初中数学关键教学点《变量与函数》的课例研究

福建省宁德市第十中学(352100) 彭光清

初中数学关键教学点《变量与函数》的课例研究

福建省宁德市第十中学(352100) 彭光清

关键教学点是指在初中数学教学过程中,某知识内容范围内一个根本的或核心的教学点,它在教学过程起到“奠基、示范、归纳、引领、启迪”的作用.变量与函数这节课是初中数学的关键教学点.加强关键教学点教学,能使学生更好、更快地理解知识、掌握技能、形成能力.

一、教材分析

《变量与函数》是人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书‘·数学》八年级下册第十九章第一节第1课时内容．从这一节开始教材正式引入函数的概念．该节有两个知识点: (1)常量与变量的概念,(2)函数概念．

从知识层面讲,函数是描述运动变化规律的重要数学模型,它刻画了变化过程中变量之间的对应关系,是近代数学最基本的概念之一,在数学发展过程中起着十分重要的作用,许多数学分支都是以函数为中心展开研究的．学生在学习本章函数概念之前,在第二学段通过比例关系的学习,知道两个量中相互依存关系,在第三学段通过学习代数式、方程、不等式等内容,渗透变化与对应的思想,为理解函数概念做准备．函数概念是初中数学的关键教学点,是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础．函数与方程、不等式等知识有密切的联系．

从思想方法层面讲,本章一次函数是函数值变化量与自变量变化量的比值固定不变的简单函数模型．通过研究一次函数可以获得初中函数研究的一般步骤(下定义——画图象——观察图象——概括性质)和基本思想(模型思想、数形结合的思想,运动变化和对应思想),发展数学观察、表征、抽象概括和推理能力．函数概念学习过程中蕴含的核心数学认知活动是数学抽象概括活动．

函数作为从数量角度反映变化规律的数学模型,在概括函数概念时要处理好: 变量y要成为变量x的函数,需满足两个条件: (1)在同一变化过程中,两个变量x和y相依变化; (2)对于变量x的每一个确定值,变量y都有唯一确定的值与之对应.这是关于函数的最基本、最朴素的刻画,是函数概念的关键点,是核心所在.

函数是一个抽象概括程度很高的概念,在教学中,学生能否理解函数内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点,能否体会变量间的“单值对应”关系这一教学重点是掌握函数的概念的核心．

二、课例分析

概念教学的核心是概括,是以典型具体事例为载体,引导学生分析其属性,抽象概括出共同的本质属性获得概念,再通过概念的应用,达到对概念的理解．由此,函数作为初中数学“概念教学的典范”,其教学几个基本环节依然如此．

(一)函数概念的引入

【问题1】汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶里程为s km,行使时间为t h,先填下面的表,再试用t的式子表示s.

行驶时间t/h 1 2 3 4 5 6 7行驶里程s/(km/h)

1．先填上面的表,再试用t的式子表示s.

2．事件中有几个数值发生改变的量?有几个数值不变的量?

3．变量与常量如何定义?

4．变量与常量在生活中的例子有哪些?

师生活动: 首先通过填表,教师与学生一起分析问题1变化过程中变量之间的关系s=60t,引导学生得出有两个变量t,s,一个不变的量60,然后发现s随着t的变化而变化．

得出,变量与常量的定义．

常量: 在某一变化过程中,始终保持不变的量;

变量: 在某一变化过程中,可以取不同数值的量．

根据学生回答,教师追问s是怎样随着t的具体变化而变化呢?

当t的数值取定后,s的值有一个且只有一个．也就是说,当t取定一个值时,s的值由t的值唯一确定.

问题1变化过程: 有两个变量t,s．当t取定一个值时,s有唯一确定的值与之对应．

【评析】通过探究常量和变量,初步概括变量的联动性．为研究函数的概念做好铺垫.

