强化分析引导注重方法积累提升学习素养——初中数学解题教学的探索与实践

☉江苏张家港市港区初级中学 王维英

强化分析引导注重方法积累提升学习素养
——初中数学解题教学的探索与实践

☉江苏张家港市港区初级中学 王维英

数学学习离不开解题，数学研究的过程就是解决问题的过程，数学研究的成果也都是用问题及其解决的形式记录下来的.数学教学有重视解题的优秀传统，人们相信，掌握数学知识的一个重要标志就是善于解题.事实也是如此，只有充分掌握了数学的基础知识、基本技能、基本数学方法和一定的解题技巧，才能真正应用数学知识解决问题.因此，作为数学教师，在教学中既要重视数学的基本概念、基础知识的传授，也要加强数学解题方法、技能的教学，帮助学生理解概念、巩固知识、掌握方法、积累解题经验，形成一定的解题技巧，提高数学教与学的有效性.以下是本人对初中数学解题教学探索与实践的几点体会，与广大一线教师分享，期望对一线教师的解题教学有所帮助.

一、引导学生学会知识的链接，激活自身的知识储备

数学解题的过程，实际上就是知识链接的过程，需要学生充分调动自身的知识储备，实现知识由此及彼的相互转移和转化.如果将题目中提供的相关条件看作信息源，那么由此展开的所有信息辐射，就是对学生原有知识的激活.而这里所说的“激活”，指的就是知识之间的有机联系，从而形成新的思维链，促使学生在新的思维过程中获得启迪，提高学生的解题能力.

例1已知二次函数图像的顶点坐标为（-2，-3），且图像过点（-3，-2），求这个二次函数的解析式.

【分析引导】通过已知条件可以看出，这是一道求二次函数解析式的题目.教师在指导学生解题时，要从已知条件开始入手，引导学生选择合理的解析式.已知函数图像的顶点坐标为（-2，-3），所以应选用顶点式，这样只需要将点（-3，-2）代入y=a（x+2）2-3，求得a的值，从而确定这个二次函数的解析式，减少了计算步骤，提高了解题的正确率.

【教学思考】通过上述问题的求解，教师还可以引导学生联想利用“待定系数法”求解函数解析式的四部曲：①设，即设解析式；②列，即列方程或方程组；③解，即解方程或方程组；④代，即代到相关解析式中.利用这种联想思维，可以将相关知识联系在一起，构成一系列微型的知识体系，为学生形成正确的解题思路铺路架桥.因此，数学教师在指导学生解题时，一定要注重培养学生由此及彼、由浅入深、由果及因的联想思维，充分激活学生所有的知识储备.

二、正确利用数学概念的思辨，掌握基本的解题方法

数学概念是数学中的基础知识，大多数数学概念都比较抽象，学生理解起来比较困难.

概念的辨析是进一步深化对概念的理解最有效的途径，通过适当的变式、概念形式的变形或不同概念之间相互关系的比较以实现对概念本质的认知.在此过程中，我们还可以引导学生的思维活动、激发学生的思维灵感、记录他们思维的过程、展示他们思维的结果，从而可以大大地提高学生的思维品质.为此，教师要通过探究方式进行引导，帮助学生利用好数学概念的思辨，把握基本的解题方法和策略.

【分析引导】若将一个分式方程去分母后得到的整式方程是一元一次方程，那么，分式方程的无解就有如下两种可能：一是这个一元一次方程无解；二是这个一元一次方程的解是原方程的“增根”.上述方程可化为2（x+2）-mx-2=3（x-1），整理，得（m+1）x=5.若原方程无解，需要考虑两种情形：（1）当m=-1时，方程（m+1）x=5无解，此时，原方程也无解；（2）当m≠-1时，方程（m+1）x=5有解，为，由题意得是原方程的增根，所综上所述，当

【教学思考】概念的应用是概念巩固的重要环节，也是数学知识的外化过程.在这个过程中，我们要引导学生将原有的知识系统与新知识进行整合与内化，找到概念间的异同与内在联系.更要让学生运用比较、分析、假设、推理等多种思维方式，进行新、旧概念间的比较、归类、整合，修正原有知识体系中的谬误，建立知识与应用之间的桥梁，提高知识的应用能力，促进学生对概念的内涵与外延的理解.通过充分的外化过程，实现数学知识的内化.

