例谈“绝对值三角不等式”的研究与拓展

☉江苏省泰兴市第二高级中学 毛玉峰

例谈“绝对值三角不等式”的研究与拓展

☉江苏省泰兴市第二高级中学 毛玉峰

绝对值三角不等式是人教版选修4-5中的重要内容之一，它是求解含有多个绝对值符号的函数最值问题最有力的解题工具.在近几年的高考与竞赛中，含有多个绝对值符号的函数最值问题已是屡见不鲜.学生遇到这样的问题，往往都是通过分类讨论，分段求最值来处理，运算繁杂且很容易出错.“绝对值三角不等式”中蕴含了拆项、添项、配凑等数学方法，如果考生能够熟练掌握、灵活应用，在解题时就能达到事半功倍的效果，下面举例来进行说明.

一、定理展示

定理：如果a，b都是实数，那么|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.

把定理中的实数换成向量a，b，结论依旧成立，它的几何意义是三角形两边之和大于第三边，等号成立的条件是a，b同向.由于定理与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等式为绝对值三角不等式.

二、推广拓展

在处理具体问题时，仅靠上述定理是远远不够的，多数情况要用它的推广拓展：

结论1：∀a，b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.（右边“=”成立⇔ab≥0，左边“=”成立⇔（a+b）b≤0）

结论2：∀a，b∈R，则|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.（右边“=”成立⇔ab≤0，左边“=”成立⇔（a-b）b≥0）

结论3：∀a，b∈R，则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.（右边“=”成立⇔ab≥0，左边“=”成立⇔ab≤0）

结论4：∀a，b∈R，则||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.（右边“=”成立⇔ab≤0，左边“=”成立⇔ab≥0）

结论5：（1）设x1≤x2≤…≤x2m，m∈N*，则当x∈（xm，xm+）1时|x-xi|取得最小值；

结论6：设x1≤x2≤…≤xn，n∈N*且n＞1，则

结论7：（1）设x1＜x2，m，n∈N*且n≥m，则当x=x1时，n|x-x1|+m|x-x2|取得最小值；

（2）设x1＜x2，m，n∈N*且n≤m，则当x=x2时，n|x-x1|+ m|x-x2|取得最小值.

三、研究与应用

（一）求最值或证明题

例1已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值.

（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（2）当a，b满足M（a，b）≥2，求|a|+|b|的最大值.

此题是浙江的一道高考压轴题，方法很多，此处以绝对值三角不等式解决，以显其威力之大.

所以M（a，b）=max｛|f（-1）|，|f（1）|｝.

（1）从绝对值本身入手，在含绝对值问题的本身、本质、几何意义等处下工夫.

证法1：利用|x|≤a⇔-a≤x≤a（a＞0）去绝对值，

因为M（a，b）=max｛|f（-1）|，|f（1）|｝，

所以M（a，b）≥|f（1）|=|1+a+b|，

M（a，b）≥|f（-1）|=|1-a+b|，

两式相加得-2M（a，b）≤2a≤2M（a，b），

故M（a，b）≥|a|≥2.

证法2：利用绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a±b|进行放缩解决问题.

因为M（a，b）=max｛|f（-1）|，|f（1）|｝

=max｛|1-a+b|，|1+a+b|｝

所以当|a|≥2时，M（a，b）≥2.

（2）从（1）的方法中可选择“从绝对值本身入手，在含绝对值问题的本身、本质、几何意义等处下工夫”.

方法1：从绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a±b|入手，进行巧解.

所以|a|+|b|max=3，当a=±2，b=-1时取等号.

方法2：因为M（a，b）≤2，又M（a，b）=max｛|f（-1）|，|f（1）|｝=max｛|1-a+b|，|1+a+b|｝≤2，

故M（a，b）=|1+b|+|a|≤2.

因为|1+b|+|a|≥|b|+|a|-1，所以|b|+|a|≤3.

所以|a|+|b|max=3，经检验当a=2，b=-1时能取到等号.

≥|x-1|+|x-19|+|x-2|+|x-18|+…+|x-9|+|x-11|+|x-10|

≥|（x-1）-（x-19）|+|（x-2）-（x-18）|+…+|（x-9）-（x-11）|+|x-10|

≥18+16+…+2+0=90，

当且仅当（x-1）（x-19）≤0且（x-2）（x-18）≤0且…且（x-9）（x-11）≤0且x=10，即x=10时，等号成立.

故f（x）的最小值为90.

（二）存在性问题

例3关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|，若存在实数解，则实数a的取值范围是________.

解：只需（|x+1|+|x-2|）min≤|a|即可，利用结论可知，

3=|（x+1）-（x-2）|≤|x+1|+|x-2|.

由|a|≥3，解得a∈（-∞，-3］∪［3，+∞）.

（三）恒成立问题

解：依2|x|+|x-2|+2|x-1|＞2m恒成立，

可令y=2|x|+2|x-1|+|x-2|=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|，

min

（四）求方程根的个数等问题

（五）解决不等式问题

例7解不等式：|2x+1|-|x-2|＜|x+3|.

解：原不等式等价于|2x+1|＜|x-2|+|x+3|，又因为2x+ 1=（x-2）+（x+3），

所以|（x-2）+（x+3）|＜|x-2|+|x+3|，即（x-2）（x+3）＜0．

所以原不等式解集为｛x|-3＜x＜2｝.

（六）已知最值求参数的值

例8若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为_________.

例9已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4，求a+b+c的值.

解析：f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+ c，当且仅当-a≤x≤b时，等号成立

又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+ b+c，所以a+b+c=4.

总之，高考数学命题遵循考试大纲和课标，体现“基础知识全面考，主干内容重点考，热点知识反复考，冷门知识有时考”的命题原则.从解答策略上来说，高考一般淡化解题中的特殊技巧，比较注重在解题的通性通法上精心设计.但是认真分析近几年的高考试题，我们不难发现，由很多难点问题既可以用“通性通法”解决，但同时有的时候却不行.因此，在平时学习中，有必要适当掌握更多的方法和技巧，只有这样，才能真正在高考中做到处变不惊，游刃有余.绝对值三角不等式是一个重要的不等式，对于含有绝对值的函数求最值问题，应优先考虑此不等式，当然有时候需要适当变形，同时要特别注意等号成立的条件.