椭圆外切四边形的一个几何恒等式

安徽省临泉县第一中学(236400) 曹胜龙

椭圆外切四边形的一个几何恒等式

安徽省临泉县第一中学(236400) 曹胜龙

文[1]给出了三角形内切椭圆的一个如下几何恒等式:

命题1设△ABC的一个内切椭圆分别与BC,CA,AB边切于D,E,F,则下列等式恒成立

笔者读后受到启发进而思考,这个结论既然在三角形中成立,而在平面几何中,三角形是最基本、最简单的多边形,如果将三角形的边数进行拓展四边形,结论是否还会成立?按照马老师的探索思路,发现这个几何恒等式对四边形也是成立的,故而得到如下结果:

命题2 设椭圆外切四边形ABCD的边DA,AB,BC,CD与椭圆切于E,F,G,H,则下列等式恒成立

证明如图所示,设P,Q是椭圆的两个焦点,P关于AD,AB的对称点分别是M,N,由椭圆的光学性质知M,N两点必落在直线EQ,FQ上且MQ=NQ=2a(椭圆的长轴长).又由于AM=AN=AP,所以△AMQ∽△ANQ,因此∠AMQ=∠ANQ,设∠AEP=α,∠AFP=β,则在△AME中,由正弦定理得

图1

同理在△ANF中

由AM=AN=AP,∠AMQ=∠ANQ,并结合①②得

在△EPQ中由余弦定理得

所以b2=EP·EQsin2α同理,在△FPQ中,b2=FP· FQsin2β.所以

按此思路,继续扩大边数,我们可得椭圆外切n边形A1,A2,...,An也有此恒等式

可类比猜想得

[1]马利国.三角形内切椭圆的又一个几何恒等式[J].中学数学教学参考,2011,4.

[2]周峻民.三角形内切椭圆的一个几何恒等式[J].数学通报,2010,8.