趣味“海盗分宝石”问题的数学建模

孙慧

【摘要】文章介绍了数学建模的一般赛事，介绍了什么是数学建模以及数学建模比赛的形式，通过一个经典博弈论的小问题，介绍了数学建模论文的一般格式和步骤，使用逆推归纳法，求解出了这个经典博弈论问题的结果，并给出完整的解决方案，最后总结给出数学建模写作的一般思路。

【关键词】数学建模；逆推归纳法；博弈论

近年来大学生数学建模在国内发展非常迅速，国家对大学生数学建模也越来越重视，主要的数学建模赛事有：全国大学生数学建模竞赛、数学中国数学建模网络挑战赛、美国大学生数学建模竞赛等，地区赛有华中赛、华东赛、东北赛、苏北赛等，我校近几年在全国大学生数学建模中也取得了多次国家奖的好成绩。

一、数学建模的概念、比赛的形式

数学建模是指：面对实际问题，人们在深入调查研究、了解对象信息、做出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。

数学建模竞赛是针对全体大学生的，要求学生不仅仅要数学好，对其他专业课的学习也要求很多，最重要的是考查学生的自学能力和吃苦耐劳、团队合作能力。

参加数学建模竞赛，一般要求最多三个人为一个组，比赛地点没有限制，比赛条件要求就是一台可以上网的电脑，比赛时间是三天，三天内参赛队员可以自己查阅各种书籍资料，但不可以和队员以外的其他人进行交流，每个大赛的参赛时间都是不一样的，比如五一建模竞赛是在每年的五一放假三天内，全国大学生数学建模竞赛是在每年的九月份等，数学建模竞赛的题目和最终论文的提交都是在网上进行。

二、举例子说明对于数学建模论文的一般格式和要求

以趣味海盗分宝石问题为例，

（一）问题重述

5名海盗抢到了100块金币，他们准备采用以下方法分赃，抽签为每人确定1、2、3、4、5这五个不同的序号，先由抽到1的人提出自己的分赃方案，如果他的方案被超过一半人赞同，就按照他的意见分赃；如果他的意见没有得到过半数人赞同，他将被扔进大海去喂鲨鱼，当海盗1被投人大海之后，由序号2重新制定分赃方案，如果海盗2的方案在现有海盗中超过半数同意便执行，否则也将海盗2投入大海，以此类推。

假定这五个海盗都是高智商且极其贪财的，试问海盗1会制定出怎样的分赃方案，以使自己免于葬身鱼腹。

（二）模型假设

1.假设五个人都是非常聪明的人，都可以分得清利害关系；

2.假设五个人之间没有恩怨互不认识，没有交流；

3.假设五个人考虑问题优先考虑保住性命，然后次要利益最大化；

4.假设五个人都严格遵守游戏规则，不存在暴力行为，在自己利益最大的情况下不会危及别人生命。

（三）符号说明

i表示五個人的编号，i=1，2，3，4，5，

Ai表示第i个人提出的最优方案，

（四）模型建立与求解

对于这个问题，我们可以建立逆推归纳法的模型，也就是从第5号开始考虑，先分析如果轮到第5号做决定，他会做出怎样的决定，依次倒推到第1号的决定。

具体过程如下：

5号分配方案A5：5号100个，

4号分配方案A4：5号100个；4号0个，

分析：4号一个都不能要，否则5号不同意，4号自己同意自己的决定，只达到半数的人同意，没有超过半数，所以5号不同意，4号就会死掉，而4号一旦死掉，只剩下5号一人，就可以获得100个。

3号分配方案A3：5号0个；4号1个；3号99个；

分析：如果1号和2号已经死掉，一旦3号也死掉，5号就可以获得100个宝石，所以无论3号给5号多少宝石，他都不会答应，所以干脆给5号0个，给4号1个，因为如果4号不同意，那么3号死掉，4号分配将一个也得不到，

2号分配方案A2：5号1个；4号2个；3号0个；2号97个；

分析：如果2号死了，3号的分配方案就可以获得99个，所以2号的分配方案干脆给3号0个，给5号1个，4号2个，如果4号5号不同意，2号死掉，他们两个获得的分配数量都会减少。

1号分配方案A1：5号2个；4号0个；3号1个；2号0个；1号97个；

分析：对于5号，比2号分配方案多了一个，赞成；4号赞不赞成都无所谓，这里说要利益最大化就不给了，反对；对于3号如果让2号分配1个都没，有一个也不错了，赞成；2号反对，无所谓；1号自己分配怎么也赞成的。

综上所述，1号应该提出的最优分配方案为A1：5号2个；4号0个；3号1个；2号0个；1号97个！

三、对以上数学建模的问题的简单分析

1.政策制定的人，也就是获得利益最大的人，当然表面看上去也是处境最危险的人。

2.条件中的五个人都是非常聪明的人，能够认清楚自己的利害关系，这个是很重要的一个前提条件。

3.在政策制定的同时，五个人是相互独立的，也就是没有交换过信息，最后，模型的假设是很关键的，它是模型成立的一个基础，去掉一个假设，都可能导致模型的错误。

对于数学建模假设部分，假设主要是为了在一定程度上简化问题，有的实际问题不简化也许现有的方法无法求解或者在大学阶段无法求解，简化也不是无条件地简化，不能让原问题失去本来的意义，模型的假设主要是论文的模型成立的条件，也就是论文的模型的解是在哪些条件下才成立的，离开了这些前提条件或许答案就会发生改变。