高中数学教学中把握学生心理模型的有效方式

金仁监

[摘 要] 高中数学有效教学的途径，在于把握学生的学习过程. 只有基于学生学习脉络的研究，才是有效的把握. 学习心理研究者基于学习心理模型，提出了观察学生学习、寻求学习解释、做出学习预测、学教其他学生的四步递进方式，在实践中可以取得较好的效果.

[关键词] 高中数学；学习心理模型；把握方式

高中数学教学要保证其有效性，最关键的就是要知道学生是怎样学习的？关于这一点，其实数学教师是有共识的，而摆在数学教师面前最为关键的问题是：怎样才能知道学生是怎样学习的呢？由于高中教学的应试特征，很多时候教师都是从经验角度去回答这一问题的，比如说可以根据学生在课堂上的反应来判断，也可以根据学生在作业中的问题来判断，还可以根据学生在考试中的结果来判断. 应当说这些经验性措施是有效果的，但对于一些年轻教师来说，经验是需要积累的，有了经验还是需要分析的，只有这样经验才会发挥作用；而且，利用经验来作为对学生学习情况的把握依据，还面临着另一个问题，那就是在教学中如果过于经验化，那容易对学生的学情产生误判，因为学生的学习毕竟是存在差异的，而经验却意味着思维的固化. 如何解决这一矛盾呢？笔者以为关键的一点还是要寻找理论依据.

笔者在研究与学习中发现，相关学习理论研究者提出的学习心理模型是一个把握学生学情的重要理论支点. 学习理论模型是研究学生学习过程的模型，其强调四种最基本的把握学生学情的方式，这四种方式从语言表达的角度通俗易懂且与教学经验能够有效衔接，同时其指导性非常强可以让教师迅速上手.下面对这四个方式进行一些简单说明.

观察学生学习

观察学生的学习是教师把握学生学习心理模型的最自然实用的方式，因为当教师研究学生学习心理模型的时候，最自然的反应就是去观察学生是怎样学习的. 高中数学教学也不例外，在学生数学学习的过程中，教师带着研究的眼光去观察他们的学习，确实可以收获很多.

在教“曲线与方程”这一内容的时候，笔者根据以往的经验判断学生此时遇到的最大问题之一，就是难以真正建立曲线与方程的理解关系，因为在不少学生的思维中，曲线是几何图形，方程是代数知识，两者之间的关系尽管在此前圆锥曲线的学习中已经有过数次接触，但一旦试图让他们真正从曲线与方程两个领域理解深层次关系时，还是存在困难的. 这个时候去观察学生的学习，可以有这样的一些收获：一是学生对曲线与方程的理解局限在数学语言上.类似于“如果曲线C上点的坐标（x，y）都是方程f（x，y）=0的解，且以方程f（x，y）=0的解（x，y）为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f（x，y）=0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f（x，y）=0的解”这样的理解，在很多学生看来这简直就是绕口令；二是学生在理解曲线与方程的时候，缺少良好的直觉，他们不知道通过自己寻找事例的方式，来帮助自己理解相关的数学语言.

由此可以判定此时学生的学习心理模型就处于一种非常低水平的状态，说得直白一点就是处于机械地理解数学语言的状态. 要知道这种状态对于很多学生来说，都是最为自然的状态，也正是因为这一状态的存在，导致相当一部分学生在数学学习中表现为一种非常被动的状态——他们确实很难主动起来，因为理解数学语言的时候就存在困难，你让他们如何才能更为主动地建构数学理解呢？这个时候怎么办？笔者以为就需要教师给学生提供学习的外驱力，让他们努力将自己的学习心理模型（学生自己通常并不清晰地知道这一模型的存在）的构建水平迈向一个更高的台阶.

寻求学习解释

如果说观察学生的学习行为只是发现和把握学生的学习心理模型，那从第二个方式开始，就是要干预学生的学习心理模型的形成.

第二个方式是寻求学习解释，其含义就是教师在教学中让学生对所学的内容做出解释. “寻求学习解释”听起来并不陌生，但要真正理解并实施还是有些困难的，笔者在教学实践中秉承的一个原则就是跟学生强调：你必须学会用自己的语言说出你在学习的东西！这种非常口语化的要求一直是笔者课堂上的常用语言，以至于学生往往只听到一半时就能接着笔者的话说下去. 而笔者要的也正是这种效果——所谓用自己的语言，就是不照着数学表述照本宣科，其实也是逼着学生去寻找事例来理解数学语言.

