高中数学概念课《曲线与方程》的说课设计与思考

广东省广州市广东广雅中学(510160) 吴新华

高中数学概念课《曲线与方程》的说课设计与思考

广东省广州市广东广雅中学(510160) 吴新华

1.提出问题

在互联网+时代,在线学习、创客教育、翻转课堂等都在彻底改变着学生的学习方式和教师的教学方式.脑科学、大数据、高阶思维、学习流程、资源平台等都在颠覆着我们的原有知识体系,时代对中学数学教学提出了更高的要求,要去应对这些变革,必须要不断学习,寻求改变.同时,高中新的课程标准研制提出数学核心素养的问题,面对新的课程改革,我们始终要清醒认识到: 无论时代如何发展,数学的学科价值和学习特质是需要把握的,任何的教学方式首先要思考清楚我们为何而教?我想: 数学要为思维而教,为问题解决而教,为形成更好的数学素养而教.

数学概念的有效教学始终是数学教学最根本性的问题.只有对数学概念的深刻理解,让学生充分感受数学概念产生的必然性与合理性,建构完整的概念认知结构,才能驾驭数学知识,学会数学地解决问题的方法,培养良好的思维品质.本文试图以高中阶段联系代数与几何的重要概念课《曲线与方程》为例,通过呈现概念课说课思考与设计的全过程,阐述概念课教学重要性以及对学生思维的影响.

2.说课设计的策略

设计说课,本人做了大量的准备工作,研读课标、研读教材、研读以往教学设计,与专家研讨这节概念课在高中教学中的重要意义与价值,研讨概念课的核心要素等,磨课过程即是一个痛苦的过程,也是一个收获的过程.我始终围绕如何深刻理解和把握概念本质,把数与形的关联、数与形的统一、数形结合的思想在课堂中引导学生去体验和感悟?这是设计说课想得最多的问题,越思考越清晰,越清晰越深入,理清了这节概念课的几个关键: 在平面直角坐标系下,数与形实现对应,方程与曲线实现了数与形的统一,数形结合的思想让学生在直观与抽象中找到了问题解决的路径.整个磨课经历了16稿,最终敲定整个说课由五个部分组成:

2.1 说《曲线与方程》的地位

人教版《曲线与方程》是《普通高中数学课程标准》中选修系列2第二章第一节的内容,是概念课,也是圆锥曲线内容的起始课,引入此概念,是用代数方法研究几何问题的关键,是体现解析几何核心思想的一节课.本节概念课试图通过研究曲线的方程和方程的曲线的概念,使学生真正领悟解析几何的最基本方法是坐标法,最基本的思想是数与形的统一.此外,本节课对概念的掌握体现数学素养,影响着学生今后解析几何的学习,尤其反映在分析和解决问题上,例如如何运用点在曲线上的几何条件,如何检验点是否在指定的曲线上?因此,具体教学中需要引导学生重视对数学问题本质的思考与探索,提升学科素养.

2.2 说学情分析

学生在必修2中学习了《解析几何》中直线和圆的方程,利用坐标法初步体会数与形的对应.高二阶段,学生对高一必修2的学习已经相隔了一段时间,相当一部份学生已经遗忘了坐标系的方法,即: 圆为什么会有方程?直线和圆方程是怎样得到的?这些根本性的问题.常常表现为: 数学基础比较好的同学,坐标系的思想基本已经建立,中等程度的学生更侧重于从函数的图像和性质的角度理解直线方程,基础稍弱的学生对坐标系的思想完全没有印象,所以本节内容是让所有学生重新理解析几何思想的最好时机.

曲线与方程的概念其定义条件是双向性的,这种定义方法学生以前从未接触过.在必修2教材的第92页中出现了“直线上的点的坐标满足方程和方程的解为坐标的点在直线上”的概念,已做了铺垫.本节课需要解决的问题是为什么要这样下定义,这样定义解决什么问题是概念认知过程中必须要解决好的,通过概念的学习,培养学生思维的严密性.重视分析和关注学生的最近发展区,充分调动原有认知结构去建立新的认知结构,这尤为重要.此外,这也为教与学更好契合做准备.

2.3 说教学目标

课堂教学需要实现以下五个目标: 一是巩固曲线与方程的对应关系是建立在坐标系的基础上实现的,进一步感受数形结合的基本思想;二是理解曲线的方程和方程的曲线的定义,知道曲线与方程是同一对象的两个不同方向的定义;三是能对简单的曲线写出对应的方程,根据所给的方程能画出对应的曲线,从两个方面加深对概念的完备性和纯粹性的理解,实现数与形的严格的完美的对应;四是能初步掌握证明一个方程是其曲线的方程的步骤和方法;五是培养学生思维的严密性,引导学生形成对问题的本质的探索与思考的习惯,体现学科的教育价值.

2.4 说教学重、难点

重点: 理解曲线的方程和方程的曲线的概念的本质.

难点: 理解曲线上的点与方程的解的对应,从代数和几何的角度刻画同一对象的两面性.

2.5 说教学过程的设计

整个教学过程的设计分为五个环节,包括提出问题、引入概念、理解概念、深化概念、总结提炼,每一个环节的设计意图具体如下:

(1)提出问题—有意义的数学学习活动

通过情景问题设计,引导学生关注在平面直角坐标系下直线与方程的对应,形与数的对应.并引发学生认知冲突,提出本课研究的概念.

