图2n的奇优美及其奇强协调性

林育青

(汕头职业技术学院自然科学系,广东 汕头 515041)

林育青

(汕头职业技术学院自然科学系,广东 汕头 515041)

该文定义了图并研究了该图的奇优美和奇强协调性.利用构造法分别给出了图在n=4k(k≥2)、n=4k+2时的奇优美算法,在n=4k(k≥2)时,的奇强协调算法,进而证明了图在n=2k(k≥3)时是奇优美图,在n=4k(k≥2)时是奇强协调图等结论,从而推动了对图的奇优美性和奇强协调性的研究.最后提出猜想:当n=4k+2时,图不是奇强协调图.

奇优美图;奇强协调图;图

1 引言

优美图的提出始于1963年文献[1]的一个猜想,由于它的趣味性和广泛的应用性,一直以来深受人们的重视.1982年,文献 [2]引入图的强协调标号,1994年,Gnanajoethi提出猜想:“每棵树都是奇优美的”[3]．推动了对图的奇优美性和奇强协调性的研究,目前已有很多这方面的结果[4-11],但由于缺乏一个系统和有力的工具,迄今,只能对一些特殊图类探索其奇优美性和奇强协调性.

定理 1.1当n=2k(k≥3)时,图是奇优美图.

定理 1.2当n=4k(k≥2)时,图是奇强协调图.

定义 1.1在含有n个顶点的圈 Cn中,当且仅当两顶点的距离为2时增加一条边,这样得到的图称为在含有 n个顶点的圈中,当且仅当两顶点的距离为 2时增加一条长度为 2的路,这样得到的图称为图 C2n的细分图,记为图设 U={u1,u2,…,un}是图 Cn的顶点集,V={v1,v2,…,vn}是图所增加的顶点集,其中,增加的路依次记为:u1v1u3,u2v2u4,…,unvnu2;则图的顶点集为:U∪V.

定义 1.2[12]一个简单图 G=(V,E)称为奇优美的,如果存在一个单射,f:V(G)→{0,1,2,…,2|E|−1}对所有边 uv=e∈E(G),由 f∗(uv)=|f(u)−f(v)|导出的映射,有：f∗:V(G)→{1,3,…,2|E|−1}是一个一一对应,f称为G的奇优美标号.

定义 1.3[2]一个简单图 G=(V,E)称为奇强协调的,如果存在一个单射f:V(G)→{0,1,2,…,2|E|−1},对所有边 uv=e∈E(G),由 f∗(uv)=f(u)+f(v)导出的映射,有：f∗:V(G)→{1,3,…,2|E|−1}是一个一一对应,f称为G的奇强协调标号.

为叙述方便,本文规定所讨论的图都是无向简单图,为叙述方便,v表示点 v,uv表示边,f(v)表示点v的标号,简单的记为v=f(v);同理,f(uv)表示边uv的标号,也简单的记为uv=f(uv)．

点v2p称为偶点,v2p−1称为奇点．其他未加说明的定义和符号均来自文献[13]．

(1)u2i−1=2i−2,i=1,2,…,2k;

(2)u2i=24k−2i+1,i=1,2,…,k;u2i=24k−2i−1,i=k+1,…,2k;

(3)v1=16k−1;v2i−1=8k−2i+1,i=2,…,k;

v2i−1=8k−2i−1,i=k+1,…,2k;

(4)v2i=8k+2i+2,i=1,2,…,2k.

按照标号A可得如下结果:

引理 2.1图中各顶点的标号均不相同,即图的顶点集与集合{0,1,2,…,24k−1}构成单射.

证明首先,由标号A可得,图的顶点集中各顶点的标号大于等于零,小于等于24k−1.其次,由(1)、(2)得,顶点u1,u2,…,u4k中奇点的标号均为偶数,偶点的标号均为奇数,所以U={u1,u2,…,u4k}中各顶点的标号均不相同;由(3)、(4)得,顶点v1,v2,…,v4k中奇点的标号均为奇数,偶点的标号均为偶数,所以V={v1,v2,…,v4k}中各顶点的标号均不相同.另外,对于顶点U={u1,u2,…,u4k}中的奇点与V={v1,v2,…,v4k}中的偶点,若存在i,j,使得u2i−1=v2j,即2i−2=8k+2j+2,从而有i−j=4k+2,与i,j=1,2,…,2k矛盾;对于顶点U={u1,u2,…,u4k}中的偶点与V={v1,v2,…,v4k}中的奇点,若存在i,j,使得u2i=v1或u2i=v2j−1,即有24k−2i±1=16k−1或24k−2i±1=8k−2j±1,从而有:i=4k、i=4k−1或i−j=8k±1、i−j=8k,这都与i,j相应的取值范围矛盾,由此U={u1,u2,…,u4k}中各顶点与V={v1,v2,…,v4k}中各顶点的标号均不相同.

