探析含绝对值函数 关注数学核心素养

福建省惠安第三中学(362100) 江志杰

探析含绝对值函数 关注数学核心素养

福建省惠安第三中学(362100) 江志杰

含绝对值的函数通常是指有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号之内的一类函数,简称绝对值函数.纵观近几年高考试题,有关含绝对值函数的最值问题层出不穷,它与方程、不等式、分段函数等密切交汇,立意新颖、综合性强、能力要求高、解题难度大,常以压轴题的形式出现,彰显数学重要思想方法,在高考命题中独占鳌头、经久不衰.由于绝对值概念简单熟悉,再加上绝对值本身具有非负特性以及表示距离的几何特征,可移植性强,其与初等函数模型结合有助于开拓学生思维品质,培养学生创新思维和迁移能力,能较全面地考查学生的基本数学素养.然而我们在高三复习中,由于缺乏对经典题型进行解法探究与归类,导致在该类热点问题上往往出现思维混乱、解答困难的局面.为此,笔者拟对含绝对值的函数图像和性质进行梳理,并对此类题型的常用求解策略进行例析,仅供参考.

一、运用绝对值的几何意义

我们知道:在数轴上,|a|表示实数a对应的点与原点之间的距离,|a−b|表示实数a对应的点与实数b对应点之间的距离.说明很多含绝对值的函数蕴藏着“距离”的几何特征,我们可凭借其几何意义来化解问题.比如函数f(x)=|x−2|+|x+1|可形象地理解为:数轴上“动点x”与“定点2”、“定点−1”的距离之和,易得f(x)min=3.甚至以此可推广出:诸如函数f(x)=|g(x)−a|±|g(x)−b||的最值问题,可代换为|t−a|±|t−b|的形式借助绝对值的几何意义来解决.

类似地,对于一次含多个绝对值的和型函数f(x)=|x−a1|+|x−a2|+...+|x−an|,也可理解“动点x”与一系列“定点”(即各绝对值对应的“零点”)的距离之和,凭借几何直观可以发现:其最小值应在一系列“零点”排序后的“中位数”处取得.

例1(2015年重庆高考理16)若函数f(x)=|x+1|+ 2|x−a|的最小值为5,则实数a=___.

解析因为f(x)=|x+1|+|x−a|+|x−a|,将其“绝对值零点”从小到大排序:

1)若a≥−1时,−1,a,a的中位数为a,由fmin(x)=f(a)=|a+1|=5得a=4;

2)若a＜−1时,a,a,−1的中位数为a,由fmin(x)=f(a)=|a+1|=5得a=−6.故a的值为4或−6.

二、利用绝对值三角不等式

在绝对值三角不等式“||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”的结构中,当a±b为定值时,可求得|a|+|b|的最小值,或可求得||a|−|b||的最大值(需注意等号成立的条件).对照该不等式的结构,我们常以此来求某些绝对值函数的最值,如关于x的函数f(x)=|mx+c|±|nx+d|或f(x)=|mg(x)+c|±|ng(x)+d|(其中m,n,c,d为常数,并且|m|=|n|),也就是当“变量部分”的系数相等或相反时,利用该重要不等式模型求最值无疑显得极为简明、快捷!

例2(2016年全国高考新课标III卷文理)已知函数f(x)=|2x−a|+a.

(I)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(II)设函数g(x)=|2x−1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

解析(I)略;(II)依题意得|2x−a|+|2x−1|≥3−a在R上恒成立,由绝对值三角不等式得|2x−a|+|2x−1|≥|a−1|,故得左边的最小值为|a−1|.从而|a−1|≥3−a,解得a≥2.

例3(2016年浙江高考理15)已知向量|b|=2,若对任意单位向量e,均有则a·b的最大值是____.

解析本题虽是以平面向量的数量积为背景,却离不开绝对值三角不等式的关键性转换,依题意得两边平方得|a|2+2a·b+|b|2≤6,解得即得a·b的最大值是在此绝对值三角不等式俨然是个功能强大的数学模型,绝对起到了工具性的作用,而且不知不觉地迁移渗透在数学其他领域.

三、借助绝对值函数的图像

上述运用绝对值三角不等式求最值时,我们很关注绝对值函数“变量部分”的系数是否相等(或相反),倘若系数不具备如此特征或不符合绝对值三角不等式的结构时,则绝对值三角不等式失效,此时可通过作出绝对值函数的图像,考虑从数形结合角度来求解问题,比如函数f(x)=|x−2|+|3x+1|的最小值可通过作出其分段函数的图像直观求得.值得一提的是形如y=f(|x|)或y=|f(x)|的函数图像可由y=f(x)的图像经过适当的“翻折”变换得到的,其有助于我们快速精准把握图像的关键特征.