三、合理采用化繁为简的方式，把握适当的解题技巧

初中数学教学中，非常注重基础知识、基本技能的教学与传授.因此，学生基本知识的积累比较好，基本解题方法就掌握得比较牢固.在解题教学和学生的练习题中，大多数问题是紧紧围绕当堂课的教学内容设置的.但是，为了培养学生的综合素质，提高学生的综合能力，训练学生的多元化思维意识，培养学生发散式、创新性的思维方式，有些习题的设置往往会将前后知识进行综合，凸显比较多的难点，促使学生必须采用多样化思维方式，才能作出正确的解答.

例3已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点（-1，7），与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，若|x1-x2|=3，并且该函数图像的对称轴为直线x=1，求这个二次函数的解析式.

【分析引导】本题的难点在于条件“|x1-x2|=3”的使用，如果直接利用求解的话，一是需要用到韦达定理，超出了课标的要求，二是运算量非常大，难以求得正确的结果.若利用“|x1-x2|=3”，结合“图像的对称轴为直线x=1”，我们就会很容易发现二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点这样的条件转化需要学生有扎实的基础知识、很强的几何直观能力.于是我们可以设二次函数的解析式为，将点（-1，7）的坐标代入得a=4，所以这个二次函数的解析式为

【教学思考】著名的数学家波利亚曾说过：“当原问题看起来不可解时，人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题.”采用化繁为简的解题策略，不但大大提高了学生的解题速度，而且有效培养了学生的发散思维能力，更有利于提高学生的综合素质.

四、注重培养正反转化的意识，提高学生的解题能力

一般情况下，我们在解决数学问题时，都习惯从已知条件出发进行顺向思考，然而，事物往往具有可逆性特征，很多事物都是互为因果的.如果在顺向思维出现阻碍时，应考虑逆向思维.因此，教师要指导学生在运用顺向思维解决问题出现困难时，可以考虑从问题的对立面（反面）进行思考，适度地掌握逆向思维的解题策略，发展学生的思维品质，提高学生的学习素养.

例4已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=0和x2+ 2ax+3=0，若这两个方程中至少有一个方程有实数根，求a的取值范围.

【分析引导】我们把x2+2x+a=0记为方程①，x2+2ax+ 3=0记为方程②.如果从正面考虑这一问题，需要从三个方面来考虑：（1）方程①有实数根，并且方程②无实数根；（2）方程①无实数根，并且方程②有实数根；（3）方程①和②都有实数根，计算过程较为复杂.如果从“至少有一个”的反面“一个都没有”来进行论证，那么情况就变得简单多了.解答过程如下：假设方程①和②都没有实数根，则Δ1=4-4a＜0，Δ2=4a2-12＜0，解此不等式组得到1＜由此可知，符合题意的a的取值范围是：a≤1或

【教学思考】逆向思维在数学解题中有着广泛的应用，灵活地应用它，不但可以简化解题过程，降低解题难度，巧获解题结果，而且对于锻炼学生的思维品质，提高学生的解题能力，是大有裨益的.对于以下命题，往往需要从反面开始思考：①结论为否定形式的命题；②结论以“至多”“至少”“唯一”等形式出现的命题.因此在平时的数学教学中，我们必须有意识、有计划地渗透和强化逆向思维的训练，培养学生自觉应用逆向思维的意识和能力，帮助学生优化解题方法、提升解题能力、完善思维品质.

五、利用一题多变的途径，实现解题教学的示范辐射

初中数学解题教学中，我们常常会对题目中的条件及结论进行更改，也就是通过增加或减少条件、加强或削弱结论、改变图形的位置或形状、变换图形折叠或旋转的方式等，将原来的题目进行变化，将知识或者方法进行拓宽、引申，这样可以增强学生的新鲜感，并会激发学生的求知欲望，让学生主动去探索变化后题目之间的变化与联系，寻求一定的规律，在这个过程中自然而然也就实现了学生解题能力的提高.

