深度挖掘教材 培育核心素养—“导数在研究函数凹凸性中的作用”教学设计及反思

深圳外国语学校(518083) 朱红光

深度挖掘教材 培育核心素养—“导数在研究函数凹凸性中的作用”教学设计及反思

深圳外国语学校(518083) 朱红光

广东省中学数学教学专业委员会于2016年5月18日至19日举办全省高中青年教师数学问题讲授核心片段展示与培训活动,活动以“研讨高中数学课堂教学落实学生发展核心素养的策略和方法、深化高中数学教学改革,造就一批数学名师和学科领军人物”为主题.笔者代表深圳市展示了公开课“导数在研究函数凹凸性中的作用”,本节课选自高中数学人教A版选修2-2第一章第三节例3.笔者根据课程特点和高二学生认知水平,运用信息技术深度挖掘教材,引导学生开展数学实验,亲身感受导数在研究函数凹凸性中的作用的全过程,培育学生直观想象与数学抽象两大数学核心素养,获得了专家与听课老师的高度评价,荣获广东省青年教师数学问题讲授核心片段展示特等奖.下面将教学设计及反思整理成文,与大家交流.

一、教学目标

根据课程标准要求并结合本节课的内容和高二学生已具备的知识、能力和心理特点,确定本节课的教学目标为:

1.借助于计算机动画演示与几何画板演示,开展数学实验,引导学生用不同的方法解决例题3,初步理解导数反映的变化率的特点;了解凸函数、凹函数的图象特征;理解有关凸函数、凹函数的相关结论．

2.通过解决实际问题的过程,认识到生活中处处皆数学,学会用数学的眼光去观察现象、发现问题,从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征．

二、教学重点与难点

教学重点: 例3的解决过程及结合例3研究凸函数、凹函数的性质．

教学难点: 探究凸函数、凹函数的性质的过程．

三、教学流程

图1 教学流程图

四、教学过程

例3．如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

图2

设计意图: 导数在研究函数凹凸性中的作用非常抽象,学生难以理解,借助于计算机动画演示与几何画板演示,深度挖掘教材例3所蕴涵的函数凹凸性,能够有效地突破教学难点,使学生学会用数学眼光去观察现象、发现问题,从现实生活实例抽象出数学本质.

(一)数学实验直观想象

师: 如何解决这个问题呢?我们不妨注水试试看.(播放flash动画,图3、图4).

图3 计算机动画演示前

图4 计算机动画演示后

师: 根据这个实验,我们轻而易举得到了问题的答案,那我们是不是心满意足了呢?当然不是,我们更希望利用所学的数学知识来解释一下为什么会这样?怎么做呢?

我们再重现刚才的注水过程.先看第一个容器,圆柱形的,上下一样粗.我们先注入1单位时间的水,此时容器中的水面高度对应一个数值;因为要考虑函数的图像,所以我们干脆在平面直角坐标系中描出时间与水面高度相对应的点;再注入1单位时间的水,描出第二个点,继续注水,就有了第三个第四个点.我们看到,在恒速注水的过程中,单位时间内的注水量是相同的,所以,容器内水面高度的改变量是不变的,描出的这些点分布在一条直线上,即水深与时间呈线性关系,如图5.

图5

图6

再看第二个容器,是圆台型的,下粗上细.我们仍然每次注入1单位时间的水,随着容器内水面的上升,容器越来越细,所以每个单位时间内水面高度的改变量在逐渐增大,描点后再用光滑的曲线连接,如图6.我们看到水面高度与时间的函数图像是越来越陡峭的.同理,我们可以分析其他两个容器.利用这种方法,我们顺利解决了例3.

师: (问题1)你有其他的判断方法吗?

生1: 我用特殊分析法: 选注水时间的一半.以第二个容器为例,恒速注水时,此时容器中的水量是总注水量的一半,而容器中的水面高度不及总水面高度的一半.由图6的图象可知,应该对应A选项.同理,我们可以分析其他三个容器.利用这种方法,例3也迎刃而解.

