挖掘教材，链接高考

任小平

[摘 要] 高考命题体现“植根于教材，来源于课本，着眼于提高”的原则，本文以圆锥曲线的复习为例，引导学生回归课本，挖掘教材，夯实基础，深入研究课本典型例题、习题及其引申、演变. 高考圆锥曲线模块知识点：定义与方程、轨迹、定点、定值、最值、共线等.

[关键词] 教材；挖掘；高考

教育部考试中心姜钢主任在解读2017全国高考新修订考纲的文章中指出：通過“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标；通过“基础性、综合性、应用性、创新性”四翼考查要求. 解读中指出：“必备知识”强调考查学生长期学习的知识储备中的基础性、通用性知识，是学生今后进入大学学习以及终身学习所必须掌握的. 高考尽管是选拔性考试，但也至少有60%的基础题，这些知识绝大部分都在教材上有明确体现.

事实上，其他三个层面及“四翼”的培养与形成有较大一部分取决于学生对教材的学习与掌握程度，无论是全国卷，还是自主命题的省、市卷，各份试卷都特别注重高考与教材的紧密联系，因而用好教材以及对教材的挖掘至关重要.

在高考备考的学习中对照考纲，用好教材，尽量把“目标”与“要求”的考查用课本例题、习题或变式题这些熟悉的背景呈现给学生，更有利于学生各个方面的能力的培养与形成.

由于高考命题充分体现了“植根于教材，来源于课本，着眼于提高”的原则，本文以圆锥曲线的复习为例，引导学生回归课本，挖掘教材，夯实基础，深入研究课本典型例题、习题及其引申、演变，关注高考圆锥曲线模块知识点：定义与方程、轨迹、定点、定值、最值、共线等在教材的生长点，使高考备考事半功倍.

[?] 椭圆的标准方程

高考重视学科素养的考查，重视学生的概念形成过程，重视学生对概念的理解及通用性知识的考查.

（1）人教A版《选修2-1》第40页例1：

已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点

，

-，求它的标准方程.

课本提出了两种解决方法：①定义法；②待定系数法.

2013年高考四川理科卷第20题：

已知椭圆C：+=1（a>b>0）的两个焦点分别是F1（-1，0），F2（1，0），椭圆C经过点P

，

. 其第一问“求椭圆C的离心率”就是以该例为背景改编而成的.

采用课本的定义法求解如下：2a=

PF1

+

PF2

=+=2，所以a=. 又由已知得c=1，所以椭圆C的离心率e===.

（2）人教A版《选修2-1》习题2.2A组第7题：

如图1，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

人教A版《选修2-1》习题2.3A组第5题与该习题类似. 学生探究后容易求解这两个问题.

轨迹问题可以优先考虑运用定义法：连接QA，由于l是线段AP的垂直平分线，Q∈l，所以QA=QP. 又OP=OQ+QP=r，从而QO+QA=r.由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是椭圆.

2016年高考全国新课标Ⅰ卷第20题：

如图2，设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. 其第一问“证明EA+EB为定值，并写出点E的轨迹方程”的生长点就是该习题.

学生在此基础上容易完成此问题的求解：因为AD=AC，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以EB=ED，故EA+EB=EA+ED=AD. 又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而AD=4，所以EA+EB=4. 由题设得A（-1，0），B（1，0），AB=2. 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1（y≠0）.

[?] 三角形的周长问题

教材部分典型例题、习题及其演变是考试内容的具体化，教材是高考较大一部分中低档试题的直接来源.

人教A版《选修2-1》“2.2.1椭圆及其标准方程”练习第3题：

已知经过椭圆+=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点. （1）求△AF1B的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？

2012年四川卷理科第15题、2014年全国卷第6题两试题命制的生长点选择的就是这题.

2014年全国卷第6题：

已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）

A. +=1 B. +y2=1

C. +=1 D. +=1

2012年四川卷理科15题：

如图3，椭圆+=1的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________.