例5如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC上的点F处，求CE的长度.

图1

图2

图3

变式1：如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，将△ADC沿对角线AC折叠，使点D落在点F处，AF与BC相交于点E，求CE的长度.

变式2：如图3，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E、F分别在BC、AD上，将梯形CDFE沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在矩形ABCD外部的点G处，求CE的长度.

【分析引导】图形的折叠问题是中考的热点之一，这类问题涉及的知识比较多、综合性比较强、能力要求比较高.解题时，首先要弄清折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化，如何通过图形，探究数量关系，利用方程解决问题.在图1的折叠中，我们很容易发现AD= AF=10，进而可以利用勾股定理求得BF=8，所以CF=2，假设CE=x，则DE=6-x，在Rt△CEF中再利用勾股定理，可得x2+4=（6-x）2，解得即CE的长度为.图形的折叠问题题型比较多，相互之间联系比较紧密，解法也比较相似.因此，这类问题往往有较多的变式、拓展，通过比较发现共性，寻求解题的方法和规律.在图2的折叠中，假设CE=x，则BE=10-x，可以利用三角形的全等或平行线的性质，证得AE=CE，在Rt△ABE中再利用勾股定理求得x的值，即CE的长度.在图3的折叠中，假设AF=x，则BF=DF=10-x，在Rt△ABF中利用勾股定理求得x的值，即AF的长.利用折叠和平行线的性质，证得BE=BF，所以CE=AF，从而解决CE的长度.读者不妨一试.

【教学思考】对一题变出的多个题目，学生通过多角度、多侧面的探求，使自己在变化的相互比较中，思维能力迅速提高.课本中的不少题目看似平常，实际上却蕴藏着极其丰富的外延和内涵.教学中，如对这些命题进行变换和延伸，诱导学生从多角度、多方面、多层次探索和联想，进行一题多变训练，不仅会增加学生的知识信息获取量，加深对原题的理解，而且能在“改变”中激活学生的思维广阔性、探究性和创造性，潜化创新意识.有效地进行一题多变教学是培养学生创新思维能力的有效途径之一.

六、注重避虚就实的策略，提升学生基本的数学素养

我们知道，许多数学知识是以公式、定理、法则等形式呈现的.因此，有些数学问题的条件可以根据公式、定理、法则相互转换.在解答这类数学问题时，我们可以尽量避开题中变化的量和关系，而从不变的量和关系去寻求突破，从而达到以不变应万变的效果.

例6已知凸n边形所有内角中，恰好有3个钝角，求边数n的最大值.

【分析引导】对于这个问题，由于多边形内角和是随着边数的变化发生变化的，因此，我们利用凸n边形内角和等于（n-2）·180°，难以找到突破口，无法求解.如果将内角的问题转化为外角问题，解决起来就容易多了，因为任何凸n边形的外角和是不变化的.利用有3个钝角的n边形有3个外角是锐角，而其余外角都是直角或钝角，又因外角和是360°，所以外角最多还有3个，这样多边形最多有6个外角，所以边数n的最大值是6.

【教学思考】中学数学教学大纲中明确指出：数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理及由其内容所反映出来的数学思想方法，是灵活应用数学知识、技能、方法的灵魂，是形成学生的良好的认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁.因此，解题教学中应注重避虚就实的策略，实现以不变应万变的教学效果，提高学生的解题能力，提升学生基本的数学素养.

提升初中学生的解题能力是初中数学教学的重要任务之一，是教育、教学的一个重要组成部分，教师应该给予足够的重视.一要重视基础知识的传授、基本方法的教学，帮助学生建立系统的解题方法，形成自身的数学思维；二要作好课前准备，预想学生会遇到的困难，适当地进行换位思考，制定好切实、有效的解决方案；三是在对学生进行引导时，既要充分调动好学生的积极性，又要保护学生的情绪.通过教师的精心安排和系统组织，真正使学生形成合理、稳固的知识结构，通过提高素质、提升能力来提高学习成绩，让初中阶段的学习过程成为学生培养人格、塑造人生的重要阶段.