思教材，辨概念，观素养——《三角函数的诱导公式》课例研究

☉浙江省湖州二中 费 凡 沈 恒

思教材，辨概念，观素养
——《三角函数的诱导公式》课例研究

☉浙江省湖州二中 费 凡［1］沈 恒［2］

近期，笔者参加了一次教师专业技能交流活动，课题为人教A版《必修4》1.3《三角函数的诱导公式》第一课时.本课内容单一、形式枯燥，笔者不禁在思考：《三角函数的诱导公式》这节课的内容能让学生除了公式的应用之外还能学到什么？将新知的学习能否上升到更高的层面？通过本课的演绎，产生点滴想法，与读者交流.

《三角函数的诱导公式》这一节课的教学重点在于如何让学生学会将任意角的三角函数转化到锐角的三角函数，而让学生自己体会这个转化的过程则是本节课的一个难点.刚进入高中的学生对于抽象的数学问题较难理解，所以如何让学生能够将抽象的、难以理解的数学问题，用具体、形象的数学模型进行拆解分析是本堂课的一个难点.

在思考本课设计时，笔者参考了不少相关教学设计，发现大部分设计对于问题情境的切入简单而直接，起到了引发学生认知冲突，激发学生探究欲望的作用，但在形式上过于单一，或者问题过于零碎、牵强，对三角函数诱导公式的数学本质揭示得不够贴切，故不禁思索：

（1）一个好的引入可以成功引起学生的学习兴趣，本课应该选取一个怎么样的适当切口，既能符合学生的认知程度，又能很自然地引导学生发现探究的方向？

（2）学生的探究活动应该如何进行？

（3）数学的学习需要一定数量与难度的习题来巩固，而在课堂上何处放置例题，放置什么样难度的习题则是一个考验，因为过量的练习会让一节本该是概念式教学的课程变形成解题式教学的模式，这也是新教师经常容易会犯的错误，但是如果练习的量太少，则无法起到示范引领的作用.

《普通高中数学课程标准（实验）》（之后就简称为“课标”）要求：借助三角函数定义或单位圆中的三角函数线推导出诱导公式［1］.根据“课标”要求，笔者深受启发，知识的获得和内化必须符合学生的认知规律，并借助学生已有的经验对知识进行自主性地构建，故类比对数教学中的换底公式的引入，“如何计算出每个对数的具体数值”，引起学生现有认知的不足，然后提出了一个将一般对数转化到自然对数和常用对数再通过查表的方式计算对数值的想法，从而将换底公式进行合理导入.基于这节课，笔者想到了三角函数诱导公式的切入口也在于转化，那么如何将学生的思维引导到“转化”三角函数值上就成为这节课一个极好的导入方向.因此，笔者在课堂教学过程中运用了一定教学策略，通过让学生自己发现自身现有三角知识体系上的不足展开探究，帮助学生打开知识的大门，引导学生利用数学建模的思想解决问题，总结结论，促使教材内容活化，升华学生对抽象知识的掌握、理解能力，笔者设计了如下教学：

一、过程简录

1.创设情境，形成冲突，激发欲望

师：在之前一周的学习中，我们已经对三角函数有了初步的了解，相比初中所学习的内容，我们做了哪些改进？

生：将角从0°～360°推广到了任意角，将锐角的三角函数推广到了任意角的三角函数.

师：好！在上周的学习中，我们打破了以往锐角、直角、钝角的角的体系，将其推广到了任意角的范畴，并将三角函数的领域也拓宽到了任意角的三角函数，但是在推广后同学们有没有遇到什么问题？

生：对于部分锐角的三角函数值能够熟练应用，但是一旦推广到了任意角的三角函数，有些数值就很难快速去判断、解决.

师：对！部分锐角的三角函数值大家很熟悉，但是将其推广到任意角的三角函数后，求其值就变得较难操作了，如果现在要解决这四个角的三角函数值，有什么办法吗？

生1：可以借助计算器、电脑.

生2：可以通过三角函数线，利用几何知识求解.

师：非常好！老师学习的时候没有电脑、计算器，靠着一本小宝典《中学数学用表》，通过查表来解决.

生：“小宝典”里有0°到90°内的所有角的三角函数值，那这本“小宝典”还是不够用.