引理 2.2图中各边的标号均不相同.即图的边集与集合{1,3,…,24k−1}构成一一对应.

证明我们把边的标号分为三大类来考虑.

(一)由标号A的(1)、(2)可知,u1u2…u4ku1中边的标号有以下几种情况：

(1)u2i−1u2i=|24k−2i+1−(2i−2)|=24k−4i+3,i=1,2,…,k;

(2)u2iu2i+1=|24k−2i+1−[2(i+1)−2]|=24k−4i+1,i=1,2,…,k;

(3)u2i−1u2i=|24k−2i−1−(2i−2)|=24k−4i+1,i=k+1,k+2,…,2k;

(4)u2iu2i+1=|24k−2i−1−[2(i+1)−2]|=24k−4i−1,i=k+1,k+2,…,2k−1;

(5)u4ku1=20k−1;

(二)由标号 A的 (1)、(3)可知边 u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k−1u1)的标号有以下几种情况：

(1)u1u1=16k−1;

(2)u2i−1v2i−1=|8k−2i+1−(2i−2)|=8k−4i+3,i=2,3,…,k;

(3)u2i−1v2i−1=|8k−2i−1−(2i−2)|=8k−4i+1,i=k+1,k+2,…,2k;

(4)v1u3=16k−3;

(5)v2i−1u2i+1=|8k−2i+1−[2(i+1)−2]|=8k−4i+1,i=2,3,…,k;

(6)v2i−1u2i+1=|8k−2i−1−[2(i+1)−2]|=8k−4i−1,i=k+1,k+2,…,2k−1;

(7)v4k−1u1=4k−1;

(三)由标号A的(2)、(4)可知边u2iv2i及v2iu2i+2(或v4ku2)的标号有以下几种情况：

(1)u2iv2i=|24k−2i+1−(8k+2i+2)|=16k−4i−1,i=1,2,…,k;

(2)u2iv2i=|24k−2i−1−(8k+2i+2)|=16k−4i−3,i=k+1,k+2,…,2k;

(3)v2iu2i+2=|24k−2(i+1)+1−(8k+2i+2)|=16k−4i−3,i=1,2,…,k−1;

(4)v2iu2i+2=|24k−2(i+1)−1−(8k+2i+2)|=16k−4i−5,i=k,k+1,…,2k−1;

(5)v4ku2=12k−3.

首先,由(一)易知,在u1u2…u4ku1中,各边的标号均为奇数,都是以4为公差的等差数列,且范围为:

(1)20k+3≤u2i−1u2i≤24k−1,i=1,2,…,k;

(2)20k+1≤u2iu2i+1≤24k−3,i=1,2,…,k;

(3)16k+1≤u2i−1u2i≤20k−3,i=k+1,k+2,…,2k;

(4)16k+3≤u2iu2i−1≤20k−5,i=k+1,k+2,…,2k−1;

(5)u4ku1=20k−1;

由边的标号范围及等差数列的性质知,在u1u2…u4ku1中各边的标号不相等.

其次,由(二)易知,在边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k−1u1)中,各边的标号也均为奇数且都是以4为公差的等差数列,且范围为:

(1)u1u1=16k−1;

(2)4k+3≤u2i−1v2i−1≤8k−5,i=2,3,…,k;

(3)1≤u2i−1v2i−1≤4k−3,i=k+1,k+2,…,2k;

(4)v1u3=16k−3;

(5)4k+1≤v2i−1u2i+1≤8k−7,i=2,3,…,k;

(6)3≤v2i−1u2i+1≤4k−5,i=k+1,k+2,…,2k−1;

(7)v4k−1u1=4k−1;

同样,由边的标号范围及等差数列的性质知,在边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k−1u1)中各边的标号不相等.