图7

图8

图9

师: 还有其他的判断方法吗?

生2: 用增量分析法: 考察自变量逐次增加δx...... (图8,图9)

师: 还有其他的判断方法吗?我们可以用瞬时分析法,结合导数值的变化对函数图象的影响进行分析(图10).

图10

设计意图: 首先用计算机制作flash动画模拟倒水过程,让学生直接观察;引导学生分析特殊时刻: 一半时间容器中的水深(或一半水深时对应的注水时刻);最后引导学生从水深随时间的变化快慢进行分析.瞬时分析法—结合导数值的变化对函数图像的影响进行分析.

(二)合作探究数学建构

师: 现在再让我们来关注一下A,D两个选项的函数.我们看到,这两个函数都是单调递增的,但是一个向下弯曲成凹形,一个向上弯曲成凸形.大家回忆一下,我们以往所研究的函数中,有没有哪些函数的图像也具有这种特征呢?没错,指数函数,对数函数,二次函数等等这些函数的图像都具有类似的特征,因此我们有必要研究一下这类函数的性质.为了方便研究,我们不妨把向下弯曲成凹形的函数称为凹函数,向上弯曲成凸形的称为凸函数.那么,如何从数的角度来定义函数的凹凸性呢?(问题2)

图11

大家想一下,所谓的凹和凸是针对什么而言的呢?没错,是“平”.那我们能不能在图像中作出“平”的要素呢?没错,我们可以在曲线上任取两点连接成曲线的弦,那我们看到所谓的“凸”是指,曲线上与弦相对应的那一段在弦的上方.那么,上方下方又如何量化呢?是的,我们可以借助于两个对应点的纵坐标的大小来表示.从图10中我们看到,横坐标相同时,曲线上点的纵坐标要大于弦上的点的纵坐标.因为弦是任取的,为了简便,我们可选取横坐标为时所对应的两个点的函数值,显然一个是一个是从图中我们可以看出,对于凸函数而言总有当x1=x2取不等式取等号.而凹函数恰恰相反,有

我们利用几何画板(图11)分析: 当x1,x2变化时,上述不等式恒成立的,也就是与x1,x2的选取无关.因此,我们可以定义函数的凹凸性: 若平均数的函数值总大于等于函数值的平均数,则称函数是该区间上是凸函数,反之,则称为凹函数.

(教师引导学生理性分析凹凸函数的定义、函数值的特点以及导数值的变化对函数图象的影响,并用几何画板演示学生发现的规律.)

图12

图13

图14

图15

师: (问题3)凹凸函数有什么性质呢?

那我们自然要问凹凸函数有什么性质呢?我们先研究凸函数(图11),由例3注水的过程得到启发,我们让自变量x逐次增加一个单位Δx,由函数图像可知相应的函数值的增量Δyi越来越小.而凹函数(图12,图13,图14,图15)呢, Δyi是越来越大的.因此,我们得到:

凹凸函数性质1: 若f(x)为凸函数,当自变量x逐次增加一个单位Δx时,函数值的增量Δyi越来越小,而凹函数恰恰相反,Δyi越来越大.

凹凸函数还有其他的性质吗?我们回顾刚才的分析,考虑了Δx,Δy,那大家想一下,这两个量和什么知识有关呢?变化率!变化率又和什么有关呢?函数的导数值.

问题4: 函数的凹凸性与函数的导数有什么关系?

图16

图17

既然看图像,那就要找导数的几何意义即切线的斜率(图16,图17).所以,我们利用几何画板(图9)分析: 在图中作出曲线上的点的切线,显然,点A沿着曲线移至点B,切线变的平缓,切线的斜率变小,也就是导数值变小;而对于凹函数,切线变的陡峭,切线的斜率是增大的,也就是导数值变大.我们再利用几何画板看一下连续的过程,以凹函数为例,我们看到,当动点P沿着曲线向右移动时,切线越来越陡峭,切线的斜率越来越大,也就是说当自变量x增大时,导数值f′(x)是增大的,即导函数是单调递增的.并且我们看到,导数的绝对值较大,函数的图象就比较“陡峭”,反之呢,就“平缓”一些.

