具图的Banach空间中G-渐近非扩张映像的不动点定理

万丙晟 沈金良 黄建华

具图的Banach空间中G-渐近非扩张映像的不动点定理

万丙晟1沈金良2黄建华3

（1．福建教育学院报刊社，福建福州350025；2．福州大学至诚学院，福建福州350035；3．福州大学数学与计算机科学学院，福建福州350116）

在Banach空间，文章引进了G-渐近非扩张映像的Mann迭代,并证明了这种迭代的弱收敛和强收敛性，文章的结果改进和推广了前人的结果。

G-渐近非扩张映像；Mann迭代；Banach空间；不动点

一、引言

渐近非扩张映像（或非扩张映像）的不动点理论在许多领域有着广泛的应用，如图像还原和信号处理［1，2，3］。最近，许多研究者利用著名的Mann迭代法、Ishikawa迭代法和许多其他迭代方法研究了G-非扩张映像的渐近不动点的迭代问题或G-单调非扩张映像［4-9］，

2012年，Aleomraninejad等人［7］在具图的Banach空间中，提出了G-压缩和G-非扩张映像的一些迭代性质。2015年，Alfuraidan和Khamsi［8］在具图的度量空间中，定义了G-单调非扩张集值映射的概念。同年，Tiammee等人［9］证明了在具有向图的Banach空间中，G-单调非扩张映射的Browder收敛性。他们也证明了G-非扩张映射Halpern迭代的强收敛性。

受前人研究的启发，文章定义了G-渐近非扩张映像，并证明了在具图的、一致凸的、Banach空间的闭凸子集C中，G-渐近非扩张映像Mann迭代的弱和强收敛定理。

二、预备知识

在本节中，我们回顾一些标准图的概念、定义和术语。

若（X，d）是一个距离空间，△=｛（x，x）∣x∈X｝。G表示一个方向图，V（G）是X的顶点集，E（G）是含所有回路的边界集。假设G不含平行边。对于G=｛V（G），E（G）｝，若对图G中顶点间的距离赋值，则G称为加权图。

定义2．1 G-1表示图G的反向图，即反转图G的边的方向得到的图，这里E（G-1）=｛（x，y）∈X×X∣（x，y）∈E（G）｝。

定义2．2若x和y为图G的顶点，图G中x到y长度为N的路指的是N+1个顶点序列｛xi｝iN=0中：x0= x，xN=y；且（xi，xi+1）∈E（G），其中i=0，1…N-1。

定义2．3图G称为是连通的：即图G中任意两个顶点间都存在通路。

定义2．4若C为Banach空间X的非空闭凸子集，G=｛V（G），E（G）｝为一个方向图且V（G）=C。假设图T：C→C满足下列条件：

（1）T是保边函数

则称T为G-渐近非扩张映像。这里对于任意的x，y∈C，（x，y）∈E（G），且序列

n→∞

定义2．5若C是距离空间（X，d）的子集，T：C→C是一个映像。

（1）如果对于C中的一个序列｛xn｝有lni→m∞d（xn，Txn），存在｛xnj｝∪｛xn｝使得xni→xn∈C，则称T为半紧的［10］。

（2）如果对于C中的每一个序列｛xn｝，xn弱收敛于x0，Txn→0隐含着Tx0=0，则称T为在原点半闭的。

定义2．6一个Banach空间X被称为是满足Opial条件［11］，如果对于E中的每一个序列｛xn｝，若xn弱收敛于x0隐含

被称为满足条件A［12］，如果存在一个不减的函数f：［0，∞）→［0，∞），对于所有的t＞0有f（0）=0且f（t）＞0，使得对所有的x∈C，都有‖x-Tx‖≥f（d（x，F（T））），这里d（x，F（T））=infz∈F（T）‖x-z‖。

引理2．8［13］若对于三个非负序列｛an｝｛bn｝｛δn｝满足：an+1≤（1+bn）an+δn，∨n=1，2…n

引理2．9［14］若X是一个Banach空间，R＞1是一个定数。则X是一致凸的当且仅当存在一个连续的、严格递增的凸函数g：［0，∞）→［0，∞），g（0）=0，使得对所有的x，y∈BR（0）=｛x∈X|‖x‖2≤R｝和λ∈［0，1］都有‖λx+（1-λ）y‖2≤λ‖x‖2+（1-λ）‖y‖2-λ（1-λ）g（‖x-y‖）成立。

引理2．10［15］若X是一个Banach空间，满足Opial条件，且｛xn｝是X中的一个序列。假设对于x，y∈X，使得存在，如果｛xn｝中的两个子列｛xnj

｝和｛xnk｝分别弱收敛与x和y，则x=y。

三、主要结论

在这节中，我们假设C为具有向图的Banach空间中的一个非空闭凸子集，V（G）=C且E（G）是凸的。T: C→C为G-渐近非扩张映像，其中F=Fix（T）非空。｛xn｝为由任意的x1∈C定义的序列：

这里｛αn｝为［0，1］中的一个序列。我们首先证明如下的引理。

引理3．1若z∈F，使得（x1，z），（z，x1）均为E（G）中的边，则（xn，z），（z，xn）也为E（G）中的边。

证明：假设（x1，z），（z，x1）均为E（G）中的边。因为T是保边的，则（Tx1，z），（z，Tx1）也为E（G）中的边。根据E（G）的凸性，可得α1（x1，z）+（1-α1）（Tx1，z），α1（z，x1）+（1-α1）（z，Tx1）均为E（G）中的边。也即（x2，z），（z，x2）为E（G）中的边。再根据E（G）的凸性，可得（x3，z）= α2（x2，z）+（1-α2）（Tx2，z），（z，x3）=α2（z，x2）+（1-α2）（z，Tx2）为E（G）中的边。以此推理，可得（xn，z），（z，xn）均为E（G）中的边。

