轨迹问题的合情推理和演绎推理

宫明

[摘 要] 合情推理与演绎推理是相辅相成的关系，两者既对立，又统一，是辯证的统一体. 在数学教学中，学生需要亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程. 本文以轨迹问题中考题为例，谈数学解题教学中如何坚持演绎推理与合情推理并重.

[关键词] 轨迹问题；合情推理；演绎推理

传统的数学解题教学强调演绎推理的作用，忽视了对学生进行合情推理的训练和培养，从而使学生错误地认为数学就是一门纯粹的演绎科学，从而产生畏难情绪. 究其原因，主要是教师没有为学生探求知识创设合适的情境，没有让学生通过观察、实验、归纳等数学活动，在已有知识的基础上产生数学联想，进而找到解决问题的方法. 本文就如何在数学解题教学中有机结合合情推理与演绎推理作一些探索.

试题 （2016年日照中考）阅读理解 我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹. 例如角的平分线就是到角的两边距离相等的点的轨迹.

问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM的中点.

理由：因为线段EF为△ABC的中位线，所以EF∥BC. 由平行线分线段成比例得动点P为线段AM的中点. 由此你得到动点P的运动轨迹是______.

知识应用 如图2，已知EF为等边三角形ABC的边AB，AC上的动点，连接EF，若AF=BE，且等边三角形ABC的边长为8，求线段EF的中点Q的运动轨迹的长.

拓展提高 如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A，B重合），在线段AB的同侧分别作等边三角形APC和等边三角形PBD，连接AD，BC，交点为Q.

（1）求∠AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长.

运动轨迹是线段

阅读理解中，动点P是AM与EF的交点，根据轨迹的定义易知，动点P的运动轨迹是线段EF.

1. 合情推理三点共线

知识应用中，因为点E可与点B，A重合，点F可与点A，C重合，要判断线段EF的中点Q的运动轨迹，可以通过画出起点、终点、中间点进行探索.

2. 演绎推理证明平角

运动轨迹是圆弧

拓展提高（1）中，通过证明△APD≌△CPB易知∠AQB=120°.

1. 合情推理三点不共线

拓展提高（2）中，因为点P不与点A，B重合，要判断AD，BC交点Q的运动轨迹，可以通过画出两个极限点和中间点进行探索.

当点P无限接近点A时，动点Q也无限接近点A，将点A记为运动轨迹的一个极限点；当点P无限接近点B时，动点Q也无限接近点B，将点B记为运动轨迹的另一个极限点；当点P在AB上时，满足条件的任意一点记为中间点Q. 通过观察发现A，Q，B不在同一条直线上，因此可以猜想出动点Q的运动轨迹是圆弧.

2. 演绎推理计算角度

猜想之后，同样需要演绎推理判断猜想的正确性. 通过拓展提高（1），可以发现∠AQB=120°，这正好是点Q轨迹为圆弧的演绎推理，说明了∠AQB是120°的圆周角. 而对运动轨迹长度的计算，可以利用作△AQB外心的方法找到圆心O补齐圆求解，如图6.

以上中考题包含了初中数学轨迹问题的两种典型情况：线段和圆弧. 研究轨迹问题时，需要找到三个静止的点，合情推理出轨迹形状，然后演绎推理计算角的度数，最后计算出轨迹长度.