再次,由(三)易知,在边u2iv2i及 v2iu2i+2(或v4ku2)中,各边的标号也均为奇数且都是以4为公差的等差数列,且范围为:

(1)12k−1≤u2iv2i≤16k−5,i=1,2,…,k;

(2)8k−3≤u2iv2i≤12k−7,i=k+1,k+2,…,2k;

(3)12k+1≤v2iu2i+2≤16k−7,i=1,2,…,k−1;

(4)8k+3≤v2iu2i+2≤12k−5,i=k,k+1,…,2k−1;

(5)v4ku2=12k−3.

同样,由边的标号范围及等差数列的性质知,在边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4ku2)中各边的标号不相等.

由上知,三类边的标号范围互不重叠,故也互不相等.

(1)u2i−1=12k−8,i=1,2,…,k+1;u2i−1=24k−12i+24,i=k+2,k+3,…,2k+1;

(2)u2i=24k−12i+21,i=1,2,…,k;u2i=21i−1,i=k+1,k+2,…,2k+1;

(3)v2i=24k−12i+17,i=1,2,…,k;v2k+1=12k+1,v2i−1=12k−5,i=k+2,k+ 3,…,2k+1;

(4)v2i=12k+6,i=1,2,…,k;v2i=24k−12i+14,v4k+2=0,i=k+1,k+2,…,2k.

按照标号B可得如下结果：

引理 2.3图中各顶点的标号均不相同,即图的顶点集与集合{0,1,2,…,24k+11}构成单射.

证明首先,由标号B可得,图的顶点集中各顶点的标号大于等于零,小于等于24k+11.其次,由(1)(2)得,顶点u1,u2,…,u4k+2中奇点的标号均为偶数,偶点的标号均为奇数,所以U={u1,u2,…,u4k+2}中各顶点的标号均不相同;由(3)(4)得,顶点v1,v2,…,v4k+2中奇点的标号均为奇数,偶点的标号均为偶数,所以V={v1,v2,…,v4k+2}中各顶点的标号均不相同.另外,对于顶点U={u1,u2,…,u4k+2}中的奇点与V={v1,v2,…,v4k+2}中的偶点,若存在i,j,使得u2i−1=v2i或u2i−1=v4k+2,即

或12i−8=0或24k−12i+24=12j+6或24k−12i+24=24k−12j+14或24k−12i+24=0,从而有

或3i=2或2i+2j=4k+3或6i−6j=5或i=2k+2,这都与奇偶性质或i的取值范围矛盾;对于顶点U={u1,u2,…,u4k}中的偶点与V={v1,v2,…,v4k}中的奇点,若存在i,j,u2i=v2j−1或u2i=v2k+1,即有

或

或

从而有

或

或

这都与i,j相应的取值范围或奇偶性质矛盾,由此U={u1,u2,…,u4k+2}中各顶点与V= {v1,v2,…,v4k+2}中各顶点的标号均不相同.综上所述,图中各顶点的标号均不相同,即图的顶点集与集合{0,1,2,…,24k+11}构成单射.

引理2.4图中各边的标号均不相同.即图的边集与集合{1,3,…,24k+ 11}构成一一对应.

证明我们把边的标号分为三大类来考虑.

(一)由标号B的(1)(2)可知u1u2…u4k+2u1中边的标号有以下几种情况:

(1)u2i−1u2i=|24k−12i+21−(12i−8)|=24k−24i+29,i=1,2,…,k;

(2)u2iu2i+1=|24k−12i+21−[12(i+1)−8]|=24k−24i+17,i=1,2,…,k;

(3)u2k+1u2k+2=|12(k+1)−8−[12(k+1)−1]|=7;

(4)u2i−1u2i=|24k−12i+24−(12i−1)|=24i−24k−25,i=k+2,k+3,…,2k+1;

(5)u2iu2i+1=|24k−12(i+1)+24−(12i−1)|=24i−24k−13,i=k+1,k+2,…,2k;

(6)u4k+2u1=|12(2k+1)−1−4|=24k+7;

(二)由标号B的(1)(3)可知边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k+1u1)的标号有以下几种情况:

(1)u2i−1v2i−1=|24k−12i+17−(12i−8)|=24k−24i+25,i=1,2,…,k;

(2)u2k+1v2k+1=|12(k+1)−8−12(k+1)|=3;

(3)u2i−1v2i−1=|24k−12i+24−(12i−5)|=24i−24k−29,i=k+2,k+3,…,2k+1;

(4)v2i−1u2i+1=|24k−12i+17−[12(i+1)−8]|=24i−24k+13,i=1,2,…,k;

