立足核心问题，展示概念教学——“常量与变量”的教学与反思

☉浙江温州市第十九中学 何萍☉浙江温州市第十九中学 彭希鹏

立足核心问题，展示概念教学
——“常量与变量”的教学与反思

☉浙江温州市第十九中学 何萍
☉浙江温州市第十九中学 彭希鹏

章节起始课作为一章的起始课，必须要让学生经历概念的形成过程，感悟本章要解决的主要问题、基本过程，渗透主要思想方法.本文以“常量与变量”为例，聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律.

一、基于教材编写意图的教学设计立意解读

1.对“函数”教学内容的总体认识.

函数是中学数学的核心概念.与高中函数学习的“对应说”不同，初中函数定义采用“变量说”，在一个运动变化过程中引进变量与常量；体会两个变量的一种依赖关系，引入函数概念；了解函数的三种表示方法；以一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数为具体函数模型，借助图像讨论这些函数的一些简单性质；能用所学函数知识解决简单实际问题，感受建立函数模型的过程与方法，体会函数在数学和生活中的应用，学会用函数思想解决简单实际问题.

2.教学设计的立意.

基于上述认识，笔者解读教材编写立意如下.

（1）突出函数概念的本质和构建过程.

函数概念的本质是：函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系；函数概念所反映的基本思想是：运动变化的思想.函数来自于对运动的研究，反映变量变化之间的一种依赖关系.

为了让学生在经历函数概念的概括过程中，更好地体会其本质和思想方法，教材先通过一些具有真实背景的实例，引导学生认识变量和常量，再进一步在实例中，引导学生探索两个变量之间的依赖关系，以三种函数的表示方法，认识函数的本质即对应关系.后续在一次函数、反比例函数、二次函数、锐角三角函数学习中，不断地以函数的观点来认识这些具体的函数模型，使得函数思想的教学贯穿于函数概念教学前后，突出了函数概念的本质和构建过程.

（2）为学生概括和领悟函数概念搭建“脚手架”.

函数是中学阶段最难理解的概念之一，其主要原因是：变量的概念涉及用运动、变化的观点看待和思考问题，具有辩证思维特征；函数概念具有高度抽象性；表现两个变量关系的不同函数模型的表达式具有抽象性；建立不同函数模型需要具备较强的数学能力等.其中最根本的还是高度抽象性.因此，在教学设计中，我们以教材提供的概念概括过程和素材为依据，特别注意以具体例证为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟函数概念的“本来面目”.其中特别注重典型实例、表格和图像直观等的作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导.

①铺设概括路线.教材以多个实例为载体，强调“某个变化过程”中，变量与常量相对存在，引导学生体会两个变量存在一种依赖关系，从“变量说”出发概括函数概念，再引导学生认识函数的三种表示方法，以体现变量的对应关系.接着，在函数的表示、函数的性质等内容中，不断强化对函数“对应关系”的认识，强化对函数所研究的问题和思想方法的理解.教材铺设的这一概括路线符合学生的认知规律，是设计教学过程的基本依据.

②选择典型、丰富的实例.基于函数概念的高度抽象性，在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段的教学中，选择丰富的实例，为学生提供思考、探究、交流的机会，使学生在具体情境中开展思维，促进对函数概念的理解.

③发挥图像的直观作用.函数图像是学习函数的重要工具，它不仅是表示法的一种，更为学生理解函数的对应关系提供了直观的机会，是帮助学生理解函数概念的重要载体，也是培养学生数学能力的重要载体.在函数学习中处处可见数形结合：描画函数图像的过程，函数表达式与图像的对应关系，函数图像与性质的对应关系等.对于每一条性质，我们都可以从“数”和“形”两个方面来认识.“数”可以理解为解析式的视角，“形”可以理解为图像的视角，“数形结合”研究函数性质，就是充分运用解析式和图像来解决问题，这也是研究函数问题的基本思路.所以，教学中要加强图像的直观作用，帮助学生体会函数的“对应关系”.

④思想方法的明确和指导.从知识角度看，数学思想方法属隐性知识，是在学生亲身体验的过程中获得的内心感悟，鉴于初中生的思维品质特点，对思想方法的感悟还需要依靠教师明确的具体的语言指导，以加速学生的领悟过程.教材以具体实例概括函数概念，在具体情境中进行函数建模，让学生体验在一个变化过程中去感悟两个变量的依赖关系，有意识地渗透了函数思想.变化之中保持的“不变性”“规律性”就是性质，函数是描述现实事物运动变化规律的数学模型，所以研究函数就是研究变化过程中的规律性，这也指出了函数性质的内容、研究方法和意义.因此，教学中应认真贯彻教材的意图，筹划好函数思想方法的领悟过程.