问题1: 如图1,这是一个以2为半径的圆,请问,你能写出它的方程吗?

图1

图2

思考: 如果只取上半圆,如图2,它的方程还是上述方程吗?

(2)引入概念—生成代数与几何的对应

通过简单具体的问题,让学生理解直线上的点的坐标和方程的解的对应关系.

问题2:

下列方程哪些能表示“在平面直角坐标系中,平分第一、三象限的直线”?为什么?

图3

曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系

方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形

由此,抽象概括曲线的方程和方程的曲线的定义:

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.

(3)理解概念—数与形的统一

练习1: 判断题

(2)△ABO的三个顶点是O(0,0),A(3,0),B(0,-3),则中线CO(O为坐标原点)的方程是y=-x.

(3)到y轴距离为2的点的轨迹方程是x=±2(y∈R).

旨在引导学生重视概念中的“都是”,同时检验概念满足的两个条件.

练习2: 写出下列曲线的方程:

(1)射线AB,(2)一段抛物线(3)半圆

图4

图5

图6

由曲线写方程,引导学生重视x,y的取值范围,检验“点”与“解”的对应关系.

练习3: 请在平面直角坐标系中画出下列方程对应的曲线

图7

图8

图9

解答: 应的坐标”不都是方程

由方程画曲线,引导学生重视方程中x、y隐含的取值范围,检验“点”与“解”的对应关系.通俗易懂的说法: 不多也不少,即一个也不能多,一个也不能少.

(4)深化概念—直观与抽象的过渡

设计这个环节,关键是要通过数学逻辑推理深化概念.

例1: 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k＞0)的点的轨迹方程是xy=±k.

图10

图11

课后思考题1: (2015高考广东卷理20题改编)已知过原点O的动直线l与圆C∶(x-1)2+ y2=4相交于不同的点A,B.

证明: 线段AB的中点的轨迹方程是x2+y2-x=0.

图12

课后思考题2: (2015高考广东卷理20)已知过原点的动直线l与圆C1∶x2+y2-6x+5=0相交于不同的点A,B.

(1)求圆C1的圆心坐标;

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3)略

课后思考题是为学有余力的学生课后作为拓展而设计的.2015年广东高考卷(文理)的第20题第(2)问出处是教材(人教版)中的一道A组习题,考查求部分圆弧的轨迹方程,据评卷老师反映,此题答题情况不理想,许多考生忽视了曲线方程的两个条件,反映出学生对“曲线与方程”概念的本质理解是不清晰不透彻的.思考题1的轨迹是圆,思考题2的轨迹是圆弧,让学有余力的学生利用几何画板,呈现轨迹的形成过程,目的是进一步让学生直观理解曲线与方程的对应关系,进一步深化概念,为后续学习求曲线方程做准备.

(5)说课堂小结—提炼与延续的转化

学习“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念,主要是为了后续的学习内容,例如对于“椭圆、双曲线、抛物线”这些我们日常生活中常见的曲线,在平面直角坐标系下,我们都可以找到表示这些曲线的方程,借助方程进一步去研究它们的性质,这也是解析几何需要解决的主要问题.安排课堂小结,旨在提炼本节课的核心,并引出未来学习的数学内容,做到合理衔接与铺垫.

3.说课设计的思考与收获

我们身处课程改革的热潮中,我们深知数学是主导和影响学生思维方式的重要学科,作为数学教师,我们应该坚守什么?应该改变什么?应该探索什么?我们有责任去思考,而且需要有清晰和明确的方向.本人以概念课切入设计说课,深刻领悟到数学教学的重要性和不可替代性,有以下几点思考:

①关于思维能力

数学教育的基本目标就是努力促进学生思维的发展,即通过数学学会思考,促进思维.数学概念对抽象思维的形成有着重要的价值,而目前我们还存在教学中重解题轻概念生成,把概念课上成习题课的现象,没有把核心概念讲透彻,对整个高中数学学习是一种缺失,对学生的思维系统更是一种破坏.

②关于概念教学

真正理解概念教学的本质,才能更好设计概念教学.概念教学的本质不是低水平的概念言语连锁学习,而是要帮助学生获得概念的心理意义,即形成概念内涵的心理表象,能把握概念的本质属性,最终建构起良好的概念图式.

③关于价值取向

新高考就是以问题解决为价值取向,以数学探究为价值取向,以综合多种概念的理解为问题解决的理据.因此新高考就是要我们回归基础,老老实实教点数学概念,让学生学会数学思考,学会数学思维,培养学生善于在纷繁复杂的信息中把握问题核心与提炼规律的能力,培养学生整合问题的能力,形成处理问题的思维方法与策略.

④关于核心素养

即将出台的数学核心素养的六要素之一是数学抽象,重视概念课教学是培养学生抽象思维的重要渠道.通过概念理解,通过师生共同去揭示问题的本质,培养学生独立思考,勇于探索,对于事物保持好奇心和开放性态度,对于现象能够提出质疑,勇于挑战,敢于创新,提高学生的逻辑思维能力,提升学生的数学素养.

[1]何小亚,姚静.中学数学教学设计[M].科学出版社,2012(第二版)

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[4]陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养[J].数学通报,2016,55(8): 34-36

[5]郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报,2015,24(1)3-4