例4(2013年全国高考 (课标 I)理 11)已知函数若|f(x)|≥ax.则a的取值范围是( )

A.(−∞,0] B.(−∞,1] C.[−2,1] D.[−2,0]

解析本题关键分析函数y=|f(x)|的图像与直线y=ax的位置关系(如图),利用导数知识求得左侧曲线在原点处的切线斜率为−2,依题意得到a∈[−2,0],故答案选D.

图1

四、逐一进行分段或分类讨论

含绝对值的函数本身就是分段函数的“缩影”,为了简化绝对值函数的结构和全面掌握绝对值函数的性质特征,我们经常对其逐一进行分段研究,或就其所含参数变化引发的各种可能情况(如图形位置的不确定性)进行分类讨论,体现了将数学问题化整为零、化繁为简的解题原则,应该说绝对值函数就是培养分类整合、数形结合等重要数学思想的上佳素材.

例5(2016年全国高考 (新课标 III)理 21)设函数f(x)=acos2x+(a−1)(cosx+1),其中a＞0,记|f(x)|的最大值为A.

(I)求f′(x);(II)求A;(III)证明:|f′(x)|≤2A.

解析(I)易得f′(x)=2asin2x−(a−1)sinx;(II)注意到f(x)可化为关于cosx的二次函数:

且|g(1)|=2−3a＞a=|g(−1)|.故A=2−3a;

(III)由绝对值三角不等式可得:|f′(x)|=|−2asin2x−(a−1)|≤2a+|a−1|,鉴于A是关于a的分段函数,要证|f′(x)|≤2A,即证2a+|a−1|均不大于2A的各段函数.只要作差构造函数

易得φ(a)≥0在(0,+∞)上的各段均成立,从而不等式得证.

点评上述解法思路始终遵循高中数学的通性通法,如第(II)小题研究二次函数在闭区间上的最值,以及第(II)、(III)小题通过作差法来比较大小或证明不等式,其注重知识方法的基础性又兼顾问题的综合性,充分展现问题的检测与选拔功能,有效考量学生在数学运算、数学建模、数学抽象、直观想象等方面的核心素养.

例6(2016年浙江高考理 19)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x−1|,x2−2ax+4a−2},其中

(I)求使得等式F(x)=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围;

(II)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a).

解析(I)依题意得x2−2ax+4a−2≤2|x−1|(其中a≥3),该不等式可化为:

(II)(i)由(I)得

其中当x∈(−∞,2)∪(2a,+∞),在x=1处函数2|x−1|取到最小值0;当x∈[2,2a],在x=a处函数x2−2ax+4a−2取到最小值为−a2+4a−2.令−a2+4a−2＞0(a≥3)得故

五、围绕绝对值函数的最值特征

若连续函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值为M、最小值为m,则其对应的绝对值函数y=|f(x)|在区间[a,b]上的最大值为max{|M|,|m|}.这说明要研究|f(x)|max,关键是先明确原函数的f(x)min,f(x)max从而才能切中绝对值函数最值问题的要害之处.

例7(2016年天津高考理20)设函数f(x)=(x−1)3−ax−b,x∈R,其中a,b∈R.

(I)求f(x)的单调区间;

(II)设a＞0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于

解析(I)由f′(x)=3(x−1)2−a,且注意到3(x−1)2≥0. i)当a≤ 0时,f′(x)≥0,f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞),无单调递减区间;

ii)当a＞0时,

点评本题求|f(x)|max的关键是讨论三次函数f(x)在闭区间上的最值情况,尤其是极值与区间端点函数值的大小不确定性,是我们引发分类讨论的“根源”.合理利用导数将“原函数”的图像性质研究透彻,自然就为研究绝对值函数的性质架设了基础“桥梁”!

结束语通过以上含绝对值函数最值问题的例析,可以看出其在高考中独树一帜、常考常新,解决该类问题的有效途径归根结底在于分类讨论、作图观察.分类讨论可以培养思维品质的条理性、缜密性、概括性,其当仁不让成为高考必不可少的热点.对于该类函数而言,引发分类讨论的主要原因不外乎以下若干情形:1)由绝对值概念引起的;2)由数学运算引起的;3)由性质定理公式的限制引起的;4)由图形的不确定性引起的;5)由参数的变化引起的.只有充分理解掌握分类根源,方能使探析讨论过程线索清晰、有条不紊.另外,绝对值函数图像是研究该类函数性质的直观载体,其具有化难为易、事半功倍之效,简洁明快之感,常见作图方法有:1)折线法(适合于一次绝对值函数);2)翻折法(如y=f(|x|))或y=|f(x)|);3)分段法(将原函数等价转化为分段函数后作图).熟练掌握绝对值函数作法技巧,有助于我们形象把握函数的本质特征或快速找到解决问题的切入点.可以说,解决含绝对值函数最值问题就是要恰如其分地发挥分类整合、数形结合等数学思想,其有利于促进学生形成数学抽象、直观想象、数学运算、推理论证、数学建模等方面的核心素养.