基于数学核心素养的课堂教学实践与反思——以课题“一次函数的概念”课堂教学为例

☉浙江宁波市海曙区段塘学 校章民

基于数学核心素养的课堂教学实践与反思
——以课题“一次函数的概念”课堂教学为例

☉浙江宁波市海曙区段塘学 校章民

史宁中教授指出学生核心素养的培养要落在学科核心素养上，基于核心素养的教学要把握知识本质、创设教学情境.核心素养下的教学应从数学本质的角度挖掘材料，从数学“四基”的角度分析材料，从数学“四能”的角度理清思路，从数学思想的角度设计教学.但在现实教学中，数学核心素养培养的落实状况不太乐观，因为考试的高压使得教学的绝大多数时间都花在应试上，对学生数学核心素养的关注极少.因此，对于学生数学核心素养的培养，教师要加以重视，选取合适的教学案例，采用“自主、合作、探究”的学习方式，在日常教学中逐步培养.下面就以课例“一次函数的概念”学习来简要阐述如何培养学生的数学核心素养，望能与广大同仁一起探讨，共同提高.

一、一次函数的概念学习过程及分析

函数是刻画变量之间关系的常用模型，其中最为简单的是一次函数，也是函数内容的起始章节.本节课是新浙教版八年级上册第五章第三课时，它是在认识了常量与变量、函数的概念的基础上进行授课的.它既是前面知识的深化和应用，又为今后学习其他函数（反比例函数、二次函数、三角函数）概念提供了学习思路和方法.

1.创设问题情境.

情境1：杭州到长春空中距离约2100千米，飞机的平均航速为1000千米/小时，老师坐飞机从杭州去长春，飞机离长春的距离为y千米，飞行x小时后，y（千米）与x（小时）之间有怎样的函数关系？

情境2：水池中有水300m3，每小时放水15m3，放水x小时后，水池中还有水ym3，则y（m3）与x（h）之间有怎样的函数关系？

情境3：汽车加油前，油箱里已经没油了.已知给汽车加油的加油枪流量为25升/分.在加油的过程中，油箱里的油量Q（升）与加油时间t（分）之间有怎样的函数关系？

情境4：已知长方形的面积为20（cm2），长方形的长为m（cm），宽为n（cm），则长方形的长m与长方形的宽n有怎样的函数关系？

【设计分析】函数学习中，培养学生的数学核心素养主要有数学建模和数学抽象.一次函数的概念课是通过列举实际问题，让学生体会和理解数学与现实世界之间的联系，用模型思想贯穿整个教学的过程.本环节创设丰富的实际情境，激起学生的求知欲，让学生在情境中不知不觉体会函数存在于现实生活中.四个情境内容多样，有一次函数模型，也有的不是一次函数模型，启发学生抽象出函数模型，为给一次函数下定义作好准备.

2.你能对以上四个函数分分类吗？

【设计分析】通过实际问题让学生抽象出数学问题，通过分类比较，有利于学生发现并归纳出第一类函数的共同特征，用数学语言表达实际问题，也就是用函数来解析实际问题.在这一环节中，让学生从函数形式上分出两类函数（一次函数和反比例函数）.比较这两类函数，有利于学生对函数右边是整式的认识；有利于对一次函数自变量为1次的特征归纳；有利于学生掌握比例系数k≠0的要求及它的合理性.

3.概括一次函数的定义.

归纳第一类函数的共同特征：（1）自变量的次数为1；（2）函数右边是整式.

上述函数关系式都是用自变量的一次整式表示的，所以定义如下：形如y＝kx+b（k、b是常数，k≠0），我们称它们为一次函数.当b=0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）也叫作正比例函数.正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例.

【设计分析】让学生在体验实际背景中抽象出数学问题，并构建出数学模型——函数，从中概括一次函数所具有的特征，给出一次函数的定义.这一过程中，进一步让学生用数学的眼光观察世界，发展数学抽象素养；用数学的语言表达世界，发展数学建模素养.

4.概念再认识（一次函数在生活中的意义）.

从以上三个实际问题情境中，我们可以得到三个公式：

情境1：新的距离=固定距离+均匀变化部分.

情境2：新的水量=固定水量+均匀变化部分.

情境3：新的油量=固定油量+均匀变化部分.

通过比较分析，我们可以用一个水池和一个公式来表达一次函数在生活中的意义：

“新的总量”=固定部分+均匀变化部分.

图1

【设计分析】具有一次函数形式的三个实际问题可以统一理解为一个水池放水（或进水）问题.我们在数学抽象和数学建模的过程中可以借助一个水池，直观、形象地帮助学生建立一次函数模型，让学生更简便地理解一次函数与实际问题之间的密切关系；也能让学生理解两个常数所具有的实际意义，从而总结出一次函数的现实意义是“新的总量=固定部分+均匀变化部分”.

5.活动巩固.

活动一：每位同学写一个一次函数表达式，请你的同桌指出其中k、b的值.

活动二：写出下列两个变量之间的函数关系式，并判断是否是一次函数.

（1）仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式.

（2）空调厂的装配车间原计划用2个月时间（每月以30天算），每天组装150台空调完成任务.问：每天组装的台数m（台／天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？

拓展练习：己知y＝（k-2）x|k|-1＋2k-3是关于x的一次函数，求这个函数的表达式.

