从三节“同课异构”课反思概念教学

傅晓虹

[摘 要] 如何进行有效的概念教学，围绕核心概念展开教学，实现教学目标，让学生体会到数学的概念、思想的起源与发展及被认识都是自然的. 本文以《数学归纳法》三节“同课异构”为载体，谈谈对概念教学的反思和体会.

[关键词] 数学归纳法；同课异构；概念教学；反思

为提高学校数学教育教学水平，促进教师及时反思、总结教学实践经验，推动新课程改革实施，全面推进素质教育，实现有效到高效，我校数学组开展了一次“如何让课堂教学更有效”同课异构教学活动. 本次活动分为定课题、听课、评课、反思过程. 笔者本人参与了上述全部过程，有幸聆听、参与听评课，其中教学的处理以及评课中存在的观点分歧，引起了笔者对如何上好一节概念课的深思.

[?] 教学片段对比

1. 实例的引入

教师A：已知数列{an}满足a1=1，an+1=（n=1，2，3，…），试求数列{an}的通项公式.

学生：a1=1，a2=，a3==，a4=，找规律得出an=.

教师A：从上面四项归纳出来对n=1，2，3，4成立，但一般情形是否成立还没有验证，能否通过有限步骤代替无限步骤？请看多米诺骨牌实验（教具演示）.

教师B：已知数列{an}满足a1=2，an+1= a-nan+1（n=1，2，3，…），求a2，a3，a4，并猜想an.

学生：先求出a2=3，a3=4，a4=5，所以an=n+1.

教师借此点出数学归纳法，同时结合费马猜想说明上述不完全归纳不一定正确，需要证明，引到多米诺骨牌实验（教具演示）.

教师C：已知数列{a2}满足a1=1，an+1= a-nan+1（n=1，2，3，…），求a2012.

教师C的引例与教师B差不多，但处理不太一样，通过问题1“前四项对通项有什么帮助”和问题2“有依据吗”引到如何验证，启发学生从游戏得到启发，展示多米诺骨牌实验（视频）.

2. “多米诺骨牌实验”的运用

教师A以书本为教具演示，第一次演示能否一次性把所有依次竖立的书本倒下，如果可以并提问分析所需的条件是什么. 师生共同得出结论：①第一本书被推倒；②前一本书倒下，导致后一本书倒下. 教师调整书的间隔，再次演示，提问此时书为什么不能全部倒下，并追问能否从第二本书开始. 把学生引到数列通项的推导过程与推书有什么联系的地方.

教师B依次平铺一叠扑克牌，提问如何把它们一次性翻过来. 教师动手实验，学生观察分析，只要满足两个条件：①第一块扑克牌翻上来；②任意相邻的两张牌，前一张翻过来一定导致后一张翻过来. 然后类比到数列引例.

教师C利用“球撞骨牌”视频，引导学生思考以下问题. 问题1：每一张骨牌的倒下需要一张张去推倒吗？学生：仅需推倒第一张即可. 问题2：为什么第一张倒下会让其他张都会倒下呢？学生：任意的两张骨牌如果第k张倒下则第k+1张倒下，骨牌倒下具有传递性. 总结：全部倒下需要两个条件，①第一张骨牌倒下；②若第k张骨牌倒下，则第k+1张骨牌也倒下. 问题3：能否抹去条件①或条件②？学生：不能，如果去掉条件①，一张都不能倒下；如果去掉条件②，不能保证全部倒下. 问题4：若条件①和条件②都满足能使多少张骨牌倒下？由此引到归纳法概念的建立.

3. 数学归纳法概念的建立

教师A运用多米诺骨牌实验所得原理，证明引例，由此概括出证明某些与自然数有关的数学命题方法，即数学归纳法.

教师B的处理方法与教师A一致，都是由引例解决，引出数学归纳法的概念及其基本步骤，由特殊到一般.

教师C记“骨牌倒下”为命题p，则骨牌实验原理可以叙述为：①n=1时，命题p成立；②若n=k（k∈N*，k≥n0）命题p成立，则n=k+1时，命题也成立. 即若①②同时成立，则命题p对所有的n∈N*都成立. 由第一步的奠基和第二步的传递，把无限的递推转化为有限步骤，实现了对任意n∈N*命題的证明，由此回归到引例证明，给出数学归纳法的概念.

4. 基本步骤的熟悉

教师A选用了教科书（选修2-2）中的例1：用数学归纳法证明12+22+32=（n∈N*）. 教师板书示范并给出两道练习题：

（1）用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=n2（n∈N*）.

（2）已知f（n）=++…+（n∈N*），则f（k+1）=______.

教师B的选例是求证：1+++…+<2-（n∈N*，n≥2）. 教师讲解板书并布置课堂练习：教科书（选修2-2）例1（同上）.

教师C的选例：教科书（选修2-2）例1（同上）. 师生共同完成.

