函数的单调性与奇偶性要点对对碰

湖北省郧西县第三中学 杨玉敏

一、函数的单调性

（一）函数的单调性的定义

设函数y=f(x)的定义域为I，若对于定义域I内的某个区间D内的任意的x1，x2，当x1f(x2)），则称函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数.

温馨提示：（1）单调性是函数的局部性质，一个函数在不同的区间上可有不同的单调性；（2）定义中的x1，x2相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值来代替；（3）一个函数在区间D1，D2上是增（减）函数，在D1∪D2上不一定是增（减）函数，如：函数因此，讨论函数的单调性一定要指明区间.

（二）函数的单调性的判定

例1.判断下列函数的单调性.

（1）f(x)=−x2+2x+1，(x>0)；（2）(x≥0)（3）

分析：可根据不同函数的不同特点，选用最简解法.

解：（1）函数f(x)=−x2+2x+1的

对称轴为x=1，结合图象，知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在[1，+∞)上单调递减.

（2）易知函数f(x)的定义域 为 [0,1].设0≤x10，x2−x1> 0 ，即f(x1) >f(x2)，∴函数f(x)在[0,1]上单调递减.

（3）函数f(x)的 定 义 域 为(−∞,1) U(1,+∞).由 于函数y1=1−x是减函数，∴在(−∞,1) U(1,+∞)上是增函数，故函数f(x)

在(−∞,1)，(1,+∞)上单调递增.

点评：上例分别用了图象法、定义法和复合函数单调性法三法.判断函数的单调性还有两法：（1）利用结论：两个增（减）函数之和仍为增（减）函数，一个增（减）函数减去一个减（增）函数为增（减）函数；（2）导数法.其中，证明单调性时只能用定义法或导数法. 定义法的步骤是：（1）任取x1，x2∈D，且x1

跟踪练习1：试判断函数在(0，+∞)上的单调性，并证明.

【答案：增函数，用定义法证明（略）】

（三）函数的单调性的应用

例2.已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，当x>1时，f(x) > 0，且f(xy)=f(x)+f(y).

（1）证明：函数f(x)在定义域上是增函数；

（2）若求满足不等式的x的取值范围.

分析：解抽象不等式可利用函数的单调性来脱掉“f ”.

（1）证明：令x=y=1，得f( 1)=f( 1)+f(1)，故f( 0)=1.

令得故

任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1f(x1)，∴函数f(x)在(0，+∞)上是增函数.

（2）解：由于，而，故f( 3)=1.在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=3，得f( 9)=f( 3)+f(3)=1+1=2. 由（2）知，故所给不等式可化为f(x)+f(x−8) ≤f(9)，即f[x(x−8)]≤f(9)，

∴解得8

点评：本例利用函数的单调性，成功地脱掉了“f”，从而转化为具体的不等式问题.注意函数的定义域在解题中的制约功能.

跟踪练习2：已知增函数f(x)当 x>0时有意义，且满足：①f(xy)=f(x)+f(y)；②f( 2)=1.

（1）求f(0)的值；

（2）若f( 3)+f( 4−8x) > 2，求x的取值范围.

【答案：（1）1；（2）】

二、函数的奇偶性

（一）函数的奇偶性的定义

若对于函数y=f(x)定义域D内 的 任 意x都 有f(−x)=−f(x)（f(−x)=f(x)），则称函数y=f(x)为奇（偶）函数.

温馨提示：（1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）函数具有奇偶性的一个必要条件是定义域关于原点对称；（3）一个函数是奇（偶）函数的充要条件是它的图象关于原点（y轴）对称.

（二）函数的奇偶性的判定

例3.讨论下述函数的奇偶性：

分析：判断函数的奇偶性，定义域优先考虑，然后考查f(-x)与f(x)之间的关系.

解：（1）定义域为[-1,1)，关于原点不对称，故函数f(x)是非奇非偶函数.

（2）函数的定义域为[-1,1)∪(0,1] ，∴x+2 > 0，

函数f(x)为奇函数.

（3）得x=1，

∴f(x)=0(x=1)，结合图象，知函数f(x)是非奇非偶函数.

∴ f(-x)=f(x)，故函数f(x)是偶函数.

点评：判断函数的奇偶性有两法：一法看图，二法看式.“看图”应看其图象是否关于原点或y轴对称；看式需先看函数的定义域是否关于原点对称，若对称则再看解析式；若不对称，则函数即为非奇非偶函数.同时，若函数的解析式能化简，则应先等价化简（即要保证函数的定义域不变）.

跟踪练习3：下列是关于奇偶函数的几个命

①函数是奇函数；

② f(x)=0，(x=0) 既是奇函数又是偶函数；

③函数是偶函数；

④函数是非奇非偶函数.

其中正确的命题是___.（填序号）

【答案：②③ 提示：是偶函数；③可通过图象的对称性判断】

（三）函数的奇偶性的应用

（1）利用奇（偶）函数在对称区间上的对称性解题

例4.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集是(a2，b)，g(x)>0的解集是，且，则f(x)⋅g(x)>0的解集是___.

分析：结合奇（偶）函数图象的对称性，并注意两个解集端点之间的位置关系解之.

解：

∵f(x)>0的解集是(a2，b)，g(x)>0的解集是，且故当时，x∈(a2，b)；由于f(x)、g(x)都是奇函数，则f(x)<0的解集是(−b，−a2)，g(x)<0的解集是故当时，

点评：利用函数图象的对称性等特性来解决问题，是数形结合思想的重要体现.本例还可以在同一直角坐标系中同时画出函数f(x)与g(x)的草图，看图可速解！

跟踪练习4：定义在[-2,2]上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)单调递减，若f( 1−m)

【答案：提示：由|m|<|1−m|≤2，解得

（2）利用函数的奇偶性求函数表达式

三、函数的单调性与奇偶性的综合应用

（一）利用奇偶性求函数的单调区间

例5.求函数的单调区间，并加以证明.

分析：由于函数是奇函数，故只需研究函数f(x)在(0，+∞)上的单调区间即可.

解：任取x1，x2∈( 0+∞)，且x1

∵x−x>021，而当0 0，∴ 当x∈( 0，1)时，f(x1)−f(x2) < 0，函数f(x)是增函数；当x∈(1，+∞)时，f(x1)−f(x2) > 0，函数f(x)是减函数.

由于函数f(x)在x∈(−∞，+∞)上是奇函数，故函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(−∞，−1)上单调递减.

综上，得函数f(x)的增区间为(−1，1)，减区间为(−∞，1]，[1，+∞).

点评：对于具有奇偶性的函数，由于奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反，故通常只需研究其半区间的性质即可.

跟踪练习6：求函数的单调区间.

【答案：增区间是；减区间是

提示：注意利用函数是奇函数来简化过程】