导数应用问题中解题方向的确定——从函数图像入手

☉山东省肥城市第一高级中学 贾传强

导数应用问题中解题方向的确定
——从函数图像入手

☉山东省肥城市第一高级中学 贾传强

导数是处理函数问题的有力工具，在求函数的单调区间、极值、最值等有着广泛的应用，对于常规问题，我们可按程序化的思路求解.对于某些创新型的问题不知从何入手时，若借助函数的图像分析，常可顺利找到解题的方向.下面举例说明.

例1已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值.

解析：本题第（1）问属于常规题型，按导数法求函数单调区间的处理程序即可顺利解答，其中对导函数正、负的判断可借助导函数的图像来实现.具体过程如下：

函数的定义域为R，对函数f（x）求导得f′（x）=ex（x2+ ax+a）+ex（2x+a）=ex［x2+（a+2）x+2a］.

令f′（x）=0，即x2+（a+2）x+2a=0，解得x=-a，x=-2.

①当-a=-2，即a=2时，f′（x）≥0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为R.

②当-a＞-2，即a＜2时，简略图像如图1所示，在区间（-∞，-2），（-a，+∞）内，f′（x）＞0，在区间（-2，-a）内f′（x）＜0，所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（-a，+∞），单调递减区间为（-2，-a）.

图2

图1

下面对第（2）问的求解进行详细分析.

一、思路分析

因为a≥4，所以-a≤-4＜-2，由第（1）问情况③可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（-2，+∞），单调递减区间为（-a，-2），函数f（x）的大致图像如图3所示.

图4

图3

若存在x0∈（-∞，-a），使得f（x0）＜0，则函数f（x）不存在最小值.

因此若函数f（x）存在最小值，则其大致图像应如图4所示，即在（-∞，-a）内f（x）＞0恒成立，且f（-2）≤0，则最小值为f（-2）.

根据上述形象分析，明确了解题的方向，即将问题转化为判断在（-∞，-a）内f（x）＞0恒成立以及f（-2）≤0.

二、严谨解答

方法1：由第（1）问可知，当a≥4时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（-2，+∞），单调递减区间为（-a， -2）.函数f（x）在区间［-a，+∞）内f（x）≥f（-2）=而4-a＜0，所以f（-2）＜0.

因为在区间（-∞，-a）内，x2+ax=x（x+a）≥0，所以x2+ ax+a＞0，而ex＞0，所以f（x）=ex（x2+ax+a）＞0，所以当a≥4时，函数存在最小值f（-2）.

点评：本解法通过挖掘隐含条件、采用局部判断，即在区间（-∞，-a）内，函数f（x）的正负由x2+ax来决定，从而将陌生问题转化为熟悉的问题，简洁求解.

方法2：由第（1）问可知，当a≥4时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（-2，+∞），单调递减区间为（-a，-2）.函数f（x）在区间［-a，+∞）内f（x）≥f（-2）.

由二次函数y=x2+ax+a的性质知，当x→-∞时，x2+ax+ a＞0，且ex＞0，所以f（x）=ex（x2+ax+a）＞0.

所以当a≥4时，函数f（x）存在最小值f（-2）.

点评：本解法采用有限与无限思想对函数f（x）的正、负进行判断，方法简单、易于入手，是学生解题中普遍采用的方法.

三、变式演练

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在［0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围.

本题第（2）问，从形式上来看，与例1如出一辙，例1给出参数范围，证明函数存在最小值.例2是若函数存在最小值，反过来求a的范围.

图5

图6

那么当x→+∞时，函数f（x）是否恒为正呢？

方法1：当a＞0时，由一次函数y=2ax+a2-1的性质知，当x→+∞时，2ax+a2-1＞0，而x2+1＞0，所以f（x）=0，则函数在x=0取得最小值f（0），此时应满足f（0）＜0，即a2-1＜0，-1＜a＜1.

其实挖掘隐含条件不难发现，函数f（x）只有一个零点，即2ax+a2-1=0，且当x→-∞时，恒有f（x）＜0； x→+∞时，恒有f（x）＞0，所以其正确的图像如图7所示.

图7

图8

方法2：设x0为f（x）的零点，易知.从而x＞x0时，f（x）＞0；x＜x0时，f（x）＜0.

若f（x）在［0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1.结合条件知0＜a≤1.

所以当a＞0时，若f（x）在［0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1］.

所以a＜0时，若f（x）在［0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（-∞，-1］.

综上，a的取值范围是（-∞，-1］∪（0，1］.

总之，通过利用导数法求出函数的单调区间、极值、最值后可快速描绘出函数的图像，进而明确了下一步问题处理的方向.但要注意对题目隐含条件的挖掘，如本题中零点的唯一性，以及临界状态的分析，如本题中x→+∞或x→-∞时，函数值的恒正或恒负的情况.