师：好！同学们观察非常仔细，“小宝典”内的角貌似不够用.为什么“小宝典”内只有锐角的三角函数值，是真得不够用吗？

生：应该可以将任意角的三角函数都转化成锐角的三角函数！

师：很好！本课我们一起探究如何将任意角的三角函数转化成锐角的三角函数.

2.生成问题，形成探究，助推生长

在课堂教学中学生对所探究问题的回答往往在不经意中出现一些亮点，这正是他们深入思考后的顿悟和创新意识的萌芽，而教师要善于捕捉智慧的火花，形成探究生长点，然学生思维之花尽情绽放［2］.

师：先回忆上节课是如何定义任意角的三角函数的.

生：任意角的三角函数是以角为变量，角的终边与单位圆交点的坐标为函数值的函数.

师：好！根据任意角的三角函数的定义，研究三角函数的值从图像上来看有什么启发？

生1：只需要研究角的终边就可以了.

生2：还知道角之间每相差2π的整数倍，其终边就是相同的.

生3：终边相同的角的三角函数值相同.

师：是的.将大家的表述小结一下，用数学的语言来

师：尽管不能一下子将这四个角的三角函数值的问题都解决，但是我们在应用这组公式解决问题的同时是否能感受到这组公式的魅力，这组公式暗示了什么呢？

生：可以将任意角的三角函数求值问题转化为［0，2π］内角的三角函数求值问题.

3.思考问题，寻求特征，精准切入

师：好！尽管角的范围非常的广，但实际上“当角的终边旋转整数圈时，同名的三角函数值是周而复始的，那么当角的终边旋转整数圈时我们能寻找到一定的规律，那如果只旋转半圈是不是也会有相应的结论呢？

探究1：若角的终边只旋转半圈，那么旋转前后的两个角的三角函数有什么关系？

师：探究的关键在于研究角的终边，那么结合所学知识，大家有什么好的研究方法.

生：我们可以利用三角函数线进行探究.

师：好，结合三角函数线探究.如图1所示，设α角的终边OP按逆时针方向旋转180°到OP1这个位置，则以OP1为终边的角与角α的三角函数有何关系呢？

图1

（给予充足时间让同学们画图、讨论）

生：通过图形的对称性发现两个角的正弦线和余弦线具有相等或互为相反数的关系.

师：用数学语言如何表述？

4.适时点拨，严控方向，加强调控

问题1：这组公式的作用是什么？

生：它们可以将第三象限角的三角函数值转化为锐角三角函数值求解.

问题2：在通过探究得到这组公式的推导过程中，思考成功的关键在于哪里？

生1：发现了一组全等的三角形.

生2：终边是关于原点对称的.

师：非常好！通过探讨我们发现这些结论的产生的本质在于终边的对称关系，那之前探索的方向是终边旋转多少圈的问题，经过这次探究的改进，我们研究的方向就是研究终边的一个对称关系，那同学们想一想，对称关系除了关于原点对称以外，还有哪些对称关系呢？

生：关于x轴对称，关于y轴对称.

师：接下来分为两个小组，请同学们分别来探究下，终边关于x轴对称和关于y轴对称分别能得到哪些结论？（分小组合作探究，详细过程不赘述）

5.回顾过程，反思行为，揭示本质

师：由此可以得到四组公式，通过这四组公式，我们可以将四个象限的角的三角函数都转化成第一象限角的三角函数，这个过程可以看作一个角的诱导变换的过程，所以将这四个公式命名为三角函数的诱导公式.回顾整个探究的过程，诱导公式的得到其实反映的本质就是终边的对称关系，即在形的方面表现的是角的终边的对称性，在数的方面则就是今天得到的三角函数的诱导公式，这也进一步说明了数形结合思想在数学学习过程中的重要性，如图2.

图2

二、教学反思

《三角函数诱导公式》是本章节中具备承上启下作用的重要内容.它既从定义的角度研究了终边具备一定关系的角之间的三角函数值关系，更从思想认知的深层次上体会了转化与化归思想的运用，回顾本节课有几个关键环节.

1.回顾复习，多元切入

2.合理设计，生生探究

本课重点研究了前四组诱导公式，其中公式的探究过程以生生探究为主实现，这里笔者以学案形式设计了一系列“图形”为基本的探究，让学生从三角函数线的角度探究、合作、交流，每一组学生代表清晰地表述了各公式的推导、理解过程.