譬如上面提到的“曲线与方程”的教学例子，如果只是让学生机械地记忆那段话，去寻找所谓的熟能生巧的教学效果，那这样的教学是非常被动的. 而让学生去寻求解释则是一条极好的途径. 笔者向学生追问：你是怎样理解曲线与方程的这段表述的？什么叫曲线C上的坐标？什么叫方程的解？曲线上的坐标与方程的解怎么会扯上关系？很多时候学生被追问得没有办法，就会有些着急，而着急之下他们会说：“老师，就是这样的，就拿抛物线的学习来说吧……”对！笔者就是要让学生在逼得没办法的情况下去寻找学过的例子，而当学生开始举出抛物线的例子时，就意味着他们能够将曲线C具体为抛物线，能够将曲线上的点的坐标理解为抛物线上的点的坐标，而关于x和y的方程的解又是對应着曲线上的点的坐标的，因为这种对应有关系的存在，因此曲线与方程扯上了关系. 表述到这里，或许有人开始瞧出端倪了：这不就是一般与特殊的关系吗？正是如此，通常情况下数学语言都是具有概括性的一般性表达，而数学实例都是特殊事例，用特殊事例来理解一般性的数学语言，再反过来由特殊事例向一般性理解延伸，就可以促进学生的理解. 而学生也正是在这种寻求解释的过程中，进一步完善了自己的学习模型——至少这样的教学模式，可以让学生形成一种寻求学习解释的自觉，而这正是提升学习心理模型的重要途径.

做出学习预测

在学习习惯了寻找学习解释之后，进一步提升学习心理模型的方式，就是对学习的内容做出预测了. 做出学习预测是从已知向未知的过程，是学生的思维开始从熟悉的领域伸向陌生的领域，这其实是一个非常困难的过程. 作为成人的教师在教学中感觉每一个知识点的联系与延伸似乎都是非常简单的，是自然而然的，但请注意这是教师浸淫学科教学已久的缘故，如果让一个学科的教师去研究另一个学科的内容，那就会感觉到无比的困难. 学生的学习也是如此，尽管是同一个学科，但在由已知向未知迈进的时候，困难是非常多的. 也因此，做出学习预测是一个具有高度挑战性的方式.

在曲线与方程的教学中，做出学习预测可以发生在这样的一个环节：在理解了曲线与方程的关系之后，不妨让学生思考，下面可以展开的学习内容有哪些？这是一个基于曲线与方程关系的认知结构的问题，其旨在引导学生去思考曲线与方程的数学语言描述，可以衍生出哪些数学问题. 在学生的思考当中，几乎会必然出现已知坐标要判断在不在某个曲线方程上的问题，而这个问题也确实是本知识教学中可能出现的问题.这说明什么？这说明只要给了学生预测学习的机会，那学生是可以充分调动已有的学习经验来对已有知识做出预测的. 这个预测的过程具有挑战性，适合高中学生的数学学习特点，更重要的是，这样的预测往往可以更多地调动学生已有的经验，从而对他们的学习心理模型的进一步完善产生很大的益处.

另外，根据学习心理研究的专家的成果可以发现，让学生习惯于对所学的知识做出预测，还可以让学生的学习起到一种自我反思、自我监控的作用，这种作用对于增强自身的学习心理模型的适切性是有好处的.

学教其他学生

学教其他学生在很多教师看来并不陌生，因为课程标准所强调的合作学习，一些区域教学改革中提出的“兵教兵”就是这种思路. 确实如此，学教其他学生确实就是不同水平的学生之间的一种信息传递. 但笔者想强调的是，这种教不能满足于某个答案的得出，因为这对于教的双方来说都没有好处，甚至还会让教而不会的情形影响教与学的双方（事实上这种情形在合作学习中经常出现，经常有好的学生一脸无奈地说“我怎么教他都不会”，结果对方亦是无地自容）.

好的“教”应当是基于学习心理模型的教，即教的学生应当思考自己是怎么顺利地建立起对某个数学概念的理解的——自己怎么会懂了曲线与方程是这样的关系的呢？如果学生反思之后认识到，原来我是寻找到了一个很好的例子，或者说是因为在某个事例解释的时候突然就懂了. 有了这样的反思结果，他们才会将这样的细节向对方传递，否则学生的讲授只能是一种灌输——这种掩藏在合作学习背后的灌输，其效果更差.

换句话说，真正有效的教，应当是基于教者自我反思并判断被教者可能出现的问题的基础上的教，这样的教无论是对于教者来说还是对学者来说，都是可以完善双方和心理模型的.

可以肯定的是，只要坚持上述四种方式，那对教师掌握學生的学习过程是很有帮助的，对学生形成强大的自主学习能力也是有好处的.