【设计分析】学生对数学抽象、数学建模有初步认识后，通过基础训练环节对一次函数的概念加以巩固，对一次函数的表达式加深认识.同时对一次函数中的两个常数的现实意义进行再认识，也进一步培养了学生的数学核心素养.此外，让学生经历运用知识解决问题的过程，发展了学生的推理能力和语言表达能力.

活动三：你能赋予一次函数y=10x+150一个实际背景吗？

【设计分析】给出一个一次函数模型，让学生赋予其实际背景.它的实际背景不止一种，让学生感受到同一个函数模型可以有丰富的实际背景.这是一种逆向思维的训练，对学生的模型思想提出了更高的要求，也能进一步让学生体会和感受数学抽象和数学建模思想在实际情境中的运用价值.

6.课堂小结.

本节课我们对一次函数有哪些认识？初步感受了哪些数学素养？你对本节课还有什么疑惑？

【设计分析】在课堂小结中，让学生回顾学到了什么知识，初步感受了什么数学素养，在今后的数学学习中要进一步提升.又用一个水池和一个公式对一次函数进行了现实意义上的理解，更直观、形象地认识了一次函数.

二、在课堂教学中提高数学核心素养的思考

1.充分理解知识的整体性.

学生从知识的深度和广度来整体把握数学内容，才能比较清晰地认识数学知识之间的逻辑关系，才能实现数学内部结构的网状化和系统化.这是学好数学的前提，也是提高数学核心素养的必要条件.初中阶段的函数内容主要研究函数概念、一次函数、二次函数、反比例函数、三角函数等.新浙教版初中数学教材八年级上册第五章中，函数的概念是本章内容的基础，一次函数是最简单的线性函数，正比例函数是特殊的一次函数.一次函数的研究思路、研究方法对其他函数的研究具有方法论意义.在教学中，教师要适时启发引导学生，让学生掌握研究一次函数的过程和方法，使他们在学习一次函数概念的过程中逐渐了解一次函数与生活实际间的联系，并通过一次函数在生活中的意义（一个水池和一个公式）再一次理解一次函数，相关知识连接成线，并为学习二次函数、反比例函数、三角函数等奠定基础，使知识铺成面，形成体，为提高学生的数学核心素养提供基础条件.

2.充分把握数学学习的过程性.

知道数学基本事实（定理、法则等）不等于理解；会背概念不等于理解；会做题不等于理解.所以说学习不仅要掌握知识结果，更重要的是把握好学习的过程性，因为数学核心素养的发展具有渐进性.我们既要注重数学知识的发生、发展过程，又要关注学生的思维活动过程.根据这个原则，在本课题学习过程中，先呈现几个实际问题情境，通过数学抽象、数学建模得出几个函数关系式，再对不同的函数关系式进行分类、比较，逐渐归纳出一次函数形式的基本特征，最后概括形成一次函数的概念.此教学过程是以生活实例为情境，重视数学概念的概括过程，不仅让学生经历了知识的发生、发展过程，而且关注了学生的思维过程.在掌握了一次函数概念的基础上，让学生获得了数学抽象、数学建模等新技能，感悟了研究问题的基本思想和基本方法.

3.充分体现数学学科的思想性.

学习数学的过程不仅让学生掌握了数学知识，更重要的是让学生在掌握知识的过程中提升能力、领会数学思想，从而提高学生的数学核心素养.在函数领域中的数学思想，主要有数学抽象思想、数学推理思想和数学建模思想，以及由这三个基本思想派生出来的中学数学中常用的分类思想、数形结合思想、化归思想、函数思想、方程思想等.通过实际问题情境的创设，数学问题的抽象，形式的分类比较，一次函数形式特征的发现过程、一次函数概念的形成过程等，渗透数学思想，发展学生的数学核心素养.在数学思想的渗透中，教师还要掌握渗透数学思想的方法，教师通过有意渗透、启发引导、直接追问的形式，让学生有所体会、渐渐感悟、清晰表达，最终让学生主动运用数学思想发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，逐渐掌握数学思想，形成数学核心素养.

4.充分提高“用数学”的自觉性.

数学核心素养发展的基本途径是“用数学”，数学核心素养的价值突出体现在“用数学”解决实际问题上.在本节课中，教师在启发引导学生充分理解一次函数的实际背景，围绕一次函数概念的发现、归纳、解释、运用这一主线合理展开教学，积极引导学生对实际问题中的有关现象和过程进行合理简化和量化，建立一次函数模型.在问题情境的引入、数学抽象、函数建模等过程中给学生提供充分交流的机会，使学生逐渐学会清晰、准确、有逻辑地表达自己的数学思考，逐渐提高理解、内化他人思想的能力.同时培养学生用数学符号或数学表达式来交流的能力，处理问题时能自觉引进符号或表达式表述问题的关键事项，能够用适当的量化关系来表示各事项之间的关系，提高“用数学”的自觉性.

1.史宁中.数学思想概论（第1辑）：数量与数量关系的抽象［M］.长春：东北师范大学出版社，2008.

2.史宁中.数学思想概论（第5辑）：自然界中的数学模型［M］.长春：东北师范大学出版社，2012.

3.王冰.教材分析——从宏观到微观［J］.中学数学教学参考，2011（5）.

4.王冰.提高学生数学核心素养的基本策略［J］.大连教育学院学报，2016，32（1）.