(5)v2k+1u2k+1=|24k−12(k+2)+24−(12k+1)|=1;

(6)v2i−1u2i+1=|24k−12(i+1)+24−(12i−5)|=24i−24k−17,i=k+2,k+3,…,2k;

(7)v4k+1u1=|12(2k+1)−5−4|=24k+3;

(三)由标号B的(2)(4)可知边u2iv2i及v2iu2i+2(或v4k+2u2)的标号有以下几种情况:

(1)u2iv2i=|24k−12i+2−(12i+6)|=24k−24i+15,i=1,2,…,k;

(2)u2iv2i=|24k−12i+14−(12i−1)|=24i−24k−15,i=k+1,k+2,…,2k;

(3)u4k+2v4k+2=|12(2k+1)−1−0|=24k+11;

(4)v2iu2i+2=|24k−12(i+1)+21−(12i+6)]|=24i−24k+3,i=1,2,…,k−1;

(5)v2ku2k+1=|12(k+1)−1−(12k+6)|=5;

(6)v2iu2i+2=|24k−12i+14−[12(i+1)−1]|=24i−24k−3,i=k+1,k+2,…,2k;

(7)v4k+2u2=|12k−12+21−0|=24k+9;

首先,由(一)易知,在u1u2…u4k+2u1中,各边的标号均为奇数,都是以24(或-24)为公差的等差数列,且范围为:

(1)29≤u2i−1u2i≤24k+5,i=1,2,…,k;

(2)17≤u2iu2i+1≤24k−7,i=1,2,…,k;

(3)u2k+1u2k+2=7;

(4)23≤u2i−1u2i≤24k−1,i=k+2,k+3,…,2k+1;

(5)11≤u2iu2i+1≤24k−13,i=k+1,k+2,…,2k;

(6)u4k+2u1=24k+7;

由于首项(或末项)各不相等而公差均为24(或-24),则依等差数列的性质知,在u1u2…u4k+2u1中各边的标号不相等.

其次,由(二)易知,在边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k+1u1)中,各边的标号也均为奇数且都是以24(或-24)为公差的等差数列,且范围为:

(1)25≤u2i−1v2i−1≤24k+1,i=1,2,…,k;

(2)u2k+1v2k+1=3;

(3)19≤u2i−1u2i−1≤24k−5,i=k+2,k+3,…,2k+1;

(4)13≤v2i−1u2i+1≤24k−11,i=1,2,…,k;

(5)v2k+1u2k+3=1;

(6)31≤v2i−1u2i+1≤24k−17,i=k+2,k+3,…,2k;

(7)v4k+1u1=24k+3;

同样,由于首项 (或末项)各不相等而公差均为 24(或 -24),则依等差数列的性质知,在边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k+1u1)中各边的标号不相等.

再次,由(三)易知,在边u2iv2i及v2iu2i+2(或v4k+2u2)中,各边的标号也均为奇数且都是以24(或-24)为公差的等差数列,且范围为:

(1)15≤u2iv2i≤24k−9,i=1,2,…,k;

(2)9≤u2iv2i≤24k−15,i=k+1,k+2,…,2k;

(3)u4k+2u4k+2=24k+11;

(4)27≤v2iu2i+2≤24k−21,i=1,2,…,k−1;

(5)v2ku2k+2=5;

(6)21≤v2iu2i+2≤24k−3,i=k+1,k+2,…,2k;

(7)v4k+2u2=24k+9;

同样,由于首项 (或末项)各不相等而公差均为 24(或 -24),则依等差数列的性质知,在边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k+2u2)中各边的标号不相等.

最后,(一)、(二)和(三)中首项(或末项)也各不相等而公差均为24(或-24),则依等差数列的性质知,三类边的标号范围互不相等.

定理 2.1图是奇优美图.

证明由引理 1、引理 2,可得,当 n=4k(k≥2)时,图存在奇优美标号A,所以图是奇优美图.由引理3、引理4,可得,当n=4k+2时,图存在奇优美标号B,所以图是奇优美图.故图是奇优美图.

(1)u2i−1=2i−2,i=1,2,…,2k;

(2)u2i=2i−1,i=1,2,…,k；u2i=2i+1,i=k+1,…,2k;

(3)v1=8k+1;v2i−1=16k+2i−1,i=2,…,k;v2i−1=16k+2i+1,i=k+1,…,2k;

(4)v2i=8k+2i+2,i=1,2,…,2k.