【反思】函数概念引入,需要创设有利于教学发展的情景．教学情境必须为课堂教学服务,必须为教学目标服务．教学情境的创设不能为情境而情境,不能和教学内容脱节,不能只有“面子”没有“里子”．其次情景的选择必须与学生的认知水平相符合．问题1就符合概念的引入要从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要入手．

(二)函数概念的形成

【问题2】下面各题的变化过程中,各有几个变量?其中一个变量的变化是怎样影响另一个量的变化的?

(1)每张电影票的售价为10元,设某场电影售出x张票,票房收人为y元．

(2)如图1,用l0 m长的绳子围一个矩形,矩形的一边长为x,它的邻边长为y．

(3)如图2,圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,圆的半径为r,面积为S．

图1

图2

追问2 对于变化过程问题2(1)(2)(3),变量之间又有什么关系?

师生活动: 引导学生对变化过程问题2(1)(2)(3)进行类似于变化过程问题1变量关系分析,并得到如下结论:

问题2(1): 有两个变量x,y,当x取定一个值时,y有唯一确定的值与之对应．

问题2(2): 有两个变量x,y,当x取定一个值时,y有唯一确定的值与之对应．

问题2(3): 有两个变量r,S,当r取定一个值时,S有唯一确定的值与之对应．

【评析】如何把具体的实例进行抽象,形式化为数学知识是理解函数概念的关键．这里提出的问题“下面各题的变化过程中,各有几个变量?其中一个变量的变化是怎样影响另一个量的变化的”是一个关键的“脚手架”,借助“脚手架”,学生经历数学概念的形成过程,引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念,逐步了解如何给数学概念下定义．通过师生共同讨论,分析问题1(1)中一个变量的变化对另一个变量变化的影响,在此基础上,学生独立进行问题2(1)(2)(3)变量之间对应关系的分析,为发现这些对应关系的共同特征,完成对用函数的解析式表示两个变量间互相依赖关系的认识,实现函数概念的第一次概括提供归纳的样例．

【反思】学生在学习函数概念之前,接触的基本上是常量数学的内容,是静态的数学知识．而函数研究的是变量与变量之间的关系,其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的．因此,了解函数的概念,需要学生的思维达到辨证思维的形态．然而,此时学生的辨证思维水平还不很成熟,这个矛盾是函数概念学习中认知障碍的根源．因此,在函数概念的形成过程,要先提供浅显的具体例证,让学生理解、概括其本质属性——变化与对应．

(三)函数概念的明确

【问题3】能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系的共同特点吗?试一试!

师生活动: 教师引导学生归纳,变化过程中有两个变量,当一个变量取定一个值时,另一个变量有唯一确定的值与之对应．如由s=60t,当t=1,2,3时,能分别求出唯一的s值．

【评析】进一步理解用解析式表示的变量之间的对应关系的共同特征的初步概括.

【问题4】下面是我国体育代表团在第23～30届夏季奥运会上获得的金牌数统计表．把届数和金牌数分别记作两个变量x和y,对于表中的每一个确定的届数x,都对应着一个确定的金牌数y吗?

届数x/届23 24 25 26 27 28 29 30金牌数y/枚15 5 16 16 28 32 51 38

引导学生说出届数与金牌数的对应关系,体会用表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值．

【评析】让学生感受到当一个变量取定一个值时,可以通过查表唯一确定出另一个变量的值,突出函数的本质属性,剥离“用式子表示变量关系”这一非本质属性.

【问题4】如图3,是北京某天的气温变化图,你能说出9: 00,10: 00,13: 00的气温吗?

师生活动: 教师在网上打开天气预报页面,引导学生阅读气温变化图,体会根据气温图可以根据时间确定气温数值,体会这也是变量之间的单值对应关系．追问一天中,当时间确定时,气温的数值是否也是唯一确定的?