[?] 评课反思

评课交流主要集中在三个问题上：一是这节课的引例实验如何合理地利用；二是数学归纳法是选修内容，教科书仅要求对数学归纳法的概念进行了解，教学重点是放在概念的理解上还是在了解概念后基本步骤的落实上；三是教科书规定的是一个课时，这一个课时如何选题，选哪些题. 笔者反思如下：

1. 引例≠引入

三位教师都从数列问题引入，引发学生认知冲突，然后引到问题论证，寻找证明原理. 教学遵循的是“冲突→原理（方法）寻找→问题解决”. 用引例引入课题，但不能仅仅满足于引例的“引入”功能，应该充分发挥引例的潜在功能，给足学生思考的时间和空间，让学生意识到这是一个有关正整数n（n∈N*）恒成立的命题，让学生体会到该命题与通常命题的区别，从而为寻求证明的过程打下坚实的基础. 针对多米诺骨牌实验，为了更好地运用实验原理，可运用表格作如下改进：

[多米诺骨牌

2. 了解概念≠过程淡化

三种不同设计体现了对这节课的不同理解和处理. 教师A侧重对数学归纳法基本步骤的掌握；教师B对数学归纳法的概念建立（包括基本思想渗透）和基本步骤的掌握时间各占一半，体现了既注重概念又注重运用；教师C正好选择重概念的建构和基本思想的渗透，把数学归纳法的运用当作是对概念理解的载体. 这些处理的不同是基于他们对教学用书的理解和教材的处理不同，正如教师A在课后交流中提到，教师教学用书对数学归纳法的基本思想仅要求了解，而对基本步骤要求掌握，所以教学目标只要学生了解数学归纳法，能掌握数学归纳法的基本步骤去证明有关自然数的命题即可. 而教师B则认为，数学归纳法的步骤是重要的，学习了当然希望学生会证明，但对归纳法不理解，运用肯定会有困难，故不能淡化对概念的理解. 教师C则认为，虽然教学目标是让学生掌握基本步骤，以致能证明一些有关自然数的命题，但是对归纳法的基本概念及思想要是不理解就谈不上运用，所以把重点放在了概念的建构和思想的渗透上. 在交流时，大家的意见基本上分为两种，一种是淡化概念，注重步骤能操作处理问题就可以了；另一种就是肯定教师C的上课法，注重概念. 到底哪种更好，从课堂学生练习效果来看，反而是教师C的学生普遍做得到位.

3. 好题≠典例

教师A选用的练习“已知f（n）=++…+（n∈N*），则f（k+1）=____”.在这节课不是很合理，本节重要的是在概念理解的基础上对步骤的落实，而这一练习无形中增加了教学难点. 又如教师B的选例“求证：1+++…+<2-（n∈N*，n≥2）”，初看是一道好题，结合了不等式以及放缩证明的技巧，但是教学中转移了学生的注意力，不利于学生对主干知识的掌握. 教学中我们经常困惑，那么多的好题、类型题，该如何选择，总是难于舍弃. 其实关键在于一节课教学目标的定位和教师对学生的认知需求的一种理解. “学生有学生的认识规律，教师不能代替学生的认知，应该给学生认识的空间，否则再好的电影，学生看来要是没有感觉，放过就没有印象了”.

[?] 对今后概念教学的启示

1. 数学的引例实验——为概念的理解铺路

三节课都是以数列题引入，但教师A的引例“已知数列{an}满足a1=2，an+1=（n=1，2，3，…），试求数列{an}的通项公式”，对部分学生可能缺少驱动力，因为学生容易用数列知识解决此题：=+，可得

为等差数列，给学生的悬念没有另外两个教师的引例强.另外两个教师给出的两道题都具备了从不完全归纳到完全归纳猜测验证的功能，都具有了本節核心概念的特例功能. 对多米诺骨牌实验，三位教师都运用了类比，但在对实验的运用上还欠缺挖掘，很多时候都是传达一种递推的事实，而没有很好地为概念的建立服务. 应该让学生观察或动手“能全部倒下”“只能部分倒下”和“一张都不能倒下”的情形，上述实验只需调整骨牌间的距离，就能实现. 其实多米诺骨牌实验也可以用传递信息游戏取代.

2. 数学概念的教学——重概念的形成过程

本节的核心概念是数学归纳法，这个概念渗透着归纳递推思想，虽然对思想只需了解，但是它是基本步骤能否掌握的关键，所以除了通过游戏或实验直观引起学生认识原理外，还要对概念进行深层次理解，这也是本节教学的难点、疑点所在. 学生可能对数学归纳法步骤2中假设n=k时p（k）成立产生疑惑，而对于步骤2是证明了什么一知半解. 教学中，教师应该帮助学生建立这种假设性的推理概念，让学生认识到，在第二步我们实质上是证明了一个延续递推规则，这里并不涉及p（k）或p（k+1）的真假，只是证明了“p（k）为真，则p（k+1）也为真”这样的一个条件命题成立. 这一点上，三位教师都不够重视.

3. 数学习例的演练——为概念的巩固服务

教学中例习题的选择，经常困扰着我们的教师，因为我们手头经常有一些“好题”，难以取舍或割舍不下. 到底什么样的题才是课堂真正需要的好题呢？笔者认为要满足两个标准：一是对本节核心概念具有巩固作用，二是要满足学生学习就近发展区，否则再典型也会起不到作用. 如果预设生成不了，可能还会增加学生学习的困难，转移学生的注意力，使得课堂“翘一翘”反而成为败笔. 本节课例习题的作用是让学生巩固数学归纳法的两个步骤，课本给的例习题比较适合.

当前的数学课堂中，以解题教学代替概念教学现象时有发生，在概念教学的引入、概念过程的经历体验上给学生的时间和空间不够，以致教师教完了，学生对内容、方法和思想知之甚少. 所以必须重视概念教学，让学生经历概念的形成过程，正如李邦河院士所认为“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”那样，我们教学要聚焦概念教学，探索概念教学的方法和基本规律.