不等式恒成立求参数范围的放缩策略*

甘肃临泽一中(734200) 魏正清

不等式恒成立求参数范围的放缩策略*

甘肃临泽一中(734200) 魏正清

在处理一些“不等式恒成立求参数范围”型的竞赛与高考压轴题时,放缩法不失为一类非常有效的方法,但如何放缩才能适度而有效?思维要求高,技巧性强,学生不易把握.若能充分挖掘题目特点,构恒成立不等式,巧妙放缩已知的恒成立不等式,往往能迅捷找到解题的突破口.

1.利用极限放缩不等式

例1(2016年高考四川理)设函数f(x)=ax2−a−lnx,其中a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性;

评注不等式恒成立求参数范围时,若能分离参数,有时则可利用区间端点处的极限,构造恒成立不等式,巧求参数范围.

2.利用切线放缩不等式

例2(2011年高考全国I)已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0.

(1)求a,b的值;

而t(1)=0知t′(1)=2k≤0得k≤0.(否则,若t′(1)＞0,因t′(x)在(0,1)连续,故必存在正数m,当x∈(m,1)时,t′(x)＞0,从而当x∈(m,1)时,t(x)＜t(1)=0,不合题意).利用题目中的切线构造不等式,放缩求参数范围.

当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)单调递增;当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)单调递减.又当x→1时,g(x)→0,故g(x)＞0.从而k＜0.

评注不等式恒成立求参数范围时,若能利用曲线在某点处的切线构造恒成立不等式,则可巧妙地将恒成立不等式进行转化,妙求参数范围.

3.利用已有关系式放缩不等式

例3(2013年高考辽宁理)已知函数f(x)=(1+x)e−2x,

(1)求证:1−x≤f(x)≤

(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

分析(1)从略.(2)依

评注不等式恒成立求参数范围时,若能利用题目中已有的恒成立不等式,则能将求解的恒成立不等式巧妙简化,从而使问题迅捷解决.

4.利用分式放缩不等式

评注不等式恒成立求参数范围时,分离参数后,若为分式型不等式,则可巧妙地利用分式的分子与分母构造恒成立不等式,简化问题,妙求参数范围.

5.利用函数的最值放缩不等式

例5已知函数e=2.71828...是自然对数的底数,).

(I)若函数f(x)的最小值为0,求实数a的值;

(II)若当m＞2.3时,ex＞lnx+m恒成立,求实数m的取值范围.

评注不等式恒成立求参数范围时,若能紧扣题目中的特殊条件,利用函数的最值构恒成立不等式进行放缩,则可简化问题,巧妙求参数范围.

6.取特值放缩不等式

例6已知函数f(x)=ex+m−x3,g(x)=ln(x+1)+2.

(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1,求实数m的值.

(2)若f(x)＞g(x)−x3,求整数m的最小值.

分析(1)略.(2)依题意

评注不等式恒成立求参数范围时,若参数是整数,则可取特值巧构恒成立不等式,简化问题,妙求参数范围.

*甘肃省十二五规划课题“新课程背景下数学课堂教学情景中师生关系重建研究”(课题批准号GS[2015]GHB1415)成果.