数学归纳法解决数列中的探索性等问题

吴方跃

摘 要：本文介绍了数学归纳法的定义，并举例说明了我们在使用数学归纳法时应注意的问题，告戒我们不能盲目的归纳，避免得出错误的结论，本文还重点介绍了我们在使用数学归纳法解题时应注意的步骤，还介绍了数学归纳法推理的常用技巧，并通过在数列中的应用实例的分析，启发人们在解题中更好地使用数学归纳法。

关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理；数列

数学归纳法的应用比较广泛，可以讲凡是关系到自然数的结论都可以用它来验证。学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力、观察能力、数学化能力、逻辑思维能力和解决综合性问题能力。另外，它也是每年高考中必不可少的内容，而且是得分点，同时也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带。下面我介绍数学归纳法及在数列中的应用。

1数学归纳法

1.1数学归纳法的定义

正确时，若在正确的情况下，也是正确的，便可递推下去。虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。

1.2运用数学归纳法证题的步骤：

（Ⅰ）验证当1时，某命题是正确的；

（Ⅱ）假设时，命题也是正确的，从而推出当时，命题也是正确的。因此，命题正确。

容易悟错的是：既然是任意的自然数，是正确的，那么也是正确的。即与应该表示同一个意思。何必还要证明呢？这很容易理解，虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了时，就是一个固定的自然数了，换句话说，就是一个有限的数。因而，能否从n=k时命题正确，推出时命题也是正确的，这就不一定。如在时正确，推出了也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从到，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。

在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形。

形式1：证明中的第一步不一定从1开始，如果当的时候，命题是正确的，又假设时，这个命题是正确的，可以推出当时，这个命题是正确的，那么这个命题当时都正确，从而得出命题正确。

例：当且时，求证：

证明：（1）时，左边

左边>右边，所以不等式成立。

（2）假设n=k时不等式成立，即：

当时，

即时，不等式成立。

根据（1）与（2）得，对于且，所证不等式成立。

形式2：运用数学归纳法证明时，第一步不只验证第一个值，而是要验证从初始值始连续若干个值的特殊值时命题都是正确的，第二步假设是正确的，推出是正确的，那么这个命题就是正确的。

例：如果，，并且对所有自然数有

试证：

证明：由题意，需验证，两值。

（1）当时，，另一方面命题是正确的；还有时，，另一方面命题是正确的。

（2）假设当时命题是正确的，当然也是正确的。

即，成立，

则故在时，命题也成立，于是可以断定原命题成立。

应注意，运用数学归纳法论证某一问题时，它的两个步骤是缺一不可的。没有第一步的证明就没有基础，而不做第二步的证明，就无法断定命题在一般情况下是否成立。如果二者缺一，将可能会得出十分荒谬的结论。

2用数学归纳法解决数列中的探索性等问题

类比与猜想是解决探索性问题较为突出的思想，从具体的、有限的问题，通过观察、分析，进行科学的归纳、猜想。

例：已知数列满足条件=且，设，求：的通项公式。

解：当时，由=得

当时，因为，代入=得

同理可得，再代入，得，，

由此猜想（也可由），，，，猜想，要证，可证

当时，，前面已求得，所以猜想正确。

假设时，，

则当时，由已知得

所以：

所以時，成立。

综上，对一切，都成立，所以，的通项公式

启迪归纳：（1）运用数学归纳法证明命题时，要注意对的依赖作用，当时，证明命题成立必须用上归纳假设。

数列中的归纳——假设证明是对学生观察、分析、归纳、论证能力的综合考察，先以具体的、特殊的情况入手，进行细致的分析，合理归纳，再慎重、准确地猜想，最后再严密地推理论证。

数学归纳法在很多学科方面都有很广泛的应用，要很好的运用数学归纳法解题，就需要熟练的掌握数学归纳法的原理和数学归纳法的几个步骤。

参考文献：

[1]L.I格拉维娜，I.M雅格洛姆著.姚时宗，童增祥译.数学归纳法在几何中的应用[M].莫斯科米尔出版社，1979.

[2]华罗庚.数学归纳法[M].上海：上海教育出版社，1963.

[3]洪帆.离散数学基础（第二版）[M].武汉：华中理工大学出版社出版，1997.

[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社.