高等数学和中学数学知识的衔接性研究

罗卫华 王新民

摘 要：高等数学是高等學校大多数理工科类学生的一门必修课程，对这门课程学习的好坏，在很大程度上影响到学生多门后继课程的学习。随着多轮中学数学教学改革的完成，高等数学与中学数学知识的衔接性问题越来越突出，这已经成为高等数学教师所必须关注和研究的课题之一。文章基于大量的高等数学教学活动，对高等数学与中学数学知识的衔接性做了比较系统的调查，并在此基础上，有针对性地提出了一些教学建议。

关键词：高等数学；中学数学；衔接

中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）02-0193-02

Abstract： Higher mathematics is one of necessary courses for most students of science and technology. How to study this course will largely affect their subsequent courses. With the innovation in middle school mathematics teaching materials， the problem of linkage between higher mathematics and middle school mathematics is getting worse， and has become an important studying target for many teachers. Based on many practical teaching experiences of higher mathematics， some cases about the linkage between higher mathematics and elementary mathematics are investigated， and some suggestions are presented correspondingly.

Keywords： higher mathematics； elementary mathematics； linkage

近年来，随着中学课程改革的不断加深，中学数学教材的内容不断调整，把有些原来在大学讲授的高等数学内容放到中学讲授，使得中学数学教材内容增加，而对某些学习高等数学所必需的基础知识点做了删减与调节，或者由于高考考纲不做要求而没有实际讲解。同时，由于高考的改革，各省的考试大纲不统一，以及文理科的区别，造成大学新生入学时数学基础知识和能力水平不统一。而另外一方面，现行使用的高等数学教材虽然也在不停地改版，但都是在上世纪90年代初的教材基础上进行修改的，他们都比较注重于对某些重点、难点知识点及其应用的补充和调节，而普遍没有重视对一些重点、难点基础知识的补充。这两个方面造成了中学、大学教材改革各自为阵的混乱局面，致使高等数学中有些知识前后断层，而有些教学内容又重复较多，这些给来自不同地域的大学新生学习高等数学带来了不同程度上的困难和不便，也让很多高等数学老师难以适从，阻碍了高等学校学科的发展。更有甚者，由于现阶段众多高校都在考虑转型发展，这就越发需要各高校重视理工科专业的发展，而高等数学是众多理工科专业的必修课程，高等数学学习的好坏，将直接影响到理工科学生的后续学业和理工类专业的长远发展。

关于高等数学与中学数学知识断层、重叠的问题，已有一些文献做了部分调查研究，在这些文献中，一些研究者从中学数学高考大纲、高等数学教法、高等数学教师自我发展、高等数学教材编写、高校与中学数学教法差异以及高校与中学的学生学习方法差异等角度做了探讨[1-3]。 针对这些断层、重叠现象，众多学者也先后以发表研究论文的形势提出了一些相应的解决措施，在政策上，提倡改革教学评价制度[4]，在教学方法上，主张高等数学教师注意查漏补缺、分层次教学、多方面引导、多角度考核[5-8]，在培养学生学习上，引导学生养成正确的学习方法和良好的心里素质，在增强学习自立性、自主性、探索性的过程中提高学生的自学能力[9]。

文章基于上述背景，结合现有的中学数学教材（普通高中课程标准实验教科书数学教材，人民教育出版社第三版），对若干高等数学的教材[10-15]和部分刚入校的大一新生进行系统的调查，并且提出一些建议，以促进高等数学教学的效果。

一、高等数学与中学数学知识衔接性现状调查

（一）知识重叠

通过调查部分刚入学的大一新生，结合中学数学教材和部分高等数学教材，可以发现大部分学生已经对如下知识点有了初步的学习和了解：

1. 简单函数的极限求法，极限的四则运算，诸如

已经具有了模仿学习的能力。但是，他们只是对极限有一个非常浅显的认识而已，对于极限的严格数学含义，一些特殊函数的极限，特别是分母趋向于0的函数的极限，还无法顺利求解。

2. 导数的定义，几何意义，几个基本函数的导数公式，包括函数y=c，y=xn，y=sin，y=cosx，y=ax，y=logax等。对于这一部分知识点，大部分同学表示比较熟悉，因此，在学习高等数学时，有一种似曾相识的感觉，学起来相对轻松一些。

