基于问题驱动与价值引领的课堂教学——沪科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”观课有感

☉江苏泰州市教育局教研室 钱德春

基于问题驱动与价值引领的课堂教学
——沪科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”观课有感

☉江苏泰州市教育局教研室 钱德春

2016年11月，笔者有幸参加了第三届全国基础教育课程教学改革研讨暨上海中小学课堂教学观摩会，会议主题是“关注课堂对话，促进数学理解，彰显育人价值”.上海市风华初级中学樊允朴老师为活动开设了一节题为“可以化成一元一次方程的分式方程”的观摩课，课堂在给我们带来海派教学新风的同时，也引发了笔者深层次的思考.本文结合课堂实录，谈谈如何在问题驱动、价值引领下开展数学课堂教学活动的思考.

一、教学实录片段

课堂伊始，教师PPT出示问题：

上海虹桥站至北京南站的距离约为1200千米，开通京沪高铁后，某列高铁运行的平均速度是某列动车运行平均速度的1.6倍，并且高铁比动车快3小时到达，那么这列高铁行完全程需多少小时？

（学生读题，尝试自主解决问题，教师行间巡视，并提示有无其他方法，学生1、2板演，列出方程并求得结果）

师：（问题1）你是用什么方法解决这个问题的？

生1：列方程来解决，用时间做相等关系：t高铁=t动车-3，从而得到方程

生2：以速度做相等关系：v动车×1.6=v高铁，从而得到方程

师：你们是怎么解方程的？

生1：我用了去分母法，转化为一元一次方程.

生2：我用的是比例基本性质：内项积等于外项积.

师：（对生2）学生2同样达到了去分母的目的，即左、右两边同时乘以……

生2：1200（x+3）=1.6×1200x.

师：本质还是去分母.

师：（问题2）在解方程时，你觉得哪一个步骤最重要？为什么？

生3：去分母，两边同时乘以最简公分母，转化为一元一次方程.

师：（问题3）我们去分母后得到的是一元一次方程，那么所列的方程是一元一次方程吗？

生3：不是，因为分母含有字母，即含有未知数.

师：方程左、右两边含有分式，很好，这就是我们今天要学的方程——分式方程，把分母中含有未知数的方程叫作分式方程.

（板书：分式方程及其概念，学生补充完整课堂学习单）

师：（投影并说明）解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程化为整式方程来解，这个整式就是各分母的最简公分母.辨析：下列方程中，哪些是分式方程？

师：你能解这5个方程吗？（师生讨论方程（1））

生5：通过去分母得x2-3x+1=0.

师：这个方程你会解吗？

生众：不会.

师：所以今天我们主要学习可以化为一元一次方程的分式方程（同时完善课题）.大家运用刚才的知识试着解上面的方程（4）和（5）（学生自主完成，生4、5板演，生4得到x的值后犹豫片刻写结果）.

众生：学生4的正确.

师：为什么？学生4考虑了什么？

生6：他考虑了x-1≠0.

师：为什么要考虑x-1≠0？

生6：分式的分子为0时分式没有意义.

师：对于方程（4），有没有不同方法来解呢？

师：（投影“增根”定义，学生齐读）在分式方程变形为整式方程时，我们发现解得的这个根是一元一次方程的根，但并不是原分式方程的根，我们把不适合原分式方程的根，叫作原分式方程的增根.

师：这样的根应该舍去，为什么会产生增根呢？应如何检验增根？（学生小组讨论，教师行间观察巡视、个别指导）

生8：x-1为分母，因此x-1≠0.在去分母时没有确定x-1是否为0，当x-1=0时，方程两边乘上x-1后，本来不等的就变成相等了，x=1是去分母得到的根，只是整式方程的根，而不是原方程的根.

师：约分时默认分式有意义，即x-1≠0，但去分母时不知道x-1是否为0.是吗？

生众：是.

师：如何检验？

生8：把整式方程的解代入原方程验算，看分母是否为0，如果为0就说明原方程无解.

师：还有没有其他办法？

生9：也可以将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0.

师：为什么？

生9：这样就可以判断乘的因式是否为0……

师：大家听明白了？她是真正理解了增根的意义，大家鼓励一下（回到方程（4）（5）和现实问题）.大家看这几个问题，有没有需要完善的地方？（师生共同补充检验过程，对于方程（4），教师示范，对于方程（5），由学生说教师板书，实际问题补充“经检验：x=150是方程

……

二、笔者的思考

这是一节精心预设、实施效果较好的概念课.“教什么”“为什么教”“怎么教”是课堂教学研究的永恒话题，诚如教者所言，课堂教学既关注数学知识获得的过程，又重视学习方法的指导，以问题为导向，在学生自主探究、师生平等对话中促进数学理解.因此，一切教学活动都应该基于“问题驱动”与“价值引领”.“教什么”就是问题驱动，“为什么教”源于“为什么学”，其实就是价值引领.

