引领审美 激发潜能 提升素养*——记“直线的点斜式方程”的教学与思考

●任卫兵 (灌南县第二中学 江苏灌南 222500)



引领审美 激发潜能 提升素养*
——记“直线的点斜式方程”的教学与思考

●任卫兵 (灌南县第二中学 江苏灌南 222500)

文章通过一节新授课“直线的点斜式方程”感受到：教师在教学过程中要整体把握教材，注重知识的前后联系，要理解学生的学习水平，合理设置问题，引导学生在合作探究、展示交流的过程中体会到“学习是一趟有趣的发现之旅”，彰显数学的内在魅力，引领学生的数学审美，激发学生主动学习的潜能，提升思维能力和数学素养，为学生的可持续发展打下坚实的基础.

直线的点斜式方程;合作探究;数学素养

近日，笔者所在学校举办了一次数学沙龙活动，活动的主题是“激发学习潜能，提升数学素养”.这次沙龙活动邀请了市、县数学教研室领导以及兄弟学校的部分教师一起交流研讨.学校给笔者安排的任务是上一节研讨课，课题是“直线的点斜式方程”.笔者任教10多年来，“直线的点斜式方程”已经上过很多次，2015年笔者参加江苏省连云港市青年教师优秀课比赛也正是这个课题.本次沙龙活动再上该内容，对激发学生学习潜能、提升学生数学素养，笔者又有了新的感受和认识，现将这节研讨课的课堂情况和课后思考记录下来，与同行们交流，并恳请批评指正.

1 课堂实录

1.1 创设情境，提出问题

播放视频，伴随画外音：现实世界中，到处有着优美的图形，从我们学校体育场的环形跑道到北京的鸟巢体育馆、从古代石拱桥到现代立交桥、从飞逝的流星到雨后的彩虹……，到处都显示着人类文明的伟大.

师：这些优美的图形，它们的平面图形都是由什么元素构成的呢？

生1：都是由点、直线和曲线构成的.

师：我们将在解析几何内容中，学习到直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等(如图1所示)，并研究它们的方程和性质.直线是最常见、最基本的几何图形，今天我们就从直线的方程开始研究.

图1

1.2 合作探究，建构数学

师：如何来确定一条直线的位置呢？

生2：两点确定一条直线.

师：请大家讨论：如果已知直线经过一个点，那么这条直线是确定的吗？如果一条直线的方向是确定的，那么这条直线是确定的吗？

生3：只知道直线经过一个点，或者只知道直线的方向，是不能确定直线的.但是，一个点和一个方向可以确定直线.

图2

师：大家都认可了生3的看法.一起来看下面这个问题：若直线l经过点A(-1,3),斜率为-2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x,y)满足什么条件？

(学生们小组合作进行探究.)

生4：首先，画出图形(如图2)，当点P在直线l上运动时，它与点A的连线斜率始终等于-2，即

(1)

师：这个式子可以表示直线上的每一个点P吗？

生5：不可以.x不能取-1，因此点P不能与点A重合，式(1)表示直线l上除点A以外的所有点.若将式子变形为

(2)

就包含点A.将式(2)化简得

(3)

式(3)即表示直线l上的所有点了.

师：生5分析得非常好.直线方程必须满足的2个条件：1)直线上运动的点坐标都要满足方程；2)以方程的解为坐标的点都要在直线上.从生5的分析可以发现式(3)已经满足条件1)了，那它满足条件2)吗？

生6：由式(3)等价变形为式(2)、式(2)变形为式(1)的过程中，少了一个点(-1,3)，而这个点本身就在直线l上，因此式(3)也是满足条件2).

师：通过生6的分析发现式(3)同时满足条件1)和2)，我们把这样的方程叫做直线的方程，这样的直线叫做方程的直线.同样，以后在学习圆、椭圆、双曲线和抛物线等曲线方程时，也要经过这样的探究过程.同学们可以通过求直线的方程来体会求曲线方程的一般方法：首先建立适当的直角坐标系；根据条件列出等式；进行化简；最后说明以方程的解为坐标的点都在曲线上.请同学们想一想：刚才直线方程的研究过程体现了什么数学思想呢？

生7：通过图形来研究直线的方程，体现了数形结合思想.

