一道课本习题的探究之旅

☉江苏省徐州高等师范学校 王秀珍

一道课本习题的探究之旅

☉江苏省徐州高等师范学校 王秀珍

高中数学教材中的习题凝聚了许多专家、学者的心血与经验，教材上的例题、习题是教师开展教学的依据，且许多高考试题源于课本习题.因此，在研究课本时，教师应注重将课本的例、习题进行探究、延伸或拓展，这样才能在教学时举一反三.

一、题目

平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，|F1|=1N，|F2|=N.F1与F2的夹角为45°.求：（1）F3的大小；（2）F3与F1夹角的大小.

这是人教A版高中数学必修4（P113）一道习题，下面通过五种不同的解法来看平面向量的解题策略.

二、解法赏析

解法一（几何化）：如图1所示，设F1，F2的合力为F，F与F1的夹角为θ，过F作F1所在直线的垂线，垂足为G，则，在Rt△FGO中，

图1

所以|F3|=+1，F3与F1的夹角为150°.

点评：向量问题和平面几何问题可以相互转化，向量可以用有向线段表示，向量的模可以用有向线段的长度表示，向量问题几何化，就是通过解决几何特征的关系解决向量问题.

解法二（坐标化）：建立如图2所示的直角坐标系.因为∠F2OF1=45°，|F1|=1N，N，所以

图2

点评：由于向量可以用坐标表示，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，这样数与形就有机结合起来了.许多问题通过向量的坐标化，避免了烦琐的运算.

解法三（代数化）：如图3，三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，所以F1+F2+F3=0，即

图3

cos＜F3，F1＞=，从而F3与F1的夹角为150°.

解法四（物理化）：如图4，三个力F1、F2、F3作用于一点且处于平衡状态，所以F1+F2+F3=0，

图4

从而F3与F1的夹角为150°，|F3|=+1.

点评：对于三个力的平衡，物理中可以用拉密定理求解.物理量之间的关系可以抽象成数学关系，数学关系又可以解释相应的物理现象，两者联系紧密.

解法五（模型化）：如图5所示，设F1、F2的合力为F，则|F|=|F3|，因为∠F1OF2=45°，所以∠FF1O=135°，在△OF1F中，由余弦定理得

图5

|OF|2=|OF1|2+|F1F2|2-2|OF1||OF2|cos∠FF1O=4+2.

点评：向量的模、数量积的定义以及坐标形式都有模型特征.利用向量加法构造三角形模型，通过余弦定理、正弦定理求解，体现了等价转化的数学思想方法.

三、教学感悟

这节课通过一道课本习题解题的不同视角，展现了课本习题巨大的魅力，用好课本习题是一线教师不懈的追求.

1.“用教材教”，创造性地利用教材

正如美国著名数学教育家波利亚所说：“一个专心认真备课的老师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”教师要研究教学，将课本上数学知识的学术形态转化为教育形态，让“冰冷的美丽”引起学生“火热的思考”.

2.教学目标有效融合，发展落到实处

纵观几十年的高考试题，信手可得到许多高考试题也来源于课本教材.教材中的例题习题具有典型性、示范性，同时也渗透着一些数学思想方法或提供某些结论.因此，以本为本，重视对教材中的例题习题的深入探究，发现新的东西，是提高高考复习效率的最佳捷径.

高中数学新教材中的习题都是经过编者认真筛选而精心设计的，其中不少习题蕴含着丰富的数学思想方法，具有一定的反思、拓展和“再创造”的思维空间.高中数学课堂教学时，对这些习题如果简单地以题论题，一做了事，就会留下“入金山没有寻到金”的遗憾.我们在教学中要视此类题目如金似玉，要给予足够重视，力求透彻剖析，细研深究，一题多用，使学生远离题海，真正在运用知识过程中体验学习的乐趣.