引理3．2设X为一致凸的Banach空间，C为X的非空闭凸子集。T:C→C为G-渐近非扩张映像，其中F=Fix（T）非空。F受制于x1，且对于每一个z∈F，均有（x1，z），（z，x1）∈E（G）。若｛xn｝为（3．1）定义的序列，满足对某个ab∈（0，1）

证明：（1）因为z∈F，则有‖xn-1-z‖=‖αnxn+（1-αn）Tnxn-z‖=‖αn（xn-z）+（1-αn）（Tnxn-z）‖≤αn‖xn-z‖+（1+αn）kn‖xn-z‖=［1+（1-αn）（kn-1）］‖xn-z‖≤kn‖xn-z‖…（3．2）

接着，由（3，2）和（3，3）可得‖xn-1-z‖≤（1-νn）‖xn-z‖…（3．4）

（2）设z∈F，根据｛xn｝，｛Tnxn｝的有界性，对于所有的n≥1，存在R＞0使得xn-z，Tnxn-z∈BR（0）成立。由xn+1=αnxn+（1-αn）Tnxn，根据引理2．9，可得

定理3．3．设X为一致凸的Banach空间，C为X的非空闭凸子集。T:C→C为G-渐近非扩张映像，其中F=Fix（T）非空。F受制于x1，且对于每一个z∈F，均有（x1，z），（z，x1）∈E（G）。若｛xn｝为（3．1）定义的序列，满足对某个ab∈（0，1则

（1）若X满足Opial条件，且I-T在原点是半闭的，则由（3．1）定义的｛xn｝弱收敛于T的不动点；

j=N

这表明｛xn｝是一个Cauchy列。因而，存在q∈C，使得｛xn｝强收敛于q。再由（3．10）可得：

定理3．4在引理3．2的条件下，如果T是半闭的，则｛xn｝强收敛于T的一个不动点。

定理3．5在引理3．2的条件下，若T满足条件A，则｛xn｝强收敛于T的不动点。

证明：因为T满足条件A，所以fd（xn，F）≤‖xn-Txn‖。再由引理3．2有（xn+1，F）=0。所以，根据引理3．3的第二个结论，可得｛xn｝强收敛于T的一个不动点。

［1］F．E．Browder and W．V．Petryshyn,Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space［J］．J．Math．Anal．20．197-228（1967）．

［2］C．Byrne,A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction［J］．Inverse Problems，20．103-120（2004）．

［3］C．I．Podilchuk and R．J．Mammone,Image recovery by convex projections using a least-squares constraint［J］．Journal of the Optical Society of America，7．517-521（1990）．

［4］Jachymski,J：The contraction principle for mappings on a metric space with a graph［J］．Proc．Am．Math．Soc．136，1359-1373（2008）．

［5］Alfuraidan,MR：Remarks on monotonemultivalued mappings on a metric space with a graph［J］．J．Inequal．Appl．（2015）．doi：10．1186/s13660-015-0712-6．

［6］Alfuraidan,MR：Fixed points of monotone nonexpansive mappings with a graph．Fixed Point Theory Appl．［EB/OL］．（2015）．doi：10．1186/s13663-015-0299-0．

［7］Aleomraninejad,SMA,Rezapour,S,Shahzad,N：Some fixed point result on a metric space with a graph［EB/OL］．（Topol．Appl．159，659-663（2012）．

［8］Alfuraidan,MR,Khamsi,MA：Fixed points of monotone nonexpansive mappings on a hyperbolic metric space with agraph．Fixed Point Theory［EB/OL］．（Appl．（2015）doi：10．1186/s13663-015-0294-5．

［9］Tiammee,J,Kaekhao,A,Suantai,S：On Browder’s convergence theorem and Halpern iteration process for G-nonexpansive mappings in Hilbert spaces endowed with graph．Fixed Point Theory［EB/OL］．（Appl．（2015）．doi：10．1186/s13663-015-0436-9．

［10］Shahzad,N,Al-Dubiban,R：Approximating common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces［J］．Georgian Math．J．13（3），529-537（2006）．

［11］Opial,Z,Weak convergence of successive approximations for nonexpansive mappings［J］．Bull．Amer．Math．Soc．73．591-597（1967）．

［12］H．F．Senter and W．G．Dotson Jr．, Approximating fixed points of nonexpansive mappings［J］．Proceedings of the American Mathematical Society，44．375-380（1974）．

［13］Tan,KK,Xu,HK Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iterations process［J］．J．Math．Anal．Appl．178．301-308（1993）．

［14］Xu,HK：Inequalities in Banach spaces with applications［J］．Nonlinear Anal．16（12），1127-1138（1991）．

［15］Suantai,S：Weak and strong convergence criteria of Noor iterations for asymptotically nonexpansive mappings［J］．J．Math．Anal．Appl．331，506-517（2005）．

O117

A

1673-9884（2017）04-0125-04

2017-03-15

2015年福建省中青年教师教育科研项目（科技）（JA15610）

万丙晟，男，福建教育学院报刊社编辑。