓墨重彩、淋漓尽致.同一个问题，可以有多个视角，进而可用多种方法，可以有效区分不同层次的学生的数学水平和能力，如第19题立体几何题既可用空间向量法解，也可用传统综合法解．

例1 已知向量a,b满足|a|=1，|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是______,最大值是______.

(2017年浙江省数学高考试题第15题)

思路1 利用向量加减法几何意义及重要不等式，得

|a+b|+|a-b|≥2|a|,

|a+b|+|a-b|≥2|b|,

从而 |a+b|+|a-b|≥2max{|a|,|b|}=4，

当且仅当a,b共线时，等号成立，故|a+b|+|a-b|的最小值是4.由

思路2 利用向量的坐标表示及三角函数知识，设a=(1,0),b=(2cosθ,2sinθ),则

|a+b|+|a-b|=

从而

16≤t2≤20,

设置台阶，选择题、填空题、解答题都分别由浅入深，每一道解答题分层设计，前一小题的解决为后面的小题作铺垫，逐步化解难点，拾级而上，即便压轴题也是如此．

1．2 能力立意，聚焦核心素养

试卷在考查数学基础知识和基本技能的基础上，注重数学思想方法、数学能力的考查，突出数学本质，检测学生的数学理性思维及数学核心素养．

(2017年浙江省数学高考试题第17题)

本题表面上是已知含参数函数的最大值，求参数的范围问题，本质是函数图像的对称性问题．

此方法需要学生运用观察、类比、化归的策略，考查了学生直观想象、数学抽象、数学建模等数学核心素养．解决此题还可用通常的方法,如直接求f(x)的最值(分3种情况a≥5，a≤4，4

( )

A．γ<α<βB．α<γ<β

C．α<β<γD．β<γ<α

(2017年浙江省数学高考试题第9题)

此题要求比较三棱锥D-PQR的3个面与底面所成二面角的平面角的大小，过点D作DO⊥平面ABC,垂足为O,则O为正△ABC的中心.分别设O到直线PR,PQ,QR的距离为d1,d2,d3，则

问题可转化为比较d1,d2,d3的大小．

图1 图2

如图2，由已知得点P,O,C共线，∠RQC=90°，∠ROC=90°,故点R,O,Q,C共圆，于是∠ORQ=30°,∠PRO>30°,因此d1>d3.同理可得d3>d2,从而

d1>d3>d2, tanα

即

α<γ<β.

故选B．

本题将空间问题平面化，这是解决立体几何问题的基本策略，如能画出比较准确的图形，利用直观也可得出结论(但要严格论证需要有较深厚的平面几何功底)，考查了学生直观想象、推理论证等数学核心素养．

图3

1)求直线AP斜率的取值范围；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省数学高考试题第21题)

本题是一道解析几何求变量的取值范围或最值问题，考查坐标化思想、数形结合思想、函数思想及转化思想，试题常规而不落俗套．

分析 1)直接利用经过两个点的直线斜率公式，得直线AP的斜率为

2)关键是|PQ|的计算.根据题目给出的信息，利用勾股定理计算|PQ|较简便．

|PA|·|PQ|=(k+1)3(1-k).

此方法利用勾股定理，避免了求点Q的坐标带来的繁杂运算，也可利用向量法：

以上各种方法回避了韦达定理，借助图形的性质或向量，减少了运算量，因此也是规避题海的一个典例，考查了学生的数学建模、直观想象、数学运算等数学核心素养．

此外，试卷在数学知识的应用上也做足了文章，第20～22题都考查了导数的应用，凸显了导数应用的广泛性，考查了学生综合运用数学知识、思想和方法解决问题及数学建模等能力．

1．3 演绎经典，彰显鲜明特色

将以往的浙江省数学高考试题推陈出新，是浙江卷的一贯风格，2017年试卷尤其突出．

例5 已知数列{an}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(xn+1+1)(其中n∈N*).证明：当n∈N*时，

1) 0

(2017年浙江省数学高考试题第22题)

本题给出的递推式中含自然对数，规避了题海，也是2017年试题的一个亮点，背景是泰勒展开式，考查导数的应用及放缩的策略．此题实际上是2006年浙江省数学高考理科压轴题改编而成的．

图4

例6 已知函数f(x)=x3+x2，数列{xn}(其中xn>0)的第一项x1=1，以后各项按如下方式确定：曲线y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))处的切线与经过点(0，0)和(xn,f(xn))的直线平行(如图4)，求证：当n∈N*时，

(2006年浙江省数学高考理科试题第22题)

例5的第3)小题与例6的第2)小题证明的是同一个结论．例6直接从导数的几何意义出发设计问题，而例5隐去了导数的几何意义，需要考生去挖掘，对考生的数学能力来说是挑战．解决此题需综合运用数列、不等式、导数知识及分析、观察、归纳、猜想等能力及思维品质，入口宽，解法多样，能综合检测考生分析问题、解决问题的能力及进一步学习的潜能与潜质．

再如2017年数学高考卷的第7题由2007年理科卷第8题改编而来；第15题由2014年理科卷第8题改编而来；第17题由2008年理科卷第15题改编而来；第21题由2008年理科卷第20题改编而来．如此密集地演绎经典试题，并且都是重点题，创下了历年之最．

2 试题对教学的启示

2017年试题秉承了浙江卷的特点，是文理合卷的一次有益探索，命题设计尽可能地从现实问题或几何背景出发，构造出素材朴实、内蕴丰富的试题，充分体现数学的内在实质．试卷中的题目处处闪现着问题解决的智慧，既加强了概念考查，又突出对学生能力的考查，对课堂教学是一种很好的引导，引导教师、学生避免将大量的精力消耗在盲目套用所谓的解题技巧上．这给我们昭示了一个信息：会思考、具有良好思维品质的考生能考出优异的成绩，也给我们的复习教学诸多启示．

学生缺乏的不是技巧，而是基础．在考试中，不少学生对概念、定理、公理等认识模糊，导致在遇到陌生问题时不知道如何运用所学知识去合理地展开联想，进行有效地探究，选择简便的方法.他们解答了大量的习题，但“大运动量的训练”不能使他们获得思考和解决问题的能力．研究每一章节的典型习题，注重“源”与“本”的关系，才能提高学生对“双基”的灵活运用．

高考试题源于课本与以往的高考试题，这是高考试题公平性的体现，以往的高考试题凝聚了命题教师的心血．可以通过专题的形式分条块进行，引导学生厘清每一条块是怎么考的，答题策略有哪些，蕴藏着哪些规律,问题的本质是什么．

数学重在思维，教学中教师需帮助学生纵横梳理知识和方法，实现知识条理化、有序化、网络化．对重点知识与重点方法，要理解准、透，对难点知识、方法适度开展探究式教学，从基本问题出发，从多角度探索、一题多变、策略提升、建立数学模型展开教学，帮助学生理解数学本质，提升学生的数学核心素养．

�2017-06-11；

2017-07-03

郑日锋(1962-)，男，浙江瑞安人，浙江省特级教师.研究方向：数学教育.

O12

A

1003-6407(2017)08-41-04