培养合作探究意识，发展应用知识能力

作者简介：余树宝，男，1969年5月出生，汉，安徽霍邱人，中学高级教师，安徽省中学数学特级教师，安徽省教坛新星，安徽省中学数学优质课一等奖获得者，现任教于合肥工业大学附属中学.

[摘 要] 课堂教学最重要的任务是培养好学生的数学能力，尤其是发展学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力. 教师在教学时，一定要发挥学生的主体作用，让学生充分地思考，探索解决问题的途径，归纳、总结问题解决的策略，获取解题经验.

[关键词] 课堂教学；提出问题；分析问题；总结问题；培养能力

课程是学校的，课堂是老师的. 作为承担数学教育的老师们，一定是在持续思考数学课堂教学的技术与艺术，在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等核心素养上孜孜追求着卓越.

其中，作为教学主渠道的课堂，很重要的任务是在教会学生掌握数学基础知识、基本技能、基本思想的同时，培养好学生的数学能力，尤其是发展学生的运用数学知识分析问题、解决问题的能力.

著名的数学家波利亞也说过“问题是数学的心脏”，“掌握数学意味着什么？那就是善于解题.”他主张数学教育的主要目的之一是发展学生解决问题的能力，教会学生学会思考. 所以我们反对师生搞题海战术，但离开解题的数学教学也一定是有偏颇的，没有解题的教学是没有实际意义的教学，就一定脱离了数学教学的本质，也就不利于学生认识数学的价值，不利于学生的可持续发展.

下面，就笔者近日在结束高一必修五第一章《解三角形》教学内容后，进行专题复习课《三角形问题的解决》的教学过程中的做法，谈一谈笔者的一点思考.

本堂课开始，笔者对与三角形有关的问题进行了梳理、归纳，笔者认为问题大致可分为四种类型：一是三角形形状的判断问题，二是三角形中的求值问题，三是三角形中三角等式的证明问题，四是三角形中的最值问题. 针对这些类型的问题，笔者分别从近年来高考试题和模拟题中选编了几个典型例题，通过每一个例子让学生认识各类三角形问题的设问方式与解决方法.

如解决三角形形状的判断问题时，笔者选用了一道简单的问题：

例1：在△ABC中，若==，则△ABC的形状是（ ）

A. 直角三角形

B. 钝角三角形

C. 等腰三角形但非等边三角形

D. 等边三角形

笔者选题的意图是想让学生既能通过“边”的角度，也能通过“角”的角度来判断此三角形的形状；既能利用正弦定理化边为角，也能利用余弦定理化角为边来解决此问题.

问题给出后，怎样引导学生思考并得出解决问题的办法是教学的关键，也是培养学生解题能力的重要环节. 在此过程中教师一定要发挥学生的主体作用，让学生充分地思考，分析问题的已知与未知，探索解决问题的途径.教师千万不能一言堂，代替学生完成解答过程就了事.高中新课程最重要的理念就是倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，鼓励学生参与课堂教学的全过程，让学生学会观察、感受、探究、实践、交流，自主发现数学规律和解决问题的途径.

波利亚也曾说过“老师为学生所能做得最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头”，这里说的“好念头”，其实就是开展学生积极活跃的思维活动.

笔者先给全体学生一定的思考时间，然后找一位学生陈述自己的想法. 这位学生给出问题的解决办法是利用余弦定理将=中的cosA，cosB分别换成，，运算化简此式可得a=b；同理由=可得b=c，从而判断此三角形为等边三角形.

接下来笔者并没有结束本题的解决过程，又问大家：想一想，有没有其他的方法来解决此问题呢？一位学生提出了自己的想法：利用正弦定理将=中的a，b分别换成sinA，sinB，结果得到tanA=tanB，由于角A，B都是三角形的内角，所以A=B. 笔者又补充了通过逆用两角差的正弦公式，由=变形可得sin（A-B）=0，又-π

还有没有其他的方法呢？一位学生这样回答：这是一道选择题，我用“排除法”能轻松化解. 他说，此三角形不可能是直角三角形，若某个角是直角，如A=90°，则cosA=0，条件不成立；若是钝角三角形，如A>90°，则cosA<0，条件也不成立，故先排除A、B. 对于C、D两个选项，他认为三条边、三个角出现的概率相等、位置均衡，估计应该选D. 该生的想法，得到了其他学生的认可和掌声.

借此机会，笔者趁势对选择题的解法作了一个总结：解选择题常用的方法，主要分直接法和间接法两大类. 直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但考试中，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目求解困难或根本无法解答. 因此，我们还须掌握一些特殊的解法，如直接法、筛选法、特值法、验证法、数形结合法等. 基本策略是：①熟练掌握各种基本题型的一般解法，也就是通性通法；②结合单项选择题对解题过程书写不作要求的特点，灵活运用选择题的解法与技巧；③挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速做出正确的选择. 宗旨是：不择手段，多快好省，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.

如果再给学生一些时间，学生一定还会有更多更好的想法，让全体学生参与其中，共享解决问题的思维与策略，共享问题解决后成功的快乐，意义非凡.

例1分析讨论最后，师生共同总结：判断三角形形状问题，一般情况下应从两方面入手，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把边角混合关系式化为三边关系式，或化为三角关系式，两者选择其一即可达到判断三角形形状之目的.

其实，不仅是三角形形状的判定问题，只要涉及边角混合关系式，这种方法都是有效的. 随即笔者又举了一个求值的问题——2016年高考全国Ⅰ卷第17题第（1）问：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C.