通过刚才的研究分析,我们得到了凹凸函数的又一个性质:

凹凸函数性质2: 函数在区间上为凸函数,则导函数在该区间上单调递减;反之,若为凹函数,导函数则单调递增.

问题5: 你能利用导数对例3进行分析判断吗?

那大家再想一下,你能利用导数值的变化特点再对例3进行判断分析吗?没错,对于圆柱形容器,注水过程中,水深随时间是均匀变化的,也就是导数值为常数,反映到图像上是线性关系;而对于第二个容器,下粗上细,随着容器内水面的上升,水深随时间变化的越来越快,也就是导数值增大,所以,函数图像变的陡峭一些.同理可以分析另两个容器.

设计意图: 教师设计系列问题,借助于几何画板软件开展数学实验,引导学生通过观察分析、合作探究,初步理解导数反映的变化率的特点;了解凸函数、凹函数的图象特征;归纳总结出凹凸函数性质.

(三)深入分析拓展延伸

图19

思考题: ∀t∈(0,1),是否有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)(图19)?

师: 刚才我们结合对例3的研究分析,利用数形结合得到了凹凸函数的定义,并进一步研究了凹凸函数的两个性质.凹凸函数还有没有其他的性质?凹凸函数还可以怎样定义?若函数为凸函数,有没有这样的不等式成立?请大家继续研究.

设计意图: 启发学生利用所学知识,对问题进行探究分析,加深对知识的理解和掌握.

五、教学反思

教师在日常课堂教学中如何落实数学核心素养呢?章建跃先生认为: 教师应增强课程意识,从平凡的日常教学中思考落实新理念的方法,在数学知识的教学中寻找发展学生核心素养的途径,这是课堂教学落实核心素养的基本出发点.我执教的“导数在研究函数凹凸性中的作用”在日常课堂教学中培育直观想象与数学抽象等两个数学核心素养进行了有益的探索与尝试.

(一)借助于信息技术开展数学实验,有利于发展直观想象

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决数学问题．主要包括: 利用图形描述数学问题,建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路．

直观想象是发现和提出数学命题、分析和理解数学命题、探索和形成论证思路的重要手段,是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础,是培养创新思维的基本要素．

我用计算机制作flash动画模拟倒水过程与几何画板动态演示,借助于开展数学实验,引导学生直接观察与分析,深度挖掘例3所蕴涵的函数凹凸性及其性质,有助于学生用数学的眼光去观察现象、发现问题,用数学思想方法解决问题.在问题解决的全过程中,建立了良好的数学直觉,有助于理解数学本质,促进学生直观想象这一数学核心素养的发展.

(二)设计系列问题,引导学生合作探究,培育数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程．主要包括: 从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征．

数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．通过数学抽象核心素养的培养,学生能够更好的理解数学的概念、命题、方法和体系,形成一般性思考问题的习惯;能够在其他学科的学习中化繁为简,理解该学科的知识结构和本质特征．

我将现代信息技术(几何画板软件)与高中数学课程(导数在研究函数凹凸性中的作用)相融合,运用基于信息技术的高中数学教学模式: “数学实验,直观想象——合作探究,数学建构——深入分析,拓展延伸”,精心设计了系列问题,引导学生开展数学实验,亲身感受导数在研究函数凹凸性中的作用的全过程,培育学生数学抽象核心素养.

在传统教学中,我们很难讲授导数在研究函数凹凸性中的作用,也很难深度挖掘教材例3所蕴涵的数学本质.但一旦我们将信息技术与高中数学课程相融合,将计算机为核心的信息技术作为促进学生自主学习的认知工具与情感激励工具,有助于教师寻找在课堂教学落实学生发展核心素养的策略、方法与途径.

[1]章建跃.《树立课程意识落实核心素养》[J],《数学通报》(京),2016. 5.1-4,14