1.以问题驱动课堂自然生长.

问题是数学的心脏.一节好的数学课堂必须有“好的数学问题”.什么是好的数学问题？好的数学问题从哪里来？如何以问题驱动学生知识自然生长？这是数学教师必须思考的课题.

（1）什么是好的数学问题？

课堂教学中好的数学问题，应该是紧扣教学内容、突出教学重点、围绕教学难点的；应该是紧贴学生最近发展区、激发学生兴趣的；应该是引发学生认知冲突、驱动学生思考的；应该是发展学生思维品质、提升学生数学素养的.本节课教学内容为分式方程，难点是分式方程增根的意义、产生增根的原因和根的检验.课堂上，通过学生自主解方程一部分学生解得x=1，另一部分学生由“分母不能为0“得到”方程无解”的结论，进而产生问题：你们认为哪个正确？为什么会产生这样的现象呢？应如何检验增根？这些问题都是学生自主探究中产生的，紧贴学生的最近发展区，由此产生认知矛盾与冲突，从而驱动学生探究与思考的欲望.

另外，一节课的问题不是唯一的，而是该由核心问题与辅助问题组成问题组.核心问题是一节课的重点，辅助问题是为解决核心问题、达成教学目标服务的.这样的问题组才算作是好问题.本节课中“分式方程的增根”是核心问题，在学生探究中产生，而教师追问的问题，诸如“有没有不同解法”“你们认为哪个正确呢”“为什么会产生这样的现象呢”“应如何检验增根”“有没有需要完善的地方”等，都由核心问题分解出来，并且服从、服务于核心问题.

（2）好的数学问题从哪里来？

课堂上，好的数学问题源自三个方面.一是教师设置问题，以引导学生探究.如本节课开始时的“高铁行程”问题就是由教师设置并抛出的问题.二是活动中生成新问题，以引发学生再探究.如学生在解方程时出现使分母为0的未知数的值，进而要寻找产生这一现象的原因.三是学习后留下悬念，给学生后续思考的空间与动力.如在分式方程概念和解法之后，面对分式方程学生会思考：这个方程如何解？

（3）如何以问题驱动学生认知？

课堂中的问题有不同的类型、不同的层次，教学中要根据学情以不同的方式相机出现，以驱动学生知识自然生长.一是悬疑式，教师择机提出综合性或具有挑战性的问题，通过引导性追问，将综合性问题逐步分解，后退至学生认知可及之处.如本节课伊始教师抛出现实问题，让学生自主探究引出分式方程的问题；学生通过解方程出现不符合条件的解，进而提出“为什么产生增根”的问题，都属于悬疑式.二是递进式，教师课堂上围绕学习目标进行递进式追问，让学生的数学理解更加深刻、数学思维拾级而上.三是并列式，这类问题是生成的、灵动的、即时性的，学生通过自主探究和师生对话加深数学理解，本节课较多采用这种方式.教师以问题激发学生的兴趣和对新知的渴求，以问题引导学生探究与思考，以问题引发师生对话交流、思维碰撞.学生主动利用已有知识经验寻找解决问题的突破口，从而体会分式方程的意义，体验把分式方程转化为整式方程这一重要的数学思想，理解增根的意义.

2.以教学价值引领数学教学实施.

所谓教学价值，就是教学设计与教学实施活动“要使知识恢复到鲜活的状态，与人的生命、生活重新息息相关，使它呈现出生命态……激活、唤起学生学习的内在需要、兴趣、信心和提升他们主动探求的欲望及能力”“教育价值决定着教学方式，教育价值是教学设计的灵魂”.这里结合本节课的教学谈谈“现实情境”、“数学概念”及“强化”的教学价值.

（1）关于“现实情境”的教学价值.

表1

北师大版八年级下册“5.4分式方程”由3个现实问题列出3个方程，设问：所列方程有什么共同特点？进而定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程.苏科版八年级下册“10.5分式方程”由3个现实问题列出3个方程，设问：所列方程与一元一次方程有什么区别？进而得到方程……分母中都含有未知数，像这样的方程叫作分式方程.观察方程8 x=5、1 2x-2 3 x-6浙教版七年级下册“5.5分式方程”x=1、x+3 x+2= x=2，像这样只含分式，或分式和整式，并且分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2 3、x+1湘教版八年级上册“1.5可化为一元一次方程的分式方程”与人教版类似.