（3）加强建立函数模型的活动，深化函数概念理解.

函数模型在数学和现实生活中都有广泛的应用，教材在这方面提供了若干生动并具有实际意义的素材，给学生提供了建立模型、求解模型，再用模型描述、解释实际问题的学习机会.对于函数这样抽象程度极高的概念，只有让学生亲身体验，参与其中建模的过程，才能深化函数概念的理解.教学中，要认真体会教材的设计思路，用函数概念解释各种变化现象，解决相关问题.

二、“变量与常量”教学设计

1.内容和内容解析.

“常量与变量”是“函数”章节学习的起始课.本节课的主要内容是在实例中认识“变量”与“常量”，体会变量与常量相对依存于某一变化过程中.它揭示了事物变化过程中存在的本质即各种变量的相互关系，使数学的研究对象从常量到了变量，这是初中数学学习的一个分水岭.另外，变量间的依赖关系有利于进一步认识函数概念本质，其中渗透的变量思想、对应思想、函数思想、模型思想，也是今后学习函数的重要数学思想方法，对今后的数学学习和发展都起到了重要的作用.

根据上述分析，确定教学重点为：在具体情境中获得常量、变量的概念.

2.目标和目标解析.

（1）通过具体情境了解在一个变化过程中有些量固定不变，有些量不断变化，进而了解常量与变量的概念；

（2）通过在不同情境中寻找常量与变量，从而辨别一个过程中的常量与变量；

（3）通过改变问题的条件，体验不同条件下，常量与变量相对存在，感悟生活中事物的相对性；

（4）通过生活经验和图表信息的提取，体会同一过程中，不同变量存在的一种依赖关系，并对其进行简单分析，感受变量之间的相互联系；

（5）通过几何问题的解决，对各类研究对象的整理，以及动态问题中不变量和关系的发现，掌握科学的探究方法，培养学生的探索精神；

（6）通过分层解决不同难度的问题，鼓励人人参与数学学习，不同的人学到不同的数学，培养数学学习的兴趣.

3.教学问题诊断分析.

（1）学生能在简单情境中感受到“变量”与“常量”，但对复杂情境或分段函数图像中的常量与变量的认识是难点.因此，要引导辨析变量与常量的本质区别.

（2）对“变量与常量是在一个过程中相对存在”的认知缺乏经验，需要提供具体情境去体验.

（3）对于两个变量之间的依存关系认识模糊，因此，要在具体情境中引导学生进一步认识两个变量的对应关系，体验函数思想.

因此，本课的难点主要是辨别复杂情境中的常量与变量，感受同一变化过程中两个变量的对应关系.

4.教学过程设计.

（1）创设情境，生成概念.

导语：当我们用数学来分析现实世界的各种现象时，会遇到各种各样的量和数量关系，今天就来学习和研究这些量.

情境：视频播放加油机加油过程.

问题1：请大家观察，在加油机为汽车加油过程中，存在哪些量？

问题2：在这个过程中，哪些量改变？哪些量不变？

问题3：这两个变量之间有联系吗？如果有，有什么联系？

设计意图：通过具体情境引入，让学生形象感受到在一个变化过程中存在着“量”，其中，有些量固定不变，有些量可以取不同数值，体验常量与变量的本质区别，抽象出“常量”与“变量”的概念，并引导学生简单感受这两个变量之间的变化联系和对应关系，初步渗透变量思想和函数思想.

（2）应用情境，巩固概念.

活动：找一找，说一说.

下列情境中，各有哪些量，并找出其中的常量与变量，说明理由.

①体育课上，小明在操场以8米/秒的速度练习跑步，经过t秒跑了s米，s与t的关系式为________，其中常量是________，变量是________.

变式1：若将①中的“8米/秒的速度”改为“固定速度v（米/秒）”，s与t的关系式为________，其中常量是________，变量是________.

变式2：体育课上，在固定距离为s米的赛跑中，小明跑步的平均速度为v米/秒，跑完全程所需的时间为t秒，则t=________，其中常量是________，变量是________.

设计意图：让学生体会常量与变量相对依存于某一个变化过程中，感受“常量”“变量”的概念本质.

②图1是某沿海城市的波浪的浪高与时间的变化曲线图.

图1

在这个过程中，常量是________，变量是________.

③拖拉机开始工作时，油箱中有油40L，每小时用油4L，工作t（h）时油箱中剩余油量y（L）的情况如表1所示.

表1

在这个过程中，常量是________，变量是________.

