高中数学不等式易错题型和解题技巧分析

杜启忠

摘 要：以高中不等式部分为例，探讨三种类型的易错题目，并归纳这些易错题型的解题技巧，力求对高中数学不等式教学提供有益的理论借鉴。

关键词：不等式；易错题型；解题技巧

易错题型及解题技巧归纳可以使高中生在解题过程中降低同类型题目的错误率，辅助学生排除不同知识模块之间的迁移干扰，辅助学生构建起完整的高中数学知识体系，使高中生数学解题能力得到综合提高。因此，高中数学教师要加强对易错题型及解题技巧的归纳教学。本文以高中不等式部分为例，探讨三种类型的易错题目，并归纳这些易错题型的解题技巧，力求对高中数学不等式教学提供有益的理论借鉴。

一、线性规划类易错题型和解题技巧

高中数学教师在开展易错题型及解题技巧归纳教学时，要针对线性规划类题目作出重点强调。线性规划与不等式相结合的题目类型，往往都会要求学生通过计算求得最大值或最小值。线性规划与不等式相结合的题目基本解题思路是：明确不等式的定义域或者涉及的面积范围，从而直接求出结果。线性规划类题目的解题技巧即是应用线性规划和不等式之间的性质关系，在具体的解题过程中将二者以题目中已知的线索有机联系起来，从而快速得到正确答案。

例：现在有b>0，还知道以下三个条件：（1）x大于且等于1；（2）x+y小于且等于3；（3）y大于且等于b（x-3）。假设t=2x+y，它的最小值是1。请求出b的值是多少？学生在解这道题时，很容易在求三条直线所围成的三角形面积时出错，而且这道题是常见题型的变式题目，是在已知最值的情况下，要求对题目指定直线的位置变量进行求解。解题技巧如下：定位当前目标函数t=2x+y，假设目标函数在目标区域内经过一点，该点为B，这时不等式的最小值按照题干可知为1，这样就可以确定B点的坐标为（1，-2b），接下来代入原目标函数可得1=2-2b，又因为目标函数经过B点，进而可以进一步得出b点的确定值，最后解得b=。接下来高中数学教师应针对该类型题目的解题技巧进行归纳：第一，要引导学生明确函数最值是解决该问题的关键，培养学生能够根据题干中给出的不等式定位可行域的范圍，这样便可以顺理成章地解得固定值。在这道题的解题过程中，因为题干已经明确说明了b>0，那么也就意味着y=b（x-3）必然只能限制在一、三象限内，三角形的可行域范围由此可以轻而易举地圈定出来。

二、参数不等式类易错题型和解题技巧

参数不等式是不等式题目中较难的一个类型，但是参数不等式的解题思路非常明确，解决参数不等式题目的关键就是要对不等式中的未知参数展开具体分析。高中数学教师在解题教学中尤其要针对参数的范围重点强调，引导学生形成分类讨论的数学思维。在分类讨论过程中，高中数学教师要向学生强调讨论结果必须涵盖所有可能性，不能缺失，也不能重复。

例：现在有不等式（x-e）（x-1）<0，请求出该不等式的解。

分类讨论思路为：对参数e展开分类讨论，确定其取值范围。具体解法如下：

当e<1时，可以求得e0时，可以求得1

三、高次不等式类易错题型和解题技巧

高次不等式类型题目也是高中不等式解题中学生常常出错的集中区域，在高中不等式解题教学过程中，高中数学教师不能忽视高次不等式类易错题型和解题技巧的归纳。针对高次不等式的解题，学生往往将相关区域搞混，尤其是涉及特殊区域或者相关特殊点的确定时，大部分学生感到十分困惑。高中数学教师在教学高次不等式时，首先要针对学生的畏难心理进行疏导，在教学中使学生清晰地看到隐藏在高次不等式复杂性中的规律性，从而准确解出题目。

例，假设由题干可知，高次不等式（t-1）（t-2）（t-3）>0，问题是：求该高次不等式的解。学生在最初看到这个题目时，常常会感到无从下手，这时高中数学教师要适时地引导学生：同学们，解这个高次不等式，必须先确定不等式的根，因此，我们首先可以在草纸上画出草图，然后再运用我们学过的穿根法求得该高次不等式的解。在高中数学教师的引导下，高中生开始动手画出草图，并在数轴上确定了这个高次不等式的四个区间，然后高中数学教师要引导学生在草图上标注好代表不等式大于零的区域以及代表不等式小于零的区域，可以通过正负号表示出来。这时，高中数学教师再引导学生回归题干，展开具体讲解：（t-1）（t-2）（t-3）>0这个不等式求解可以根据草图中13这两个范围区间进行确定，因为这两个区间能够满足高次不等式t的已知条件。所以高次不等式的解题技巧就是要通过画图来确定高次不等式根的取值范围，再将题干与图形串联起来。

高中数学不等式部分的教学十分重要并且具有一定难度，因此，高中不等式易错题型及解题技巧归纳可以辅助学生梳理解题思路，使学生形成严密的数学思维能力。高中数学教师要在实践教学过程中不断总结经验，反思教训，提高高中不等式易错题型及解题技巧教学的水平。

参考文献：

[1]高丽.如何构建高中数学的高效课堂[J].新课程（中），2015.

[2]黄国才.浅谈如何构建高中数学高效课堂[J].中学生数理化（学研版），2015.