学生知道了边角混合关系式可采用化边为角或化角为边的方法，很快完成了此题解答. 并且通过比较，他们发现，两种方法中“化边为角”法解答过程简洁，速度更快：

2cosC（sinΑcosΒ+sinΒcosΑ）=sinC，即2cosCsin（A+B）=sinC，故2sinCcosC=sinC，可得cosC=，所以C=.

这也说明了凡事适合才是最好的，灵活选择也是一种能力. 另外，高一的学生，能迅速完成高考解答题，他们在收获了解题成功快乐的同时，也收获了对未来高考的自信.

在解决三角形的求值问题时，笔者针对“给值求值”问题选择了两个例题：

例2：在△ABC中，cosA=，cosB=，则cosC的值是（ ）

A. B. -

C. - D. 或-

例3：在△ABC中，cosA=，sinB=，则cosC的值是（ ）

A. B. -

C. - D. 或-

选题意图是让学生乍一看来，这两个例子好像有点雷同，实际上在解决问题的过程中会出现意想不到的差异.

例2主要考查两角和的余弦公式的应用. 解题过程中一要注意所求的角与所给角的关系（内角和定理），二要注意由cosA，cosB分别求sinA，sinB时的正负选择. 由于三角形内角的正弦值恒正，所以由cosA，cosB分别求sinA，sinB，结果是唯一的，于是cosC的值也是唯一的，选C.

但例3中由sinB求cosB会出现两个结果，学生若不注意取舍，很大可能会选择D.因此笔者想通过这个问题，让学生明白一点：解题过程中要注意由sinA=>sinB=及正弦定理=得到a>b，由“大边对大角”得A>B，因此B不可能为钝角，故cosB=-舍去，所以只能选C. 所以教学中选择好例题，有意识地达到你所需要学生达到的教学目标也是非常重要的.

此题解决时，笔者先通过提问让学生得到例2的解答过程，随即笔者利用多媒体展示了与例2类似的例3的解答过程：

解：因为cosA=，所以sinA=，由sinB=得cosB=±.

当cosB=时，cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-；

当cosB=-时，cosC=-cosAcosB+sinAsinB=.

故选D.

然后，笔者让学生去评判这种做法正确与否. 多数学生对这种做法给出了肯定，但也有个别学生提出质疑. 于是学生在疑惑中思考，在思考中讨论. 笔者提醒学生注意：角B是钝角还是锐角？笔者让学生从另外一个角度进行取舍，算一下sinC是多少. 结果学生发现，当cosB= -时，sinC=-，这个结果是所有学生都不接受的一个结果，因为大家都知道“三角形任何一个内角的正弦值恒大于0”.问题出在什么地方？笔者再问式子“a>b?A>B?sinA>sinB”成立与否. 学生讨论后回答，这个式子在三角形中是成立的. 于是追问由此来判断角B是钝角还是锐角是否可以. 学生此时恍然大悟，因为sinA=>sinB=，所以角B是锐角. 借此深刻地领会了三角形中三角函数问题的解决要综合地利用三角函数知识与三角形的相关知识才能得到正确的解决.

当然提出问题不仅是教师的事情，也是学生的事情. 当教师的，一定要培养学生学会自己发现问题、提出问题的能力，只有这样学生才具有参与教学的积极性，才能更深刻地理解数学知识的本质. 如在解决以上两个例题后，笔者让学生自己再编一个相似但不能相同的问题出来，其中一个学生这样编写：设△ABC中，sinA=，sinB=，求cosC的值. 学生共同完成后，发现这个问题的结果就有两种可能，与前两题相似但不同，很有价值.

到了此题总结时，笔者引导学生归纳：求值问题是三角形的主要问题，解题时，除了要用到三角函数的有关知识，如三角函数的图像和性质、同角三角函数的关系式、诱导公式、两角和与差、倍角等三角公式，还要运用三角形的有关知识. 如（1）边边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）角角关系：三角形的内角和定理A+B+C=π；（3）边角关系：大边对大角、大角对大边、正弦定理、余弦定理、面积公式等. 只有几方面知识结合起来，才能顺利地解决三角形中三角函数问题.

在与学生共同总结解题过程时，还发现在解决三角形中的有关问题时，一定要注意角的“有界性”. 关于角的式子，如0

波利亚在他的《怎样解题》一书中特别阐述了解题过程的一个重要环节——回顾，他指出其作用：不仅能改进、完善眼前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息（即形成数学观念的基本素材，或称解题经验的信息儲备），进一步升华为人们搜索、捕获、分析、加工和运用信息能力的总和——数学才能.

我们给出问题，然后去解决问题的根本是让学生得到一类问题解决的思想与方法，要总结出一类问题解决所用到的数学知识、思维的途径和采取的措施，获取解题经验. “一题多解”对锻炼学生的思维非常重要，但在教学的过程中，善于总结，寻求“多题一解”，也是非常重要的. 题海战术，无非是不去总结，重复做题，既浪费了时间和精力，也不能应对问题的变化. 当然在总结问题解决的过程中，还是要充分地发挥学生的主体作用，让学生去收集、整理、归纳、总结，只有这样学生得到的才是深刻的.

一堂课，教会了学生什么，培养了学生什么，当老师的自然要有思考. 高中数学教学的过程，要更加突出数学知识的应用，只有在运用数学知识解决问题的过程中才能不断地提高学生直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维能力，才能形成和发展学生数学应用的意识，提高学生的数学核心素养.