师：我国著名的数学家华罗庚有一首诗：

数与形,本是相倚依,

焉能分作两边飞;

数无形时少直觉,

形少数时难入微;

数形结合百般好,

隔离分家万事休;

切莫忘,

几何代数统一体,

永远联系莫分离.

这首诗说明了数形结合方法在解决数学问题时起着很重要的作用.当遇到一个难以入手的问题时，尝试画出图形，直观地通过图形来寻找解题思路，往往能迎刃而解，事半功倍.

师：将刚才讨论的直线一般化，可以得到什么结论呢？

生8：如果直线l经过P1(x1,y1)，斜率为k，那么它的方程是y-y1=k(x-x1).

师：很好，因为它是由直线上的点和斜率确定的，我们称之为直线的点斜式方程.

(教师板书课题：直线的点斜式方程.)

师：那么点斜式方程能不能表示平面内所有的直线呢？

生9：点斜式方程是由直线上的点和斜率确定的，因此它不能表示平面内斜率不存在的直线.

师：大家同意生9的观点吗？那么斜率不存在的直线方程又该怎么表示呢？

生10：当直线的斜率不存在时，它是与x轴垂直的直线，该直线上所有的点都有一个共同的特征：横坐标相等.如果直线l经过P1(x1,y1)，而斜率又不存在，那么它的方程是x=x1.

师：在研究直线的方程时，要分斜率存在和不存在2种情况，这又体现了什么数学思想呢？

生11：分类讨论的数学思想.

师：在平时的解题过程中，同学们最容易忽视的就是对直线斜率不存在这种特殊情况的讨论，希望同学们养成良好的分类讨论习惯.下面我们来看一个例题:

例1 已知直线l经过点P(-2,3)，斜率为2，求该直线的方程.

(解答过程略.)

师：我们来看第2个例题:

例2 已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，求该直线的方程.

生12：由直线的点斜式方程，可得

y-b=k(x-0)，

即

y=kx+b.

师：b就是直线与y轴交点的纵坐标，我们称b为直线l在y轴上的截距，该类型的方程叫做直线的斜截式方程.显然，斜截式方程是点斜式方程的特殊情形.那么，斜截式方程能否表示平面内所有的直线？

生13：直线的斜截式方程是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的，因此它仍然不能表示斜率不存在的直线.

师：初中阶段我们学习了一次函数，它的图像是一条直线，其中常数k是直线的斜率，常数b就是直线在y轴上的截距.因此，可以把y=kx+b看作一次函数，又可以看作直线的斜截式方程，注意它们的区别和联系(如图3所示).这里又体现了什么数学思想呢?

图3

生14：函数与方程的思想.

1.3 编题解题，巩固提升

1.3.1 “你出他做”编题环节

师：请仿照例1和例2，各小组自编1道题，上黑板展示.编好后，再选1道其他小组编的题并解答此题.

生15：已知一直线经过点P(-2,3)，倾斜角为30°，求这条直线的方程.

生16：已知一直线经过点P(-2,3)，且与x轴垂直，求这条直线的方程.

生17：已知一直线经过点P(-2,3)，斜率与y=-2x+3的斜率相等，求这条直线的方程.

生19：已知一直线经过点P(-2,3)，与x轴交点的横坐标为-1，求这条直线的方程.

生20：已知一直线方程为2x+3y=0，求这条直线的斜率和在y轴上的截距.

师：非常好!以上题目灵活地运用了斜率和倾斜角的关系，尤其是生20所在小组编的这道题目，很有创意.那么此题该如何解决呢?

(其他题目的解答与点评由小组成员合作完成.)

1.3.2 “合作探究”解题环节

师：请各小组合作解决例3：

例3 下面2个直线方程各代表什么特征的直线？

1)y=kx+2；

2)y=2x+b.

生22：我们小组先对k取值-2,-1,0,1,2，作出这5条直线的图像(如图4所示)，然后观察图像，发现它们都是过点(0,2)的直线.因此，y=kx+2表示过定点(0,2)的直线.