图3

【评析】通过比较异同点,揭示函数的本质概念和不同的表示方法．让学生体会到,当一个变量取定一个值时,通过图象也可以唯一确定另一个变量的值,突出函数的本质属性,剥离“用式子表示变量关系”这一非本质属性．

【反思】问题1、2确立了函数概念的“生长点”,学生体会到了函数是变量之间的对应关系,懂得变量之间可以用解析式进行表示．而通过问题3、4让学生从对函数解析法的理解过渡到函数概念的本质是两个变量间互相依赖关系的认识,完成对函数概念内涵的第二次抽象认识．在教师引导下,学生探索了函数的三种表示方法: 解析法、列表法、图象法,完成概念的类化过程,初步明确了函数概念,能准确的数学语言描述概念的内涵与外延．学生在经历函数概念抽象化、一般化、结构化过程中,感到学习函数的方法与以前学习代数和几何的方法有着明显的不同,如函数的表达方式就是多样化等．如何在教函数时奠定知识的“延伸点”,使学生适应这种多样化,逐渐认识到这些方法的作用,了解各种方法在不同情况下使用,会用不同的方法表示函数是教学中应该予以关注问题．

(四)函数概念表示

【问题5】对于上述实际问题中两个变量之间的关系,当一个变量取定一个值时,既有通过式子确定另一个变量的唯一的值,又有通过对应表格确定另一变量唯一的值,还有通过图象确定另一个变量的唯一的值．综合这些现象,你能归纳出上面实例中的变量之间关系的共同特点吗?请大家互相讨论．

师生活动: 学生分组讨论,归纳出如下结论: 在一个变化过程中,有两个变量,当一个变量取定一个值时,另一个变量有唯一确定的值与之对应．教师与学生一起概括出函数概念: 一般地．在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数．

追问请结合问题2(1)说说函数定义中“变化”“对应”“唯一确定”的含义．

师生活动: 学生交流,教师引导学生进行点评．并顺势带出函数值的概念:

设y是x的函数,如果当x=a时,对应的y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．

【评析】函数涉及到很多复杂的层次和许多相关的上位概念．其中的层次主要有: (1)在一个“变化”过程中;(2)存在“两个”变量;(3)这两个变量具有一定的“联系”,一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化;(4)两个变量存在“单值对应”的关系．相关的上位概念主要有变量、对应等,主要的特征有变量、对应、唯一等．教师与学生在前面分步概括的基础上,概括出三类不同表现形式的变量对应关系的共同特征,形成函数概念.

【反思】初中函数概念依赖于连续变化模型．它主要强调函数概念中的“对应”,并且明确是“y对x是单值对应”,这是初中数学中的函数定义的核心．

(五)函数概念的巩固和应用

练习l. 下面是我国大陆地区若干年份的人口统计表,表中的人口数y是年份x的函数吗?

年份x/年人口数y/亿1984 10.34 1989 11.06 1994 11.76 1999 12.52 2010 13.71

练习2. 下列问题中哪些是自变量?哪些是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子:

(1)每分钟向一水池注水0.1m3．注水量y(单位: m3)随注水时间x(单位: min)的变化而变化．

(2)改变正方形的边长x,正方形的面积S随之变化．

(3)某汽车油箱中有50L油,它在高速公路上行驶,耗油量为每0.01 L/km,汽车行驶的里程为xkm,油箱中剩下的汽油量为yL．

【评析】形成函数概念后,以实例(正例)为载体分析关键词的含义,及时进行概念辨析．

练习3. 周末,小李8时骑自行车从家里出发,到野外郊游,16时回到家里.他离开家后的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示.

图4

(1)当t=12时,s=___;当t=14时,s=___;

(2)小李从___时开始第一次休息,休息时间为___h,此时离家___km.

(3)距离s是时间t的函数吗?时间t是距离s的函数吗?

练习4.P是数轴上的一个动点,它所表示的实数是m,点P到坐标原点的距离为s．

(1)s是m的函数吗?为什么?

(2)m是s的函数吗?为什么?