3. 导数的应用，包括求曲线的切线，费马引理，求极大值和最大值，判断函数的单调性，以及生活中的一些最优问题。对该部分内容，中学数学教材和大部分高等数学教材中，都给予了详细叙述，学生对此的掌握程度也比较理想。

4. 空间解析几何部分，主要包括空间向量的定义和坐标表示，特殊向量，向量的加、减、数乘、数量积，向量的夹角，向量的位置关系等。这一些知识点，也同时是中学数学教材和高等数学教材中的重点章节。

（二）知识断层

除了上述的知识重叠，中学数学教材与大部分高等数学之间存在的更值得我们关注的问题就是知识断层现象。通过考察一些高等数学教材和对高校新生的调查，我们发现如下几类知识点是一些大一新生的薄弱环节：

1. 三角函数中的积化和差、和差化积、万能公式以及正割、余割函数。对此类函数和公式的掌握程度将直接影响到对求导数和不定积分、定积分的学习。

2. 反三角函数。大多数同学表示在中学阶段没有学习过反三角函数，而这一类函数却在导数、积分的计算中大量出现。

3. 极坐标，球坐标，柱坐标变换。这几种变换虽然在中学数学教材中有所包含，可是很多同学却对此掌握的很少，不足以应付多元函数积分的学习。

4. 双曲函数、反双曲函数。关于这两类函数，目前的中学数学教材没有涉及，而这些是物理学专业学生在学习专业课程时所需要的函数，在学习高等数学时必须要掌握关于它们的图像、导数、积分等知识。

5. 二项式展开定理。此定理虽然被包含在高中数学教材中， 然而，经过调查我们发现，很多同学对此定理表示掌握得不好。甚至有一些高中时学习文科的同学连二项式系数ckn的计算都没有掌握。

6. 数学归纳法。这个知识点虽然思想非常简单，可是对于一部分学生来说，在具体应用时，将第k步的情形推广到第k+1步还是比较困难，这反映了学生缺乏灵活多变的思想。

二、对策与建议

鉴于上述调查情况，我们可以从如下几个方面给出建议，以提高高等数学教学的效果，激发学生学习高等数学的积极性。

1. 对于高校教学管理部门，应加强对于以上各种问题的认识，及时地了解中学数学教材和教学改革的情况，并与一些最新版的高等数学教材做对比，以便了解两类教材之间的知识衔接情况，同时，多开展对高等数学教学活动的指导和对教学效果的调查，督促高等数学教师及时调整教学大纲，把握知识讲解重点。

2. 作为整个教与学的主导者，高等数学教师应该发挥其主要的作用，指导学生学习好高等数学。

（1）在正式介绍高等数学的知识之前，可以考慮进行短期的学前知识培训，对上述各知识点进行查漏补缺；

（2）及时地了解中学数学教材的内容，调查大一新生的数学方面各个知识点的掌握情况，结合不同专业学生的专业课程需求，制定教学方案，因材施教，因人施教；

（3）介绍合适的参考资料，引导学生自主学习；

（4）在施教的过程中，多帮助学生进行知识点梳理、归纳、总结，这一点对于刚刚脱离中学教学手段的学生来说，会更好地促进其学习效果。

3. 对于学生管理工作者，应多加强学生引导与管理，促使其养成良好的学习习惯。

4. 作为学习的主体，学生应该主动把握好自己的学习状况，制定合理的学习计划。

（1）要树立正确的学习观念，不要因为一时的学习困难就产生气馁、厌学、甚至恐惧的情绪。

（2）主动寻求多方面的教学资源。可以借助于图书馆、网络等资源，从多个角度学习高等数学。

（3）加强高等数学各个知识点的练习。

（4）寻找与自己专业课程的结合点，以从中发现高等数学的用途，发现高等数学的实际用途，找到学习高等数学的动力。

三、结束语

通过比较中学数学教材和若干高等数学教材，以及对一些大学新生的调查，我们比较系统地列出了上述两种教材之间的知识点的重叠和断层现象，并且从多个角度，有针对性地提出了一些建议，以促进高等学校中高等数学的教学效果，为理工科类学生更好地学习高等数学提供了一些指导意见。关于如何改进高等数学教学效果，将是我们进一步研究的目标。

参考文献

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