设F′为椭圆的右焦点，连接AF′，BF′. △FAB的周长=AF+BF+AB=4-AF′+4-BF′+AB=8+AB-（AF′+BF′）≤8.

当直线AB过右焦点F′时“=”成立. 此时AB=3，FF′=2，△FAB的面积为3.

该题进一步还可以演变为：A，B是椭圆+=1上的两动点，左焦点为F，则△FAB的周长的最大值为_________.

学生用同样的方法可以得到△FAB的周长的最大值为8.

[?] 位置关系与最值问题

高考是选拔性考试，高考部分试题必须有一定难度，这部分试题大多数也是根据教材的基本内容、基本方法编拟的，只不过是在综合性和灵活性上提出了较高要求.

（1）人教A版《选修2-1》“2.2.2椭圆的简单几何性质”例7：

如图4，已知椭圆的方程为+=1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

作出直线l与椭圆（如图4所示），观察图形，可以发现，利用平行于直线l且与椭圆只有一个交点的直线（直线与椭圆相切），可以求得相应的最小距离.

学生根据分析容易提出课本求解方法（判别式法），引导学生继续探究其他方法. 经过探究后，学生提出用参数法设出椭圆上点M的坐标（5cosφ，3sinφ），表示出M到直线l：4x-5y+40=0的距离d=，然后采用三角函数的辅助角公式可以求出d的最小值.

还可以更进一步探究：一般情况下直线l：Ax+By+P=0与椭圆+=1（a>0，b>0，a≠b）相切时，A，B，P，a，b满足的关系. 学生分组探究后得到满足的關系式为：A2a2+B2b2=P2. 这在练习中或考试中解决小题会显得非常快捷、准确.

如：已知以F1（-2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）

A. 3 B. 2

C. 2 D. 4

运用结论可得12a2+（）2b2=42，即a2+3b2=16，又a2-b2=4，从而a2=7，a=，选C.

（2）人教A版《必修2》“3.3.3点到直线的距离”以及人教A版《选修2-1》“2.2.2椭圆的简单几何性质”的练习第7题：

经过椭圆+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长.

2016年全国新课标Ⅰ第20题：

设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. 其中第二问“设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围”.

该问就是将教材知识点交汇后以此为背景综合改编而成的. 具体求解如下：

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x-1），

，0

，由后面计算的结果知道该点仍然是（2p，0）.

通过这两个题目的分析、探究，引导学生改编、演变，适当时提出问题：

已知抛物线y2=2px（p>0）的顶点为O，A，B为其上的两个动点，当OA⊥OB时，直线AB是否一定过定点（2p，0）？反过来，直线AB过定点（2p，0）时，是否一定有OA⊥OB？

各个学习小组讨论、交流，学生给出问题的解决办法：

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+t.

由x=my+t，

y2=2px，得y2-2pmy-2pt=0.

所以y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

所以x1x2=（my1+t）（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=-2ptm2+2pm2t+t2=t2.

因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0.

所以t2-2pt=0，所以t=2p，直线AB的方程为x=my+2p，直线AB过定点（2p，0）.

学生通过课本两个习题的研究容易得到：

已知抛物线y2=2px（p>0）的顶点为O，A（x1，y1），B（x2，y2）为其上的两个动点，当OA⊥OB时，直线AB一定过定点（2p，0）；反之，直线AB过定点（2p，0）时，一定有OA⊥OB，且x1x2=4p2，y1y2=-4p2.

事实上，还可以演变、引申出结论：

已知抛物线y2=2px（p>0）的顶点为O，A（x1，y1），B（x2，y2）为其上的两个动点，当·=-p2时，A，B，M（p，0）三点共线；反之，直线AB过定点M（p，0）时，一定有·=-p2，且x1x2=p2，y1y2=-2p2.

在高考备考中，其他模块与圆锥曲线模块的复习一样，首先研究近些年高考试题的命题导向，找出试题在教材中的生长点；其次，积极引导学生挖掘教材，探究教材试题的改编，把握好教材与高考的链接，切实达到高考复习事半功倍的效果.