源于教材 高于教材——平面向量中的两个重要的恒等式及应用

浙江慈溪浒山中学(315300) 褚金芬 施利云

源于教材 高于教材
——平面向量中的两个重要的恒等式及应用

浙江慈溪浒山中学(315300) 褚金芬 施利云

中学数学中存在着大量的等量关系,如完全平方公式,立方和差公式,两角和与差公式,平行四边形两对角线平方和等于两邻边的平方和的两倍等等.在高中数学中常常可以看到这些等量关系的运用,但有些等量关系课本上没直接给出,需要我们教师去挖掘,去拓展;并在课堂上引导学生参与到探究之中,让他们自己发现并加以积累,然后会灵活地去解决相关问题,它往往可以起到立竿见影的效果,甚至可以起到“秒杀”的效果.以下笔者举例说明.

1 极化恒等式

1.1极化恒等式设a,b是两个非零向量,则a·b=

1.2出处人教版必修4 P109页2.5.1平面几何中的向量方法的例1,可以进一步探究得到.

1.3 几何意义两个非零向量的数量积等于以这两个向量邻边的平行四边形的“和对角线”和差对角线平方差的四分之一.特殊地,△ABC中,其中AD为△ABC的BC边上的中线.极化恒等式建立了向量与几何长度之间的桥梁,实现了向量与代数、几何的巧妙结合.

1.4 极化恒等式的应用

点评向量a,b是在e上的投影确定的两个变化量,利用极化恒等式巧妙地把双变量的问题转化为了单变量问题,于是就迎刃而解了.类似地有2013年浙江省理科高考题第7题,2013年浙江省高中数学学联赛试题(这两题从略),2016年浙江六校联考第8题,2016年新高考研究联盟二模第13题等.

点评此题如果通过建系,利用点P的坐标,根据得到关于点P横坐标的方程,根据点P的位置分四种情况讨论方程各有二解时的取值范围,最后取它们的交集,计算量明显较大,而利用极化恒等式大大简化了计算.

点评利用极化恒等式很快地找到了动点P的运动轨迹,比通过建系得到点P的轨迹方程的方法简洁了许多.

例4 (2016年浙江高考15题)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有则

2 数量积的余弦定理式

例8 (2016年镇海最后卷第15题)如图,在平面四边形ABCD中,已知E、F、G、H分别是棱AB、BC、CD、DA的中点,若|EG|2−|HF|2=1,设 |AD|=x,|BC|=y,|AB|=z,|CD|=1,则的最大值是

图10

点评此题首利用四边形EFGH为平行四边形,结合平行四边形法则及共线向量定理把条件转化为再转化为4个向量数量积,利用数量积的余弦定理式可以得到x,y,z的关系.

3 几点反思

(1)这两个恒等式源于教材又高于教材.所以在平时的教学中,我们要深入,挖掘教材,必要时要进行一些拓展和提高.

(2)用这两个恒等式处理具有三角几何背景的问题尤为简单,让“秒杀”向量问题成为一种可能.

(3)向量是既有大小又有方向的量,大小是向量的“血肉”,方向是向量的灵魂,它同时具有代数形式、几何形式的双重身份,是数形结合的典范.浙江的一些经典考题或模拟题,其深刻厚重的几何韵味,无不让人心旷神怡,拍手叫绝!这两个恒等式把向量的数量积问题用形象、直观的几何图形表现地淋漓尽致.