数学任务认知水平的案例分析

四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 盛朝阳 邵利

数学任务认知水平的案例分析

四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 盛朝阳 邵利

1.数学任务认知水平

数学任务不仅是课本或教师授课计划中出现的问题,而且是围绕教师和学生组织和实施那些问题所进行的课堂活动.数学任务是数学任务框架的核心,在框架中,任务在三个阶段被加以检视: (1)当它出现于课程或教材或教师自己创造时;(2)教师在课堂上创建或发布任务时(即任务的组织阶段);(3)学生演算或思考时(即任务的实施阶段).其中在任务组织和实施阶段首要考虑的是学生的认知水平,所谓认知水平指学生参与任务时所投入的思维水平和种类[1],美国匹兹堡大学“QUASAR”(Quantitative Understanding: Amplifying Student Achievement and Reasoning)的研究,依据学生参与任务的认知水平将数学任务分为4个水平: A.记忆型(重现对数学知识的记忆,不需要理解);B.无联系的程序型(强调算法化的程序,不需要解释意义);C.有联系的程序型(虽有一般程序可循但须明确程序的联系与意义,加以考虑地应用); D.做数学(任务无明显的解决途径,需要非算法化的复杂思维).其中记忆型和无联系的程序型属于低认知水平的任务,有联系的程序型和做数学属于高认知水平的任务.

“QUASAR”研究认为除非学生经常地、主动地和富有成效地参与认知上具有挑战性的任务,否则学生的学习不可能深入或获得更加丰富的概念[1].也就是要使学生的思维高水平参与到任务中的一个必要条件是组织和实施高认知水平的任务,但高认知水平在任务实施阶段不容易保持,常受到课堂环境中诸多因素的影响.

因此本文通过数学任务框架这面“透镜”,去剖析一堂公开课在任务组织和实施阶段学生认知水平的变化,找到保持或降低高认知水平数学任务的原因,并作出解释.

2.案例分析

四川成都某重点中学第30届研讨会上开展了一节公开课,执教的L老师经验非富,课题内容是因式分解——分组分解法,此内容课标并不做要求,但L老师认为一方面分组分解因式是对前面所学的提公因式法和公式法的综合运用,能够发展学生综合运用知识的能力,从中渗透化归的思想;另一方面本节课采用学生自主探究的方式进行,通过探究各种分组方式,发展学生的开放性思维,所以L老师对这部分内容进行了补充.

2.1 任务在组织和实施阶段的认知水平

笔者先将这节课4个教学环节中的数学任务分别进行了梳理,并以“QUASAR”的认知水平为依据,分析出本任务在组织阶段的认知水平,如表1所示.

由表1可知旧知复习环节的两个数学任务在组织阶段均处于低认知水平,而在新知探究、例题分析、课堂小结中的三个数学任务在组织阶段均处于高认知水平,由此笔者再对这三个高认知水平的数学任务在实施阶段的认知水平进行分析,如表2所示.(由于例题分析环节中共有八道因式分解题,且在实施阶段的情况相似,所以选取了其中一题作为该环节的任务进行分析.)

表1

表2

2.2 高认知水平任务保持或降低的原因分析

通过上面两表分析可知本节课中在组织阶段处于高认知水平的任务在实施阶段能够保持的主要原因有:

(1)任务基于学生已有的认知.任务建立在学生的“最近发展区”,学生经过一定的认知努力能够解决,且在解决过程中老师通过观察和倾听来了解学生已有的思想以此给出相应帮助和反馈.

