直线与圆中一道数量积为定值问题的探究

筅湖北省黄石有色第一中学余明

直线与圆中一道数量积为定值问题的探究

筅湖北省黄石有色第一中学余明

例1如图1所示，已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切.过点B（-2，0）的动直线与圆A相交于M，N两点，Q是弦MN的中点，直线l与l1相交于点P.

（1）求圆A的方程.

解析：（1）圆A：（x+1）2+（y-2）2=20.（过程略）

（2）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-2，符合题意.

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y= k（x+2）.

图1

当直线l与x轴不垂直时，y=k（x+2），且（x+1）2+（y-2）2= 20，则因为|MN|=2，所以|AQ|=1.

故直线l的方程为3x-4y+6=0.

综上，所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.

例2已知圆C：x2+（y-3）2=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+ 6=0相交于点N.

解析：（1）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意.

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+ 1）.

故直线l的方程为4x-3y+4=0.

综上，所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+ 1），由

例3圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2，过定点A（x0，y0）的直线l与圆C交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：y=kx+m相交于N，探索k为何值时为定值与直线l的斜率无关.

图2

（1）若x0≠a，y0≠b，因为AC⊥m，所以

（2）若x0=a，或y0=b，亦可得到为定值，不再赘述.

例1的第（3）问也可以这样解答：kAB=2，直线l1的斜率，所以满足l⊥AB.1

又x0=-2，y0=0，a=-1，b=2

此方法是运用数量积的定义，转化成投影来计算，从而得出数量积为定值的条件是AC⊥m，与直线l的斜率无关.这也是向量问题的妙解，除了常规的解析法通过大量的计算来解答，结合向量的加减运算和数量积的定义的运用能够事半功倍！在此不仅求出定值，而且弄清楚为什么会是定值，最终转化成求点到直线的距离和两点间的距离的积或积的相反数.F