从表中看出：几种版本的教材都是由现实情境问题列出方程、分析方程特征、给出分式方程的概念.我们不妨站在学生的角度思考：面对实际问题，在列出方程后学生最关心什么？是答案等于多少、如何得到，而不关心这是什么方程.从教学实施看，学生列出方程后很快解出方程，而此时并没有分式方程的概念，这足以证明笔者的猜想.那么，设计现实情境问题的意义何在呢？仅仅是为了让学生感受到数学来源于生活、分式方程是刻画现实生活的模型吗？

笔者认为，现实情境的创设应该基于三方面：一是以熟悉的背景和问题激发学生对新知学习的渴求；二是围绕教学目标与教学内容，引发学生的认知冲突；三是引发学生的数学思考.分式方程与整式方程相比较，除“分母含有未知数”的形式区别外，关键是“可能产生增根”，这是本节课需要突破的难点，也正是本节课的教学价值所在.因此，如果给出的现实问题既能列出分式方程，方程又能产生增根，这样的现实情境才有价值，否则宁可不要.

（2）关于数学概念的教学价值.

李邦河院士说，数学根本上是玩概念的.为什么要建立数学概念？数学可以看成是由概念及其相互关系（如公理、定理、公式、法则等）组成的模式与结构.建立数学概念的意义在于建立新模型、表达新结构、解决新问题，驱动数学向前发展，这是数学概念的教学价值所在，也是学生概念学习的动力之源.学生只有感受到概念学习的必要性，才有进一步探究的欲望和动力.数学概念的教学价值应体现在以下三个方面.

一是已有概念难以解决新问题，从而产生认知冲突.如无理数概念教学.学生已有“有理数”概念：把能够写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫作有理数，有限小数和循环小数都是有理数.如图1，将两个边长为1的小正方形沿一条对角线剪开拼成一个大正方形，设大正方形的边长为a，那么a2=2，用有限逼近法说明a不能写成（m、n是正整数）的形式，a是一个无限不循环小数.显然，a不是有理数，但边长a又是实际存在的数，那么a是什么数呢？从而引发认知冲突，为“无理数”概念建构的必要性作好心理铺垫.

图1

二是揭示数学本质，发现新的数学结论.如圆周角概念教学.在学生已有圆心角概念的基础上，运用几何画板软件拖动圆心角∠AOB（如图2-1，可设置成将圆心O分离得到可移动点P）的顶点P，分别在⊙O内、⊙O外和⊙O上拖动，观察∠APB的大小有没有变化.通过操作发现：当点P在⊙O内（如图2-2）和⊙O外（如图2-3）运动时，∠APB的大小可以变化；当点P在⊙O上（如图2-4）运动时，∠APB的大小始终不变，这里的“变中不变”正体现了数学本质.既然这个角有如此奇妙的特征，那么它是什么角呢？从而有必要研究这种角.

图2

三是刻画数学对象的基本特征，沟通数学对象间的联系.数学家庭中的每个成员都有自身的特点，成员之间又有密切的联系，当成员不断扩大时，如何描述这些成员的特点，并建立起成员间的联系，使得它们相互间序列清晰、层次分明呢？这就有必要建立新的概念.如“四边形”这个家庭中有“一般四边形”和各种特殊四边形，平行四边形有区别于一般四边形和其他特殊四边形的特点，而平行四边形又是沟通一般四边形与其他特殊四边形的桥梁，因此有必要对这个四边形下定义：一般四边形+两组对边分别平行=平行四边形；平行四边形+特定条件=其他特殊四边形.通过这样的方式，既明确了平行四边形的特点，又明晰了平行四边形与其他四边形之间的关系.

回到本节课，教者引导学生根据现实问题分别用两种方法列出方程，并让学生自主解决问题，用已有知识解出x，然后分析方程特征，给出了分式方程的概念.但站在学生的角度想：没有“分式方程”概念同样能够解决问题，此时既无认知冲突，又无关数学本质，那么建立“分式方程”概念有必要吗？仅仅是为了学习概念吗？

翻开所用教材发现，在完整解决现实问题后用文字描述：“以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含未知数的方程叫作整式方程，分母中含有未知数的方程叫作分式方程.”大多教材也都是沿着“概念—方法（判定、性质、法则）—运用”这样的顺序呈现的.我们知道，教材不可能承载太多，在“学生认知”和“知识体系”两方面难以兼顾时，教材会作出取舍.但课堂教学要考虑到概念的教学价值，教师要在充分尊重教材、利用教材的前提下，创造性地使用教材，将教材形态转变为教学形态，设计顺应学生认知的教学活动，引发学生认知冲突，驱动学生主体认知、主动学习，体现数学概念的教学价值.