师生活动: 学生思考,独立完成．教师巡视个别辅导,提问学生并引导自我评价或互相评价．

【评析】通过正反两方面的例子进一步进行函数概念辨析,深化对函数概念的理解．

【反思】学生对概念的理解需要经历一个从模糊到清晰的过程,通过正例与反例的对照,才能准确理解概念的内涵．反例引用的时机、反例的量要恰到好处．过早、过多的反例会干扰学生对概念的准确理解．

三、教学建议

1．紧扣函数概念本质,加强概念形成的教学

初中函数概念的本质是“单值对应”关系．单值对应包括了两层含义: 第一,两个变量是互相联系的,一个变量变化时,另一个变量也发生变化;第二,函数与自变量之间是单值对应关系,自变量的值确定后,函数的值是唯一确定的．

根据初中函数概念的特征与初中学生的认知特点,函数概念教学应采用概念形成方式,即从典型、丰富的实例出发,经过学生自己的实践活动,从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征,从而理解和掌握概念．为了帮助学生形成函数概念,教师应选择合适的情景,创设大量符合学生认知特点的,反映这种变化规律的实例(解析式的、图象的、表格的),让学生经历“发生发展过程”,独立概括出函数概念——“单值对应”的本质属性．在此基础上,再“举一反三”巩固和理解函数概念的“单值对应”,是促进概念形成的教学的关键．

教师对于函数概念教学的重要性要有充分的认识,要舍得花时间、花力气．所以不仅函数概念教学,对于后续特殊的函数(如正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等)学习,也要注意把握其概念的本质,注意概念的形成的教学．

2.函数概念教学要有层次性

函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点,学生初次接触函数概念时会感到十分困难．函数概念教学要注意层次性,首先,通过熟悉的典型实例引入,让学生初步感知变量间关系．接着,用同类型的具体例子,从外观上分析数量间的函数关系,形成对函数概念的表面理解.第三,用不同形式的两个例子,探索函数的运动变化的性质,初步抽象出函数本质特点．第四,借助变量之间的联系的辨析,揭示函数的本质特点,借助变量之间的联系完成对函数概念的抽象与理解．最后,学生运用概念解决一些简单问题,完成对函数概念比较全面的把握．

3.重视从函数思想角度进行函数概念教学

函数知识的学习最终目的是对函数思想的领悟和掌握,而学习过程中函数思想方法的渗透,又可以加深对函数概念的理解．

变化是函数概念产生的源头,是制约概念学习的关节点,同时也是概念教学的一个重要突破口．如教学问题1中s=60t的时候,学生往往将“60t”当作孤立的算式,简单将一个个数值代入求值后填入表中,过程只是运用关系式算出答案,并没有真正体会到在这个过程中变量t的变化将引起变量s也随之变化．所以,教师要通过大量的典型的实例,尽可能多地取自变量的值,得到相应的函数值,让学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题中的量与量之间的变化关系,把静止的表达式(或曲线、表格)看作动态的变化过程,让他们从原来的常量、代数式、方程和算式的静态的关系中逐渐过渡到变量、函数这些表示量与量之间动态的关系上,进而使学生的认识实现由静态到动态的飞跃．

在学习函数概念前,学生对“对应”的思想已有一些初步的认识,因此,在函数概念教学时,教师应通过具体实例的分析让学生进一步“感受”对应的思想,使其由“感受”向“领悟”靠近．同时,还应当通过非概念变式让学生明确函数中“对应”是“单值”对应,即只有“唯一”确定的变量y与变量x对应．

四、思考问题

1.在函数概念教学之前,学生在哪些内容的学习中提前渗透了变量与对应的思想?

2.函数的上位概念是什么?在函数概念形成中,如何理解“单值对应”?学生学习过程的难点是什么?

3.你认为函数概念体现了代数概念的哪些特征?学生构建函数概念应体现代数思维的什么特征?

4.如何理解函数不仅是一种重要的数学概念,而且是一种重要的数学思想?教授函数概念时应该着重培养学生什么数学素养?

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