（完成上述问题后，教师追问引导思考）

追问1：判断一个量是变量，具体地说是它的什么在变？什么不变？

追问2：问题（3）中，当工作时间是6h时，剩余油量是多少？工作时间是7h时呢？当剩余油量是16L时，工作时间是多少？你是怎么看出来的？剩余油量与工作时间之间有怎样的联系？

设计意图：通过从实例中找常量与变量，巩固常量与变量的概念，通过追问1体会变量概念的本质，通过追问2让学生初步体验两个变量的依赖关系，同时，让学生分别体会图像、表格、表达式三种形式中两个变量的对应关系，为后续函数学习打下伏笔，渗透变量思想和函数思想.

（3）拓展情境，应用概念.

例1一家快递公司的收费标准如图2所示.用t表示邮件的质量，p表示每件的快递费，n表示快递邮件的件数.

图2

思考1：上图描述了一个怎样的过程？这个过程中刻画了哪些量？

思考2：

①填写表2.

表2

②当投寄费为6元时，能投寄的物品质量在哪个范围内？

③当一个物品投寄质量超过10千克时，每超过1千克，投寄费用增加多少？

④在投寄快递邮件的事项中，t、p、n是常量还是变量？

⑤若0＜t≤10，投寄n件邮件的快递费记为w，此时t、p、n、w中哪些是常量？哪些是变量？

⑥若t>10，投寄n件邮件的快递费记为w，此时t、p、n、w中哪些是常量？哪些是变量？

设计意图：通过思考1引导学生阅读图表，既引导审题又培养审题的良好习惯，通过思考2中的6个问题，有梯度地引导学生应用图表信息逐步深入解决问题，既帮助学生突破了阅读图表的难点，又启发学生在复杂实际生活情境中进一步认识“常量”与“变量”，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透变量思想和函数思想.

例2如图3，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，连接BP、CP，在点P的运动过程中，哪些量是常量？哪些量是变量？

图3

（在这个过程中，学生能找到常量如AB、AD、DC、BC、∠ABC、∠ADC、∠BCD、∠DAB等，变量如AP、PD、BP、PC、∠PBC、∠BPC、三角形BPC的周长等，在学生充分交流后，教师启发引导）

师：数学是研究数量关系和空间形式的科学.我们可以从这两个角度去归纳.从数量上看变量有哪些？从形状上看变量有哪些？从位置关系上看变量有哪些？从数量关系上看变量有哪些？从图形关系上看变量有哪些？

设计意图：引导学生认识数学图形中常见的量（如线段、角度、面积、周长、位置关系、数量关系、图形关系等），并进一步认识在图形运动过程中的变量和常量，体验变化过程中存在不变关系，渗透动点问题的本质，积累几何经验，并在问题解决过程中提升学生的观察、分析能力，加强探索精神.

（4）课堂小结.

总结：通过这节课的学习，你获得哪些经验？

引导学生关注知识层面、方法层面、能力层面进行总结.

5.目标检测设计.

略.

三、在实践基础上的教学反思

1.立足核心问题，展示概念的形成.

引导学生进行探究和思考，形成认识，领悟方法离不开过程教学.怎样在教学中通过设计合理的“过程”，让学生去经历、去体验，这些是教师在备课中需要关注的重点，也是达到知识与技能目标的途径和方法.在形成概念的时候，需要紧扣概念本质，设计合理的认知活动过程，让学生经历辨析、应用、巩固概念的过程.数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式、方法迁移能力也最强.所以数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握书本知识，更重要的是在概念的发生、发展过程中揭示它的本来面目，要让学生参与概念本质特征的概括过程，这是概念教学中培养学生的创新精神和实践能力的必由之路.

2.以活动为载体感悟数学核心思想方法.

活动是体现过程教学的载体之一，活动的基本特点是“动”和“活”.根据学生和数学内容的特点设计相应的数学活动，让学生去经历、去体验、去猜测、去验证、去交流讨论等.数学的体验不仅蕴含在小组合作、动手操作中，还蕴含在数学问题分析、思考、解决的过程中.依据学生的认知基础，设计有梯度的问题串为线索，关注学生的主体性，充分激发学生的学习兴趣，激发学生主动思考、探索，重视学生在参与知识的探究过程中的情感体验，引导学生认识概念本质，感悟其中蕴含的数学核心思想方法，从而更好地把握中学数学概念教学的教学规律.

1.章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学［J］.数学通报，2009（6）.

2.何萍.一次难忘的教学经历［J］.中学数学教学参考（中），2011（8）.

3.何萍.立足学生的认知基础，开展数学概念教学［J］.初中数学教与学，2011（9）.

4.何萍，彭希鹏.基于内容组织的数学教学设计［J］.中学数学月刊，2016（10）.