按照标号C可得如下结果:

引理3.1图中各顶点的标号均不相同,即图中的顶点集与集合{0,1,2,…,24k−1}构成单射.

证明首先,由标号 C可得,图各顶点的标号大于等于零且小于等于 20k+1.其次,由 (1)、(2)得,顶点 u1,u2,…,u4k中奇点的标号均为偶数,偶点的标号均为奇数,所以U={u1,u2,…,u4k}中各顶点的标号均不相同；同样,由(3)、(4)得,顶点v1,v2,…,v4k中奇点的标号均为奇数,偶点的标号均为偶数,所以V={v1,v2,…,v4k}中各顶点的标号均不相同.另外,对于顶点u1,u2,…,u4k中的奇点与v1,v2,…,v4k中的偶点,若存在i,j,使得u2i−1=v2j,即有

从而有

这与i,j=1,2,…,2k矛盾;而对于顶点u1,u2,…,u4k中的偶点与v1,v2,…,v4k中的奇点,若存在i,j,使得u2i=v1或u2i=v2j−1,即有

从而有

这都与i,j相应的取值范围矛盾,由此U={u1,u2,…,u4k}中各顶点与V={v1,v2,…,v4k}中各顶点的标号均不相同.

引理 3.2图中各边的标号均不相同,即图的边集与集合{1,3,…,24k−1}构成一一对应.

证明仿引理2.2,我们把边的标号分为三大类来考虑.

(一)由标号的(1)、(2)可知u1u2…u4ku1中边的标号有以下几种情况:

(1)u2i−1u2i=2i−2+(2i−1)=4i−3,i=1,2,…,k;

(2)u2iu2i+1=2(i+1)−2+(2i−1)=4i−1,i=1,2,…,k;

(3)u2i−1u2i=2i−2+(2i+1)=4i−1,i=k+1,k+2,…,2k;

(4)u2iu2i+1=2(i+1)−2+(2i+1)=4i+1,i=k+1,k+2,…,2k−1;

(5)u4ku1=4k+1;

(二)由标号C的(1)、(3)可知边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k−1u1)的标号有以下几种情况:

(1)u1u1=8k+1;

(2)u2i−1v2i−1=2i−2+(16k+2i−1)=16k+4i−3,i=2,3,…,k;

(3)u2i−1v2i−1=2i−2+(16k+2i+1)=16k+4i−1,i=k+1,k+2,…,2k;

(4)v1u3=8k+3;

(5)v2i−1u2i+1=2(i+1)−2+(16k+2i−1)=16k+4i−1,i=2,3,…,k;

(6)v2i−1u2i+1=2(i+1)−2+(16k+2i+1)=16k+4i+1,i=k+1,k+2,…,2k−1;

(7)v4k−1u1=20k+1;

(三)由标号C的(2)、(4)可知边u2iv2i及v2iu2i+2(或v4ku2)的标号有以下几种情况:

(1)u2iv2i=2i−1+(8k+2i+2)=8k+4i+1,i=1,2,…,k;

(2)u2iv2i=2i+1+(8k+2i+2)=8k+4i+3,·i=k+1,k+2,…,2k;

(3)v2iu2i+2=2(i+1)−1+(8k+2i+2)=8k+4i+3,i=1,2,…,k−1;

(4)v2iu2i+2=2(i+1)+1+(8k+2i+2)=8k+4i+5,i=k,k+1,…,2k−1;

(5)v4ku2=12k+3.

首先,由(一)易知,在u1u2…u4ku1中,各边的标号均为奇数,都是以4为公差的等差数列,且范围为:

(1)1≤u2i−1u2i≤4k−3,i=1,2,…,k;

(2)3≤u2iu2i+1≤4k−1,i=1,2,…,k;

(3)4k+3≤u2i−1u2i≤8k−1,i=k+1,k+2,…,2k;

(4)4k+5≤u2iu2i+1≤8k−3,i=k+1,…,2k−1;

(5)u4ku1=4k+1;

由边的标号范围及等差数列的性质知,在u1u2…u4ku1中各边的标号不相等.

其次,由(二)易知,在边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k−1u1)中,各边的标号也均为奇数且都是以4为公差的等差数列,且范围为:

(1)u1v1=8k+1;

(2)16k+5≤u2i−1v2i−1≤20k−3,i=2,3,…,k;

(3)20k+3≤u2i−1v2i−1≤24k−1,i=k+1,k+2,…,2k;

(4)v1u3=8k+3;

(5)16k+7≤v2i−1u2i+1≤20k−1,i=2,3,…,k;

(6)20k+5≤v2i−1u2i+1≤24k−3,i=k+1,k+2,…,2k−1;

(7)v4k−1u1=20k+1;

同样,由边的标号范围及等差数列的性质知,在边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4k−1u1)中各边的标号不相等.

