方程、函数、不等式之间的相互转化

江苏省赣榆外国语学校(222100)

李金波●



方程、函数、不等式之间的相互转化

江苏省赣榆外国语学校(222100)

李金波●

转化思想在初中数学思想中占据举足轻重的作用，而方程、函数和不等式又是初中数学的重点.本文着重讨论了不等式转化为方程、函数转化为方程和方程转化为函数，用转化思想将初中数学中的三个重点串联起来，可以让学生全方位地了解这三者之间的联系.

转化思维；方程；函数；不等式

一、不等式转化为方程

不等式问题是初中数学中的一个难点，通过不等式可以变形出许多题型，其中不等式问题与方程的结合就是一个典型问题.不等式中的定值问题往往就会与方程问题结合起来考查，通过将不等式问题转化为方程问题来求解确定值.

例1 已知正整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，求a、b、c的值.

解析 这道题从条件是不等关系，而所要求的却是确定的值，似乎无从下手.但是根据条件和要求的结论，应该想到本题要将不等式问题转化为方程问题，只有方程才能有确定关系，故解题的思路就应该向方程靠拢.

点拨 对于不等式中的求值问题，一般都是通过方程的思想解决这些问题，通过方程中的等量关系求出未知数.不等式问题与方程的结合是一个重要的考点，学生们在平时的学习过程中应当注意总结和归纳这类问题，才能取得较大的进步.

二、函数转化为方程

函数和方程是紧密相连的，两者之间可以相互转化.函数的解析式其实是关于两个变量的二元方程，当一个变量为确定的值时，此时满足这两个变量关系的解析式就是关于另一个变量的一元方程.方程其实就是函数的一种特殊情况，在解决函数问题时，一般可以将其转化为方程问题.

例2 不论m为何实数，抛物线y=x2-2mx+2m-1总过一定点，求此定点的坐标.

解析 本题虽然是函数问题，但是根据题目中的条件和所要求的结论，可以想到函数问题应该转化为方程问题.条件中函数总是经过一个定点，可以利用这个条件寻找突破口，本题通过两种解法解决此问题.

解法1：根据题中条件，既然m可以为任意实数，由从特殊到一般的思想，不妨取m=0与m=1，将m的值分别代入y=x2-2mx+2m-1中，可以得到两个二元方程，经过简单的消元和化简，可以解得x=1,y=0，那么所求的定点就是(1,0).

解法2：将原函数转化为关于m的一元一次方程，则原函数y=x2-2mx+2m-1通过移项转化为 (2x-2)m+y+1-x2=0.根据条件，要使得这个关于m的方程有无穷多解，则m前面的系数必须为0，则x=1，那么要想等式成立必须y=0，那么所求的定点就是(1,0).

点拨 本题的关键在于将函数问题转化为方程问题，上面的两种解法本质上都是通过方程的思想解决函数问题.其中解法1中还用到了从一般到特殊的思想，充分挖掘了题目中的条件，两种解法各有优势，希望学生都能掌握.

三、方程转化为函数

方程的实根问题是初中数学中的重要考点，方程问题经常与函数结合起来考查，这在无形中就增大了学生学习的难度.但是只要对二者之间的联系有充分了解，能够将二者相互转化，就会胸有成竹，反而能充分利用这些知识来解决问题，下面这个例子就体现了方程向函数的转化.

例3 证明：若a

解析 本题中的条件是以方程的形式给出，而且所要求的问题是与方程的根分布有关的问题，故可以将方程的问题转化为函数的问题，用函数的思想解决.

可以构造新的二次函数：f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)2.由已知条件a0,f(b)=(b-a)(b-c)+(b-b)2=(b-a)(b-c)<0,f(c)=(c-a)(c-c)+(c-b)2=(c-b)2>0.

所以二次函数f(x)的图象与x轴相交于a、b之间和b、c之间，那么原方程的两个不同实根一个根在a与b之间，另一个根在b与c之间.

点拨 本题的关键在于将方程的根的问题转化为求函数图象与x轴的交点，通过转化使问题变得明朗易解.方程问题与函数问题之间的联系非常紧密，二者之间的转化问题是中考的重要考点，希望能引起学生的注意.

综上所述，转化思想是方程、函数和不等式之间联系的纽带，三者之间紧密相连，各种知识之间层层交错.“聚沙成塔，集腋成裘”，只有用心学习，从点滴做起，领悟转化思想的真谛，才能打好学习方程、函数和不等式的基础，让学习更上一层楼.

G632

B

1008-0333(2017)14-0003-01