从数线段的条数谈起

甘肃省天水市麦积区街子中学(741037) 刘永智 ●

从数线段的条数谈起

甘肃省天水市麦积区街子中学(741037) 刘永智 ●

题目 下列图中各有几条不同的线段?从中你能发现什么规律?

解1 图1(1)中有A1A2一条线段;图1(2)在图1 (1)的基础上添加了一个点A3，点A3和原来的点A1，A2连接后，线段数增加了 A1A3，A2A3两条，共有1+2=3 (条)不同的线段;图1(3)，按同样的道理，共有1+2+3 =6(条)不同的线段;…，图1(n)中共有1+2+3+…(n(条)不同的线段．

解2 图1(1)中有A1A2一条线段;图1(2)中现任取一个点和剩余的两个点可以连接2条线段，图中共有3个点，去掉重复连接的线段，共可以连接不同的线段;图1(3)，按同样的道理，共有(条)不同的线段;…，图1(n)中共有(条)不同的线段．

在初学几何知识的时候，这样求解规律的问题有很多，接下来我们通过例题来看看对这类问题的求解．

例1 如图，已知∠AOB是锐角，以点O为端点向∠AOB内部作一条射线，则图中共有多少个角?若作两条、三条射线有多少个角?若作n条射线时有多少个角?画一画，你能发现什么规律?

解析 我们知道，有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角．在图3(1)中 ，以其中的任何一条射线为一边，和剩余的两条射线可组成两个角，图中共有3条射线，去掉重复的角，共可以组成不同的角;按同样的道理，图3(2)共可以组成不同的角;图3(3)共可以组成不同的角;因此，若作n条射线时，共可以组成(个)不同的角．

例2 (1)如图，两条直线相交，最多有___个交点;

三条直线相交，最多有___个交点;四条直线相交，最多有___个交点;五条直线相交，最多有____个交点;

(2)归纳，猜想，30条直线相交，最多有 个交点．

解析 两条直线相交最多只有1个交点;三条直线相交，其中的每一条直线和剩余的两条直线最多可以有2个交点，如果每条直线和其它直线的交点都不重合，则交点个数最多，去掉重复数的交点，共有交点;按同样的道理，四条直线相交，最多有(个)交点;五条直线相交最多有交点; 30条直线相交最多有交点．

例3 观察下列各图，寻找对顶角(不含平角)与邻补角:

(1)图4⑴中共有___对对顶角，___对邻补角;

(2)图4⑵中共有___对对顶角，___对邻补角;

(3)图4⑶中共有___对对顶角，___对邻补角;

(4)研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角，邻补角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成___对对顶角，___对邻补角．

解析 图4⑴中共有2对对顶角，4对邻补角;对于图4⑵中对顶角和邻补角的对数，如果直接用数的办法，会发现比较难．通过观察图4⑴，我们可以这样设想，如果能找出图4⑵中相交直线数，则给相交直线数分别乘以2和4，便可求得对顶角和邻补角的对数，图4⑵中相交直线数为3，因此，图4⑵中共有3×2=6对对顶角，2×3×2= 12对邻补角;同样的道理，图4⑶中相交直线数为4，因此，图4⑶中共有4×3=12对对顶角，2×4×3=24对邻补角;若有n条直线相交于一点，则可形成n(n－1)对对顶角，2n(n－1)对邻补角．

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1008－0333(2017)02－0018－01