在解法探究中赏析美题

浙江奉化高级中学(315500) 柴骥宁

在解法探究中赏析美题

浙江奉化高级中学(315500) 柴骥宁

一道好题,应该是其背景深刻丰富,但在解法优化过程当中又能呈现出“接地气”且通俗易懂的通法,本文呈现一例,探究与挖掘一下其丰富的“源与流”.

题目呈现(2016届东北三校第一次联考理科第16题)已知在△ABC中点M是△ABC外一点,BM=2CM=2,则AM的取值范围为____.

下面笔者主要通过对于这道试题多角度的解答,挖掘其丰富而又深刻的内涵.

分析首先对于这个向量等式的处理是简单的,结合图1,易知△ABC是等腰三角形,在由易得,△ABC为正三角形,接下去笔者来具体地解决这个问题.

图1

对于一个几何题,特别对于考试中的学生而言,笔者认为,几何代数化即建系法,是立竿见影,思维量极少的过程,重点在于计算能力,因此生成了下面的第一种解法.

解法1如图2,建立平面直角坐标系,设B(−a,0),C(a,0),由M是外一点,易知a∈又由BM=2CM=2得到 (x+a)2+y2=4, (x−a)2+y2=1,两式联立解得点

图2

因此,

此法是通过建系,用代数化的方式解决几何问题,该法利在思维量较小,而弊端是计算量大,对学生而言当属具有可操作性且通俗易懂的好法子.不难发现解法1中有个三角换元的过程,因此有了解法2.

解法2如图 3,以点M为坐标原点O,线段OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则设M(0,0),B(2,0),C(cosα,sinα)(α∈[0,2π))而向量可以看成是向量绕B点顺时针旋转60°而来,因此

图3

解法2对于减小计算量有了个质的飞跃,但是其中涉及了一个向量旋转得到点的公式,虽说这个知识要点在必修四习题出现过,但对于学生而言有一定的陌生度.如果在解法2的建系方式上,改变进行坐标的三角设法,生成解法3.

解法3设C(x,y)则由BM=2CM=2易得x2+y2=1(y/=0),易知点C的轨迹为一个单位圆,而设A(x,y),进而得到A点轨迹方程为也是一个圆,进而得到如图4,通过图形易知AM∈[1,3].

图4

此法在解决A的轨迹方程上其实“阿波罗尼斯圆”,下面简要说明.

阿波罗尼斯圆到两个定点A,B的距离成定比(不等于1)的点的轨迹是圆.

当λ＜1时,定点A在圆内部,定点B在圆外部;当λ＞1时,定点A在圆外部,定点B在圆内部.

在近些年的高考试题中对阿波罗尼斯圆多有涉及,篇幅所限,本文不再赘述.

上述的解法还是局限在解析法的范畴,其实我们还可以用平面几何辅助线的方式解决本题.

解法4如图5,将△ABM绕着点B顺时针旋转60°到△BCM′,连接MM′,从旋转得到△BMM′为正三角形,则BM=MM′=2,AM=CM′,易知MM′+MC≥CM′,所以当且仅当M在线段M′C上时,AM取得最大值3.

如图6,将△ABM绕着点C顺时针旋转60°到△BCM′,连接MM′,从旋转得到△BMM′为正三角形,则MC=MM′=1,AM=BM′,BM′+MM′≥BM⇐⇒BM′≥BM−MM′=2−1=1,,所以当且仅当M′在线段MB上时,AM取得最小值1;故AM∈[1,3].

图5

图6

我们还可以用圆内接四边形的性质解决问题.

解法5先引入一个如下引理,即托勒密定理:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.此定理有个如下推论:任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号利用推论,结合图5,图6,设AM=x,AB=AC=BC=a,易得如下不等式组当且仅当A,B,C,M四点共圆时取到等号.

此法同上一解法,都是从纯几何的角度给出解析和挖掘了,与此同时也找到了其深刻的几何背景意义,以及一个托勒密定理的几何应用.那么既然是一道有关三角形的题目,自然会有用解三角形那方面的知识去解决此题,因此生成了下面解法.

解法6如图7,设∠BCM=α,∠BMC=β,AB=AC=BC=a,则在△BMC中,有如下结论:由正弦定理得到:

由射影定理得到:

图7

在△ACM中,由余弦定理得到:(注意到点M动点,可以在三角形的任意一侧)

此法很好地利用的解三角形的知识解决了一个三角形问题,还设计到三角恒等变换,正可谓是把三角这个板块公式来了一个大集结,虽是小题,但有知识点俱全,正如俗语“麻雀虽小五脏俱全”.上一解法是通过解三角解决问题,再消字母a转换成三角函数求值域问题,那么同样可以保留a,直接看成a函数求值域,因此生成了下面解法.

解法7还是借用图7,只设∠BCM=α,AB=AC=BC=a,则在△BMC中由余弦定理得到:

在△AMC中,又余弦定理得到

(∗)式将①式代入,再将sinα,cosα由①式变形之后整体转换成a的式子,得到

等式两边平方得到关于x的一元二次方程

此法很好地展现了高中阶段函数主线的影子,对于函数求值域的处理应该是灵活娴熟的.

以上七种解法,可以分为三类解法,主要是解析法,纯粹的平面几何辅助线以及定理的应用,再者就是解三角形的处理方式.一个小题,它展现了其深厚的背景魅力,有阿氏圆以及托勒密定理,与此同时它也囊括了高中阶段数学的许多思想方法和知识要点,并且在解法当中,笔者认为利用初中阶段的三角形旋转是最优且通俗易懂的方法.总之,一个题方法多种多样,有通法通解,亦有巧解妙解,但是无论什么解法,对于解题者而言,选择适合自己“气质”的方法最佳,正如同每人的思维思考方式迥异.