3.关注本质，巧妙记忆

《诱导公式》一课的常态教学往往是对公式的死记硬背，但笔者却站在系统的高度优化了这种记忆方式：其一，回顾公式与对应图形，从数形结合的角度体会“形”——终边关系，“数”——诱导公式，将学习从知识技能层面上升到思想层面；其二，请多位学生观察四组12个公式特征，通过思考总结出“函数名不变，符号看象限”的优化记忆方式.

4.核心素养，静待花开

2016年《普通高中数学课程标准》（内部）讨论稿中提出了数学学科六大核心素养，对一线教学而言，在教学中如何让核心素养落地成为教师关注、思考的重心.在《三角函数诱导公式》一课中，公式的推导过程正是体现了“数学抽象”这一素养如何落地，一个“代数”公式用一种“几何”手段完美诠释；笔者对学生每一句表述的修正、每一个符号的交流恰让“逻辑推理”素养严密落地；对例题、训练的实践，并在这过程中优化学生解决方案体现了程序化思想问题、形成一丝不苟的“数学运算”素养.

三、过程感悟

叶圣陶先生说：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导.”因此在探究式教学过程中，教师通过创设情境，在教学内容和学生已有认知之间创设一种“矛盾”，让学生置身于一种探索问题的情境中，产生对新知识的渴望，从而引发其学习的兴趣和欲望，而如何充分运用教材，从教材中获得灵感设计问题的情境则是对一名教师的考究.笔者通过本堂课的实录，细细回忆、反思：对于一节公开课、一节示范课，难在如何展现问题，难在如何让学生主动投入其中，难在如何为学生开辟一条适合的学习之路.对于学生来说：教师要在课堂上关注学生的“经验”，关注学生的“问题”，关注学生的“活动”，关注学生的“再创造”.

相比以往，笔者认为本堂课的突破在于：

（1）“探索式”的引入.本堂课的引入不同于一般教学中，开门见山或者生活情境式的切入，而是在引发学生认知“矛盾”的同时给予学生探索的方向，让学生自己在观察、发现中感悟数学中“转化”的魅力.波利亚就曾提出数学教与学的最佳动机原则，如果学习者缺乏活动的动机，就不会有所行动；相反，学习者能经历用已有知识无法解决的问题，就会激发其学习探究的兴趣，让其主动投身于学习中［3］.

（2）回归数形结合的“本质”.“课标”指出：高中数学课堂应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质；应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学的发现和创造的历程，而本节课《三角函数的诱导公式》中，在逐步对问题展开探索的过程中，教师先是探索了终边绕整圈和绕半圈的情况，发现了公式一和公式二，在此之后进行归纳总结，发现生成公式的本质在于终边的对称性，进而以终边不同的对称情况逐一进行探索，终得到了四组诱导公式.回顾生成诱导公式的探究过程，实际上诱导公式就是角的终边对称关系的另一种表现形式，即在形的方面表现出来的是角的终边的对称性，而在数的方面表现出来的就是三角函数的诱导公式.而本节课在逐步探究，解决问题的过程中就让学生感知到了“数形结合”思想的渗透，让学生感受到了数学的美.

（3）培养学生严谨的数学语言.“课标”指出：“数学语言具有精确、简约、形式化等特点，能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流也是评价的重要内容.数学的建构过程就是用数学语言刻画研究对象或问题的过程.”本节课就是要将终边对称性的自然语言用“三角函数”这一数学语言进行刻画，在学习如何表述的过程中一定程度上也是对学习内容的内化和巩固，利于形成自然、合理、流畅的教学过程，产生简约有效的教学效果［4］.

在应试教学为主导的今天，笔者尝试着回归数学教学的本质，追寻如何把数学概念演绎得清晰、易懂，如何把概念的外延、内涵渗透到学生认知结构中，通过概念教学的“前世”、“今生”丰富学生的数学素养，静待花开.

1.中华人名共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.方志平.高中数学探究式教学问题的探究引导［J］.中学数学教学参考：上旬，2016（7）.

3.王克亮.从教材中寻找创设问题情境的灵感［J］.中学数学教学参考：上旬，2016（3）.

4.沈恒.采菊东篱下悠然见南山——课堂教学行走在“两极”之间［J］.中学数学（上），2016（5）.