再次,由(三)易知,在边u2iv2i及 v2iu2i+2(或v4ku1)中,各边的标号也均为奇数且都是以4为公差的等差数列,且范围为:

(1)8k+5≤u2iv2i≤12k+1,i=1,2,…,k;

(2)12k+7≤u2iu2i≤16k+3,i=k+1,k+2,…,2k;

(3)8k+7≤v2iu2i+2≤12k−1,i=1,2,…,k−1;

(4)12k+5≤v2iu2i+2≤16k+1,i=k,k+1,…,2k−1;

(5)v4ku2=12k+3.

同样,由边的标号范围及等差数列的性质知,在边u2i−1v2i−1及v2i−1u2i+1(或v4ku2)中各边的标号不相等.由上可得,三类边的标号范围互不重叠,故也互不相等.综上所述,图中各边的标号均不相同,即图的边集与集合{1,3,5,…,24k−1}构成一一对应.

定理 3.2当n=4k(k≥2)时,图是奇强协调图.

证明由引理3.1、引理3.2可得当n=4k(k≥2)时,图存在奇强协调标号C,所以图是奇强协调图.

4 注记

图1 图28的奇优美标号

图2 图210的奇优美标号

图3 图28的奇强协调标号

图4 图216的奇强协调标号

同时我们提出如下猜想:

[1]Ringel G.Problem 25 in theory of graph s and its application[J].Proc.Symposium Smolenice,1963(3):162-167.

[2]Frank Hsu D.Harmonious labelings of windmill graphs and related graphs[J].Journal of Graph Theory, 1982,6(1):85-87.

[3]Gallian A.A dynamic survey of graph labeling[J].The Electronic Journal of Combinatorics,2000,12:1-95.

[4]冉红,李武装.直径为4的树的奇强协调性[J].数学的实践与认识,2007,37(12):133-136.

[5]李武装,苗宗文,严谦泰.几类有趣图的奇优美性和奇强协调性[J].数学的实践与认识,2011,41(4):234-240.

[6]刘广军,关于奇强协调图的一些结果[J].数学的实践与认识,2013,43(11):271-275.

[7]林育青,钟发胜,童细心,等.图P3n的奇优美标号算法[J].数学理论与应用,2013,33(4):29-34.

[8]林育青,张玲瑛,钟发胜等.关于奇优美图及奇强协调图的一点注记[J].贵州师范大学学报,2014,32(2):43-46.

[9]张玲瑛,林育青,钟发胜,等.关于图2×Cn的标号[J].北华大学学报,2014,15(2):174-178.

[10]童细心,林育青,钟发胜.圈Cn的奇优美性和奇强协调性[J].南师范大学学报,2014,39(8):10-13.

[11]林育青,童细心,张玲瑛.太阳图的奇优美性和奇强协调性[J].数学的实践与认识,2015,45(18):271-280.

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[13]Bandy J,Murty U S R.Graph Theory with Application[M].New York:The MaCmillan Press Ltd,1976.

Odd gracefulness and odd strongly harmoniousness of the graphs

Lin Yuqing
(Department of Nature,Shantou Polytechnic,Shantou 515041,China)

The paper de fi nesand analyzes odd-graceful and odd-strongly harmonious graphs.With the help of construction method,the graphsare respectively given when n=4k(k≥2)、n=4k+2 using Oddgraceful Algorithm and when n=4k(k≥2)using Odd-strongly harmonious Algorithm,and fi nally it concludes that graphis Odd-graceful graph when n=2k(k≥3)and are graphis Odd-strongly harmonious graph when n=4k(k≥2),which promotes the study of odd-graceful and odd-strongly harmonious attributes of the graph.The paper also proposes a conjecture thatis not a Odd-strongly harmonious graph when n=4k+2.

odd graceful graph,odd strongly harmonious graph,graphs

O157.5

A

1008-5513(2017)01-0001-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.001

2016-12-22.

汕头职业技术学院重点资助课题(SZK2013Z1).

林育青(1966-),副教授,研究方向:图论.

2010 MSC:O5C17