本节课的知识与能力目标是“理解分式方程及增根的意义，会将分式方程转化为整式方程，知道解分式方程时产生增根的原因”，因此，本节课完全可以从数学内部引出问题.如直接解方程（3）其中方程（3）是一元一次方程，直接去分母；对于方程（4）和（5），学生同样用去分母的方法，解方程（4）得x=1，此时分母为0，进而引导学生探究产生这个现象的原因，继而给出分式方程的定义.

翻阅沪科版教材，发现这个内容只安排了1个课时.教者或许基于教学内容与课堂结构的完整性考虑用1节课研究分式方程的概念、探究增根现象及其原因并掌握检验方法，又要回到实际应用问题，但这对学生来说可能勉为其难.要知道分式方程及增根问题是学生第一次接触，而在后续的数学学习中还出现更为复杂的分式方程，其解决思路、策略等完全依赖这个阶段的学习，因此本内容的学习要抓住重点内容与核心问题，并保证足够的时间.据笔者统计，这部分内容，其中，鲁教版安排了4课时，人教版、北师大版、苏科版、青岛版教材各安排了3个课时，浙教版、湘教版教材各安排了2个课时，这样的安排更为妥切.

（3）关于“强化”的教学价值.

“强化”是一种常见的教学策略.本节课在揭示分式方程概念后，教者安排了分式方程概念的辨析环节，这个过程具有概念强化的功能.我们知道，形式化是数学的重要特征之一.教师既要让学生真正理解产生增根的原因，也要引导学生进行形式化的辨析：分母中含有未知数的方程就是分式方程，这个思维过程就有可能产生增根，就必须对解得的根进行检验，即：分母中含有未知数→分式方程→增根→检验.因此解方程时必须先判断是不是分式方程，进而考虑要不要对根进行检验.试想：将判断“分式方程”环节去掉行不行？显然不行.因为缺少了“判断是否为分式方程，确定是否需要检验”这个环节，可能会增加学生的失误.因此，适当的形式化辨析的强化过程不可或缺.

我们经常发现这样一种课堂现象：有经验的教师在概念形成或定理（法则）语言表征后，让全班学生齐读一遍；学生回答问题后让其他学生“再说一遍”；还有教师让学生在教材重要的文字、图形下划线等，这些环节本质上就是一种强化.当然，“强化”的方法多样，让学生举例是又一种方法.史宁中认为：“对一个概念或者命题是否理解，就是举例.能举出适当的例子就是理解，否则就是不理解.”他还举了这样一例子：4÷为什么等于12？即为什么等于4×3？这是一些数学教育专业博士生都难以回答的问题.事实上，从逆运算上理解：被除数等于商乘以除数，问题就变成“两边同时乘以3，即得“？=4×3=12”.就分式方程概念而言，学生能够运用已有知识和经验，列举出“属于”和“不属于”分式方程两方面的例子，说明已经真正掌握了分式方程概念.因此，数学教学中，指导学生进行适当的辨析、多形式表征与转换、复述齐读、在教材关键文字下加下划线等多种形式的强化工作，具有极其重要的教学价值.

三、写在后面

教学是一门遗憾的艺术，难以“鱼和熊掌”兼而得之，不同的教学理解就会有不同的教学设计，但掌握并抓住核心问题、突出教学价值，应该成为数学教学设计与实施的必然选择.这里的核心问题应该能够围绕目标、自然生成、激发兴趣、引发思考、发展思维，而突出教学价值的引领作用是一切教学设计与教学活动的前提.

1.吴之季，苏淳义.务教育教科书·数学［M］.上海：上海科学技术出版社，2013.

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3.缴志清.初中数学教学关键问题指导［M］.北京：高等教育出版社，2016.

4.叶澜.重建课堂教学价值观［J］.生物学教学，2003（2）.

5.裴光亚.教育价值是教学设计的灵魂［J］.中学数学教学参考（下），2008（9）.

6.林群.义务教育教科书·数学［M］.北京：人民教育出版社，2013.

7.马复.义务教育课教科书·数学［M］.北京：北京师范大学出版社，2013.

8.杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学［M］.南京：江苏科技出版社，2013.

9.范良火.义务教育教科书·数学［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.

10.严士健，黄楚芳.义务教育教科书·数学［M］.长沙：湖南教育出版社，2013.

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