追本溯源，回归本质——一则习题课教学引起的反思

☉江苏省苏州市吴江中学 娄爱玉

追本溯源，回归本质
——一则习题课教学引起的反思

☉江苏省苏州市吴江中学 娄爱玉

一、背景

《普通高中数学课程标准》指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步理解．由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉．在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质.”笔者在完成了平面向量的教学后，对一道课本后习题的解答，学生仍然沉浸在以往的知识海洋中.笔者在准备和讲授这堂课过程中，对教学有了一些自己的认识和反思，现将部分教学片断整理成文，与各位同仁分享.

二、教学片断

片断（一）课本习题，学生困惑

学生的解答：

故△ABC是正三角形.

生2：有∠ABO=30°，∠BAO=30°.

同理∠CBO=30°，∠BCO=30°，∠ACO=30°，∠CAO= 30°.

故∠ABC=60°，∠BAC=60°，∠BCA=60°，故△ABC是正三角形.

故△ABC是正三角形.

点评：三位同学的解答均没有跳出平面几何的圈子，用的仍然是求边长、求角、证三角形全等等证明三角形是正三角形的平面几何的方法和手段.虽然已经学习了向量，可总觉得离向量似乎还很遥远.作为执教者，我陷入了沉思之中.现将一些想法和做法呈现给大家，以期抛砖引玉.

片段（二）正确引导，循序渐进

注重向量概念的引导，让学生感悟向量本质，逐步将学生牵引到向量的概念上来.

师：你能否用我们刚刚学习的向量知识来解决？

于是，点O为△ABC的垂心.

又点O为△ABC的外心，故△ABC为正三角形.

又点O为△ABC的外心，故△ABC为正三角形.

点评：生4、生5的解法向量的味道明显得浓了，这才是我们所需要的，是向量法的本质特点的体现.

片断（三）引申拓展，深化概念

为了加强运用向量法解决问题的教学，可以引导学生向量可以从基底出发，让其“自由地生长”，能生长出平面内的所有向量.那么平面内所有向量的关系问题可以转化为这两个向量（基底）的关系来研究.下面举例说明.

师：好的，谁展示一下解题过程？

师：求解本题的关键在哪里？

生6：准确选择了基底，用基底来表示相关向量.

师：很好，这种从基底出发，有预见性地、合理地选择基底，处理图形中的相关向量问题，是向量法的常用手段.

师：当然，我们也可以从图形出发，就是用“形”来处理问题的一种思维方法，体现数形结合的思想.向量集数和形于一身，向量运算既是数的运算又是图形的运算，主动挖掘向量问题的几何背景，将向量问题置于一定的几何背景之中，各种数量关系一目了然，使得计算与图形融为一体，真正体现向量法的解题特点.

师：该题条件简洁明了，初看似乎无从下手.但我们要迎难而上，努力找寻解决问题的突破口.

师：很好！哪位继续？

生10：如图1，在△ABC中，由以上分析可知，O点为CP的中点，P点为BA的四等分点（靠近点B）.

图1

师：大功告成.本题的处理关键在哪里？

生11：准确找到向量运算的几何背景.

师：很好！从图形出发，根据向量运算特点，通过数形联想，将向量问题转化为平面几何模型问题来处理，是向量法解题的常用方法.

师：当然，当图形比较“正、直”的时候，我们还可以考虑用向量的坐标表示.这为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段.从坐标出发，来解决向量问题是一个非常重要而且有效的代数方法.优点是思路较为程序化，思维方式比较“固化”，学生容易掌握，计算也简便.关键是建立合理的坐标系，准确找出关键点的坐标.特别是其他处理方法难以奏效时，向量的坐标法可以试试，这里由于时间关系就不再举例.

三、几点反思

向量的教学现状是令人堪忧，亟待改变的.向量教学应该引起广大教育工作者的重视，应该提高对向量及向量教学的认知与理解，从向量的概念、法则入手加强对向量核心思想与本质特点的教学；从基底、图形、坐标出发加强向量法解决问题的教学，来训练学生数学思维能力，提高解决问题的能力，提升数学素养.

1.目前向量教学的现状

目前由于受高考应试教育的影响，教学过程中总有些急功近利，向量教学也深受其害.平时的向量教学中往往忽视向量的基础知识及向量法的本质特点的教学，通常会只针对高考中常考的填充题、立几题及常考的几个知识点搞所谓的有效教学，对向量概念及基本法则的教学匆匆忙忙，学生对向量的特点还没有形成基本而完整的认识时，大批题目便压下去，学生云里雾里，苦不堪言，有时甚至觉得有点莫名其妙.

当然最主要的问题还是在于有些教师对向量的核心思想理解不透，导致教学中没能反映向量法的本质，总是披着向量法的外衣，实际上还是“综合几何”的方法；把向量法中的代数化曲解为“坐标运算”，不仅窄化了向量法的应用范围，丧失了几何的直观性，而且由于复杂的运算引起了学生对向量法的怀疑.

2.加强向量概念及基本法则的教学

向量概念的教学首先要注重概念的引入，让学生感悟向量本质.这可以从贴近学生生活实际来引入，如教材中给出的湖面上三个景点之间的分析研究，让学生设身处地地感受体验，就是很好的情景引入设计；可以从学生已有的知识水平来引入，如根据学生已掌握有向线段的有关知识，开门见山，引入概念，尽管和向量的自由性有出入，但也不失为一个不错的素材；还要注意相关概念的联系.教材中“向量的概念及表示”这一节内容，概念较多，教学中如果能注意到各概念之间的联系和发展，把它们串成线、连成片，则对诸多概念的理解和把握就轻松多了.

3.常规性的课后反思对教师的专业成长有积极作用

课例点评中，要求教师调动数学知识，凭借教学经验，从教学理论、教学方法、教学艺术多角度对同一节课点评，既关注教师，又关注学生；关注教与学是否有效融合，有效衔接，情境创设的角度是否合理，教材是否进行了创造性的处理，使教学内容能够更加适合学生的学习，课例点评后的教学反思是汲取课例点评中的营养，丰富教学经验，提高教学技能的有效途径.