通过学生回答,老师将每一步进行了概括: ①→分组;②→组内可提公因式; ③→组间可提公因式T: 还有没有其他的做法?(老师请另外一位学生讲解他的不同分组方式,同样通过追问让学生不断做出解释以明确分组依据,并用PPT展示了过程.)在学生展示做法过程中老师通过不断追问来让学生明确分组分解的意义与目的,而不是仅仅关注答案的正确性.所以任务仍处于做数学水平(D).例题分析因式分解: a2+2a-9b2-6b老师在巡视中发现很多学生经历了分组失败的过程,于是选择了一位成功分解但却也经历了那样困境的S学生,对他的做法进行了投影,S学生第一次分组方式是: (a2+2a)-(9b2+6b)但在完成组内提公因式后就放弃了没能继续分解,于是老师将此问题提出: “为什么这样的分组方式行不通?”和学生们一起探讨.在共同解决这个困难后,老师继续投影了S学生的第二次分组方式: (a2-9b2)+(2a-6b)在这次分组中顺利完成了分解,可以看出,当学生遇到困难时,老师通过给学生思维搭脚手架来给与帮助,因此在过程中始终保持问题的复杂性.所以任务仍处于有联系的程序型水平(C).保持课堂小结讨论这节课的学习收获(分组的依据,规律,目的等)由于时间有限,已临近下课,老师直接给出了本堂课的小结且在说明时也略显仓促,致使任务处于无联系的程序型水平(B).降低

(2)教师强调学生对数学意义的解释.在学生练习时教师关注的是学生正在做什么和正在思考什么,而不仅仅只是答案的正确性,通过不断追问: “这步是在做什么?为什么这样分组?依据是什么”等来要求学生解释思维过程,从而促进学生的意义理解.

(3)学生成功的示范.在探究和练习任务中即使学生在分解中遇到困难,老师也并非直接讲解先包办学生的思维,而是给予适当充足的时间思考,坚持要学生参与到她所期望的高水平过程中,然后请完成较好的学生通过口答、上台板书、投影等展示其做法并要求对每一步进行解释.像是在解决a2+2a-9b2-6b因式分解中,老师选择投影来呈现学生错误和正确的分组方式,以此暴露出学生的思维过程,从而让学生进一步理解分组的意义.在过程中尽可能多的展示各种不同的分组方式,以启发学生的思维.例如: 因式分解am+bm+abm+m老师分别请三位同学展示了三种方法,前两种方法是先分组后提公因式,两者在分组方式上不同,而第三种方法是先提公因式后分组,由此老师提出: “到底是先分组还是先提公因式?”这个问题来引发学生思考.

由此可以看出,尽管学生的认知参与程度决定他学到了什么,但教师对学生的思维和推理的支持方式和程度是决定高水平任务最终命运的一个重要因素[1].

然而,本节课中高认知水平任务下降的主要原因是时间有限.本节课的容量比较大,整节课学生一共完成了13道因式分解题目,虽然探究的时间比较充足,但讨论时间很短,以致学生在总结分组依据及规律时没能概括的完整清楚.也由于时间原因,老师没能按计划完成拓展应用的环节而直接进入了最后的课堂小结,但在小节中也没有给学生回顾反思的时间,而是自己给出了本堂课的小结,也从侧面反映出教师没有意识到该教学环节对学生形成知识网络,提高元认知能力有很大帮助,重视程度不够,只是流于形式,致使认知水平降低.

3.总结

数学任务是个非常活跃的教学变量,一旦被释放到真正的教室环境中,其特性将会发生变化[2].如在本节课中组织阶段的处于做数学水平的任务在实施阶段下降为无联系的程序型任务,而在现代课堂中高认知水平的任务出现频率逐渐上升,如何使任务在实施阶段保持高认知水平,值得教育工作者和研究者进一步思考.

[1][美]Stein M.K.等,李忠如译.实施初中课程标准的教学案例[M].上海: 上海教育出版社,2001.

[2]姚静,宋伟倩,康剑平.他们为什么在应用题上失败了[J].课程教材教法,2003.5

[3]黄兴丰,程龙海,李士锜.从认知角度分析数学教学任务[J].上海教育科研,2005.5

[4]袁思情,基于“数学教学任务”的课堂实录研究[J].中学数学月刊, 2011.2