“数学抽象”核心素养的养成途径——以数学概念教学为例

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 杨广娟

“数学抽象”核心素养的养成途径
——以数学概念教学为例

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 杨广娟

最新的《普通高中数学课程标准》提出了数学学科的六大核心素养，其中“数学抽象”位居首位.“数学抽象”指的是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.众所周知，数学概念的获得是在分析、综合、比较的基础上，抽取出事物本质属性，舍弃其非本质属性，使认识从感性的具体进入抽象的规定.由此可见，数学概念获得的过程是最典型的数学抽象的过程.

一、数学抽象的起始点：联系生活

数学抽象的一个重要特征从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构.对于数学概念来说，它最基本、最广泛的“原型”就生活经验.数学源于生活，数学与生活存在着千丝万缕的联系.课程标准更是强调数学与现实生活的联系，教材编写也基本以“生活情境—建立模型—解释与应用”为主线展开.可以说，生活是发展数学抽象的基础与载体，而联系生活原型，提炼数学概念是最基本的数学抽象形式，这是发展数学抽象的起始点.

1.直接转接

有些数学概念是生活现象与经验的“直接转接”，具有浓厚的“生活化”属性.例如，“充要条件”是一个抽象的数学概念，它揭示了命题条件、结论之间的因果关系，同时它又是一个生活化概念，在日常生活、学习、工作中具有广泛的应用，只不过在很多时候它处于“被人用而不被人识”的尴尬地位.比如，人们在制定招聘人员标准时，会考虑学历、阅历、身高、性别等条件，符合这些条件的可以参加应聘，这些条件对于“应聘者”来说是必须具备的“必要条件”，缺一不可；但在另外一些标准中，它不需要应聘者满足所有的条件，而且还会特别注明“上述条件满足一项即可”，如此一来，这些条件就成为了很多个相互独立的“充分条件”.由此可见，“充要条件”的数学内涵与现实中的生活内涵是一致的.因此，对于这类数学概念的教学可以通过直接点拨的方式明确其本质属性，再通过类比理解达成数学抽象的目的.

2.提炼共性

更多的数学概念是众多生活现象的共性的体现与提炼，这类数学概念或多或少还保留着部分“生活的属性”，符合生活的一般常识与规律.对于这类数学概念教学关键是通过分析大量的生活实例，寻找它们之间的共性，从而抽象出一般化的数学概念.例如，函数的概念教学，教材给出三个生活实例：“炮弹射高”、“臭氧空洞”、“恩格尔生活指数”，这三个实例分别展现了函数的三种形式：“解析式”、“图像”、“列表”，提炼这三个实例的共性：三个实例变量之间存在着相互制约的某种关系，最后抽象出函数的定义——“集合说”.数学抽象的关键是从生活对象的众多属性中提炼出其本质属性，然后加以归纳概括，这就是数学抽象的“特征分离概括化原则”.

二、数学抽象的着力点：类比拓展

数学抽象的另一种形式是通过引入新特征强化原结构来完成的抽象，其做法是在一个系统的对象之间引入某种新关系（某种映射、对应关系或运算），形成新的关系结构，并把新关系结构中某种性质作为特征加以规定，概括为一个更为普遍性质.这种抽象不需要从数学对象中抓住本质属性，而是在已有数学对象的基础上，通过类比的方式，拓展其新的属性.比如，正方体的抽象是通过类比长方体的已有属性，再添加“各边长相等属性”到长方体中；对数的抽象则是类比指数的定义，添加了“对数是指数的逆运算”规定.可以说，在数学概念教学中，类比添加是数学抽象的着力点，具体可以由下面两个方面展开.

1.类比结构的相似

数学概念中存在着很多结构相似的概念.对于这类概念，首先通过提问引导的方式找到类比的“源问题”，即学生原有知识结构中的旧知识，然后类比概念结构的相似性，使学生快速准确地找到“有效的类比条件”，从而实现从旧知识拓展出新知识的过程.

案例1：弧度制概念教学.

2.类比方法的相似

数学作为一门基础学科和工具学科，其研究方法在许多领域都有广泛的应用.同样地，在数学概念体系内，也时常运用研究方法上的相似性来进行类比，抽象出新知识.即先引导学生回顾已有数学概念的产生过程，探索研究的一般方法与规律，然后，按照相同的方法与步骤，抽象出新的概念.

案例2：复数概念教学.

先回顾数系扩充的途径与规律，如图1所示.不难发现：数系的扩充是通过“引入新数”与“新的符号”得以实现的.因此，实数的扩充也可以采用这样的方法，于是定义“i2=-1”也就容易被学生接受.

图1

当然，为了提高类比添加时数学抽象结论的可靠性，首先，前提尽可能多地确认两个对象的相同属性；其次，前提确认的相同属性越是本质的、相同属性与推出属性越是关联性强的，结论的可靠性程度就越大；再次，注意寻找与推出属性相排斥的属性，这样可以有效防止不正确的结论出现.

三、数学抽象的生长点：再创造

数学抽象除了从现实中不断提出新的概念，还不断脱离现实，并在很大程度上通过理论的逻辑证明和新概念的建立构造而不断得到巩固与发展.因此，数学概念的再创造是数学抽象的另一种普遍形式，通常采用的方式是“定义概念B时用到概念A，或者证明定理B时用到定理A”，即先前已有的抽象概念成为理性创造的基础，比如，从实数概念到虚数，再到多元数、维空间等概念，沿袭的就是上述的思路.

案例3：基本不等式的推广［3］.

“再创造”是在原有的知识结构上快速建构起新的知识结构的过程，不仅产生了新的知识，而且在一定程度上强化了原有的知识与方法，它是数学抽象的生长点.因此，在数学抽象素养的形成过程中，教师应避免将各种规则、定律直接抛给学生，而是提供合适的载体，让学生经历“再创造”的过程.

数学的其他五个核心素养分别是：逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.但通过上述分析，我们不难得出这样的结论：其他五大素养要么可以看成是“数学抽象”达成的手段，要么可以理解为“数学抽象”发展的结果.因此“数学抽象”是核心中的“核心”，是数学教学的重中之重.当然，数学抽象和其他事物的发展一样，是在逐渐的、不显著的量变的积累过程中，引发质的突变，因此，数学抽象素养的培养成是一个长期的系统工程.

1.吕增锋.类比“解惑”，凸显“自然”——再谈“弧度制”教学.中小学数学［J］.2016（4）.

2.吕增锋.基本让你如此“精彩”.数学通讯［J］. 2016（4）.