图4 图5

生23：我们小组对b取值-2,0,1,3，作出这4条直线的图像(如图5所示)，然后观察图像，发现它们都是斜率为2且相互平行的直线.因此，y=2x+b表示斜率为2的无数条平行直线.

师：生22和生23总结得很好，下面我们利用几何画板验证一下(验证过程略).从刚才研究直线点斜式方程的过程可以发现：如果一条直线只给一个定点，那么就不能确定它的方向，是过定点的无数条直线束；如果一条直线只给定斜率，那么只能确定它的倾斜程度，不能确定它的位置，是无数条平行线.因此，直线的点斜式方程是由点和斜率共同确定的，点和斜率之间有着紧密的联系.老师写了一首诗《诗说点斜式》，请2位同学来朗读一下，我们一起来体会下点和斜率之间的关系：

点：你可知，我究竟为何而生？没有方向，没有依靠，有的只是一个孤单的我，囚在这自由的牢笼！

斜率：请不要迷惘，请不要担忧，我便是你此生的方向.

点：你可以有千万的点，而我却只有一个你.

斜率：可于千万般中，唯你，找到了最真实的我.

点：你少了我太虚幻,我少了你太迷茫.

斜率：因此，此生你我便注定成为那唯一的永恒.

点、斜率：让我们携手共同成就一条完美的直线，让我们在解析几何的天空中留下浓墨的一笔，让我们在奇妙的数学世界里创造亘古的奇迹……

(教室里响起热烈的掌声.)

1.4 回顾反思，总结升华

师：这节课你有哪些收获？

生24：这节课我们研究了确定直线所需要的条件，得到了直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.

生25：求直线的方程时要注意斜率不存在的情况，直线l经过点P1(x1,y1)，当斜率不存在时，它的方程是x=x1.

生26：体验了求曲线方程的一般方法.

生27：这节课还体现了数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等数学思想.

师：看来本节课大家的收获还是挺多的，希望同学们能将这些研究问题的思想和方法用在其他问题的解决过程中，相信大家会有更多的收获！

2 课后反思

2.1 整体把握，注重知识前后联系

课后笔者与连云港市数学教研员王弟成老师交流，王老师说：“教师不能只着眼于这节课，要着眼于整个高中数学内容.课要一节一节上，但课堂教学内容却不能就一节课来认识、理解，课是连续的教学片断，不是孤立的内容，要把一节课放到一个单元、一个章节甚至整个高中数学中去认识、理解.”[1]

直线的点斜式方程，这节课如果只着眼于这一节课的内容，那么内容很简单，学生自学问题也不大.但是如果着眼于整个解析几何，将发现这节课的内容是整个解析几何的起始，尤其是“直线点斜式方程的推导过程”，这个思想方法其实就是整个解析几何中“曲线的方程”的推导思想方法，因此本节课要让学生通过研究直线的点斜式方程来体会研究曲线方程的一般方法.

2.2 自主交流，发展学生思维能力

课堂教学是为了让学生在考试中取得优异成绩，这是主要目的，但不是最终目的.教学更重要的目的是“育人”，是培养学生的理性思维能力、数学素养.“学会数学思维”“通过数学学会思维”，为学生进一步发展奠基.教师要在教学中适时地引导学生在小组合作探究中实现知识的自主生成、在自主交流中发展学生的思维能力.学生一个人的思考有时是不全面的，甚至是不深入、不到位的，因此教师需要引导学生相互交流、集思广益、相互讨论完善方法[2].

教师更重要的价值在于：在学生有困惑时能给予恰如其分的点拨，能以恰当的方式引导学生思考，把教师对问题的理解转化为学生的理解，使学生自我感悟、自我提升.

2.3 合理设问，提升学生思维品质

“问题是数学的心脏”，在教学中“问”是很重要的，也是很有技巧的.教育学家陶行知先生曾说：“发明千千万，起点是一问；智者问得巧，愚者问得笨.”好的提问对于激发学生的思维，活跃课堂气氛，巩固学生所学知识，提高学生能力都起到积极的作用.好的问题可以引导学生以自主探索、合作交流的方式学习、使学生在解决问题的过程中感受数学、体验数学和理解数学，发展解决问题的策略，树立正确的数学观.教师设计的问题不仅要体现数学思想方法，使学生学习分析、解决问题的方法，还要凸现和强化过程意识，使过程与结果并重[3].

