归纳推理在高中抛物线的定义教学中新思考

陈永红

【内容摘要】提高学生数学探究和归纳推理能力是新课标要求。新课改要求教师在教学中要充分利用演绎和归纳推理法，让学生掌握数学知识点之间的脉络，或者演绎，或者推理，将所学的知识上升为思维层面，从而帮助学生对前面所学数学知识进行综合运用，让学生能更深层次地掌握所学知识。

【关键词】高中数学 归纳推理 有效引导 提高效益

归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是各种各样的探索及科学发现的重要手段。在数学教学中，归纳推理有着其他推理无可比拟的优势，能起到神奇的功效。要重视归纳推理在教学中的应用！这一想法在我重新面对抛物线的定义教学时逐渐清晰起来。

一、巧用归纳推理，化模糊为清晰

圆锥曲线定义的教学过程中，我们大多应用类比推理。从已学圆的定义：平面内到一定点的距离等于一定值的点的轨迹是圆。联想：平面内到两定点的距离之和等于定值的点的轨迹是什么？叫学生用一根绳子亲自动手进行试验之后用几何画板进行动态演示，学生直观得知该轨迹是椭圆。再联想：平面内到两定点的距离之差等于定值的点的轨迹是什么？用拉链进行演示之后用几何画板进行动态演示，学生直观得知该轨迹是双曲线。这三类曲线的类比点明显，图像特征明确，故而学生接受起来没有异议。常规的抛物线定义教学也用类比推理，但是显得有点勉强、突兀。首先抛物线定义域前两个曲线的相似点不够突出，其次抛物线的图像是单支曲线。从前几届的学生反馈的信息发现：学生总有疑问满足到一定点F的距离等于到一定直线l（F ）的距离的点的轨迹就是抛物线？甚至有的同学称之为单曲线。又已知二次函数的图像是抛物线，此抛物线是否就是彼抛物线？所以抛物线定义及标准方程教完之后，还得花时间证明二次函数图像上的点也满足到一定点F的距离等于到一定直线l的距离。对此，我就抛物线定义的教学设计做了调整，进行了新尝试。在学生已建立的认知“二次函数的图像是抛物线”的基础上去挖掘出更深层次的规律性的结论，再提炼成抛物线的定义。

我对抛物线的定义的教学做了多元化设计，学生可以从中得到新知：到一定点F的距离等于到一定直线l（F ）的距离的点的轨迹就是抛物线。由具体到抽象，有由特殊到一般，学生对抛物线的定义也就从模糊到清晰。

在我尝试用归纳推理讲解抛物线的定义之后，几位数学教师就这一设计进行了讨论。对此设计各有不同的见解，仁者见仁智者见智。有的说考虑知识的延续性，还是原有的教法各自然，反正定义的东西怎么说就怎么是，开门见山，直奔主题，让学生记下就是；也有人赞同我的新思路，认为不妨一试。应用归纳推理进行概念教学，给学生一个很好的导向：对一个新的问题、对一个模糊的概念可以尝试用归纳推理理出条理及思路。如果说抛物线的定义应用归纳推理能使得模糊的概念清晰化还有教师不赞同的话，那么微积分基本定理应用归纳推理达到的效果则是相当的明显，这一点毋庸置疑。

二、妙用归纳推理，化深奥为浅显

从浅显的实际情境出发归纳出深奥的数学理论，达到化深奥为浅显、化难为易的目的，有助于学生对知识的理解与记忆，达到事半功倍的效果。

如微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）：

其中 。

揭示导数与定积分之间的内在联系，提供计算微积分的捷径，是微积分乃至整个高等数学的重要定理，能正确理解并掌握该定理对学生计算定积分提供工具，并为学生进一步学习高等数学奠定坚实的基础。但是该定理的探究及证明对高中一般校的大部分学生而言很是深奥，不好理解。为此，我设计了这样的教学思路。

设质点M的运动速度

，时间为t，位移s（t）。求质点M在t∈[a，b]的位移 。

分析：从定积分定义的角度可知：

但是利用定积分定义不易求得其值。从这个具体的运动位移问题出发，问学生如何求 的值？水到渠成，学生自然而然提炼出一般性的结论。这样的设计不仅让学生容易理解并接受该定理，而且让学生知道归纳推理在数学发现中的重要作用，同时也让学生体会到原来数学可以这么学，充分体验到成功的喜悦。接下来在让学生去研究此定理的证明过程就有了信心及底气，这原本深奥、晦涩、难懂、抽象的数学证明也就迎刃而解。

三、思用归纳推理，化抽象为具体

众所周知，三角函数的公式多，变化多。在我们看来很简单的公式及结论对一般校的大部分学生而言像一团乱麻，缠来绕去总是理不清。如诱导公式的推导及记忆。我们的教学设计大多是从三角函数的定义：角 的终边与单位圆交于一点P 则