一道综合题中面积问题的四种解法

广东省深圳市龙岗区龙岗中学(518116) 熊 猛 ●

一道综合题中面积问题的四种解法

广东省深圳市龙岗区龙岗中学(518116) 熊 猛 ●

采用点的整体设元，利用面积割补进行计算，或利用铅锤高面积公式进行转化，或利用平行线间的距离处处相等，进行三角形面积转移，或利用点到直线的距离公式求高，再直接用三角形面积公式解决问题．

综合题;面积问题;解法

∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x－3)，

∴ a(0－3)(0+1)=－3，∴a=－1，即y=x2－2x－3=(x－1)2－4．

(2)方法1:过点D作EF∥x轴，作PE⊥EF于点E，

BF⊥EF于点F．设P(m，m2－2m－3)．

由(1)知，D(1，－4)，B(3，0)．

整理，得m2－4m－12=0，解得，m1=－2，m2=6(舍去)．∴P(－2，5)．

说明:本方法采用点的整体设元P(m，m2－2m－3)，再利用面积割补进行计算，即 S△PBD=S梯形PEFB－S△PEDS△DBF，这是进行面积转换最常用方法．

方法2:设P(m，m2－2m－3)，由(1)知，D(1，－4)，B(3，0)．设直线PD: y = kx + b， 则解得

整理，得m2－4m－12=0．以下略．

说明:本方法运用求出直线PD与x轴交点坐标，再利用铅锤高面积公式进行转化．

方法3:设P(m，m2－2m－3)，由(1)知，D(1，－4)，B (3，0)．∴直线BD:y=2x－6．

过点P作PE∥BD，交y轴于E，则S△PBD=S△BED．

设直线PE:y=2x+h，则有:2m+h=m2－2m－3，h= m2－4m－3，即直线PE:y=2x+m2－4m－3，则E(0，m2－4m－3)．过点D作DF⊥y轴于F，则有:DF=1，OF=4，EF=a2－2a－3+4=a2－2a+1．

整理，得m2－4m－12=0．以下略．

说明:本方法利用平行线间的距离处处相等，将△PBD的面积转化为△EBD的面积，再通过割补法进行转换求解．

方法4:设P(m，m2－2m－3)，由(1)知，D(1，－4)，B (3，0)．

∴直线BD:y=2x－6．

∴ 点P(m，m2－2m－3)到直线2x－y－6=0的距离为:

即m2－4m+3=15或m2－4m+3=－15(无解)．

解得，m1=－2，m2=6(舍去)．

∴P(－2，5)．

说明:本题利用了高中数学知识——点到直线的距离公式，再直接用三角形面积公式解决问题．

以上几种解法具有一定的通法指导意义，在解决有关面积问题的题目时，均可借鉴这些方法求解．

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1008－0333(2017)02－0021－01