合理设置问题串，让学生带着问题进行学习，通过自主学习和合作交流，促进学生对知识的理解、方法的掌握.在教学过程中，教师要密切关注学生的学习动态，不失时机地提出问题，通过引导、启发、点拨、评价、矫正，帮助他们拓展思维、开阔视野、提炼精要、升华情感，让师生对话得以持续，使学生单一的思维多元化，才能最终提升学生的思维品质.

2.4 诗意课堂，引领学生数学审美

“爱美之心，人皆有之”，张奠宙先生在文献[4]里谈了很多关于数学欣赏的角度和具体案例.大数学家庞加莱指出：“数学有简约美、奇异美、冷俊美等，显示出冰冷的美丽.可惜没有多少学生能发现数学的美丽.”文卫星老师在文献[5]中也指出诗歌与数学的结合，最容易引起学生的共鸣，能够激发学生的兴趣，展现数学的美与和谐.

诗歌用最精炼的语言表现出丰富的生活情景和思想感情，而数学是用最简洁的语言(文字语言、符号语言、图形语言)表达最复杂的现实世界，将复杂的万事万物抽象化，用图形和数量关系来表达.诗歌的凝练与数学的简洁是一致的，诗歌和数学以不同的方式表达着精神和现实的美，是艺术和科学的完美结合.数学审美，往往是从欣赏几何图形外表的美开始，然后一步步逐渐欣赏数学内涵的美妙.在数学课堂中，合理插入合适的诗歌，既能揭示数学本质，又能唤起学生潜意识中对美的追求与向往.

2.5 渗透思想，提升学生数学素养

《教育部关于全面深化课程改革、落实立德树人根本任务的意见》指出：核心素养就是学生发展的根本目标，又指出：“核心素养”就是“适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”[6].数学思想方法，就是数学素养的一个重要组成部分.人类的思想是推动社会进步最主要的动力之源.数学思想是数学知识向能力转化的桥梁，是数学的灵魂，提升数学素养的关键是提高学生对数学思想的认识，提高运用数学思想的意识和能力[7].

本节课通过精心的设计和学生的合作探究，让学生在数学知识的建构生成过程中体会数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想方法.在教学过程中，学生潜移默化地使用这些数学思想方法建构知识、探究问题.

数学教学的本质就在于如何促进学生更好地理解数学的本质.章建跃博士认为：“教学设计能力是教师专业水平和教学能力的关键，其本质是‘理解数学，理解学生，理解教学’的水平和能力.”教师首先要整体把握教材，注重知识的前后联系，然后要理解学生的学习水平，合理地设置问题，引导学生在合作探究、展示交流的过程中体会到“学习是一趟有趣的发现之旅，并发现学习的乐趣”，彰显数学的内在魅力，引领学生的数学审美，激发学生主动学习的潜能，提升思维能力和数学素养，为学生的可持续发展打下坚实的基础.

[1] 王弟成.整体视角 把握本质 教授方法 关注素养[J].中学数学教学参考：上旬，2016(4)：15-17.

[2] 王弟成，潘彩.高三复习：让学生建构自主发展复习之路[J].中学数学教学参考：上旬，2012(11)：50-53.

[3] 任卫兵.当“第一思路”阻滞之后[J].中学数学教学参考：上旬，2015(11)：36-40.

[4] 张奠宙.数学欣赏：一片等待开发的沃土[J].中学数学教学参考：上旬，2014(1/2)：3-6.

[5] 文卫星.诗意课堂引领学生审美[J].中学数学教学参考：上旬，2014(10)：7-9.

[6] 孙宏安.数学素养探讨[J].中学数学教学参考：上旬，2016(4)：7-10.

[7] 缪林，季刚祥.问题驱动思维 探究促成高效[J].中学数学教学参考：上旬，2016(1/2)：43-45.

2017-03-09；

2017-04-10

任卫兵(1983-)，男，江苏连云港人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-33-05