(2+1)维耗散长波方程的新精确解及其局域激发

刘威,套格图桑

(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022)

(2+1)维耗散长波方程的新精确解及其局域激发

刘威,套格图桑

(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022)

用改进的双曲正切函数展开法,获得了(2+1)维耗散长波方程的由指数函数分别与三角函数和双曲函数组合的复合型新解.复合型新解中含有关于变量的任意函数.根据函数的任意性,借助符号计算系统Mathematica对解进行数值模拟,可以得到丰富的局域激发和分形结构.

改进的双曲正切函数展开法;(2+1)维耗散长波方程;局域激发;复合型解

1 引言

寻找非线性偏微分方程的求解方法与解释解的性质是孤立子与可积系统理论的重要研究内容之一.随着计算机技术的发展,提出了求解非线性发展方程的辅助方程法,如齐次平衡法和tanh函数展开法等.1997年,李提出了tanh函数展开法[1],该方法可以有效地求出一些方程的解[2-5].本文改进了双曲正切函数展开法[6],得到了(2+1)维耗散长波方程的含有y为变量的任意函数的复合型新解.文献[6]得到的解是本文给出的复合型解的特殊情况.根据函数的任意性,选取适当的函数,可以得到(2+1)维耗散长波方程的局域激发和分形结构.

2 (2+1)维耗散长波方程的简化

文献[6]中依齐次平衡法的基本思想,设(2+1)维耗散长波方程

的解为

其中

为待定函数,λ为待定常数.

利用函数u(x,y,t)和η(x,y,t)间的变换关系η=λuy+b−λay,可将方程(1),(2)的求解问题转化为Burgers方程

的求解问题.将(3)式代入(5)式进一步整理后令的f′,f′,f0系数为零,可得如下约束条件

若选取a(x,y,t)=c(y),则(6)-(8)式化为如下约束条件

3 (2+1)维耗散长波方程的新解

文献[6]中假设(9)式,(10)式的解为:

4 (2+1)维耗散长波方程新解的局域激发与分形结构

本文中(2+1)维耗散长波方程(1)(2)的解u(x,y,t)和η(x,y,t)之间存在变换

所以只讨论解u(x,y,t)的情况.限于篇幅,讨论了当n=1时,u(x,y,t)的局域激发与分形结构.

当n=1时,解u(x,y,t)简化为如下形式:

其中

4.1 局域激发

图1 扭结解

图2 函数选取情况为4.1.2

图3 方形孤波角

图4 函数选取情况为4.1.4

图5 函数选取情况为4.1.5

图6 函数选取情况为4.1.6

4.2 分形结构

图8的每个坐标范围是图7的相应坐标范围的百分之一.但是,图7和图8的形状具有相似性,并且当坐标范围一直向下取时得到的图形也具有完全类似的结构.

图7 x∈[−0.002,0.002],y∈[−0.002,0.002]时,解(16)的图形

图8 x∈[−0.00002,0.00002],y∈[−0.00002,0.00002]时,解(16)的图形

图9 图7的等值线图

图10 图8的等值线图

图9和图10分别是图7和图8的等值线图.

5 结论

本文改进了双曲正切函数展开法,获得了(2+1)维耗散长波方程的复合型新解.复合型新解中含有关于变量的任意函数,对新解中含有变量的任意函数进行适当选应用此方法也可以获得(2+1)维Broer-kaup方程的复合型新解,复合型新解中同样含有关于变量的任意函数.

[1]李志斌,张善卿.非线性波方程准确孤立波解的符号计算[J].数学物理学报,1997,17(1):81-89.

[2]套格图桑,斯仁道尔吉.双曲函数型辅助方程构造具 5次强非线性的波动方程的新精确孤波解 [J].物理学报,2006,55(1):13-18.

[3]王三五,于鹏.扩展的Tanh函数展开法与广义KdV方程的精确解[J].科学技术与工程,2009,9(11):3019-3020.

[4]刘德刚.求解Burgers方程行波解的双曲函数展开法[J].黑龙江工程学院学报:自然科学版,2009,23(4):77-78.

[5]张睿,张玉春,王彬弟.应用拓展双曲函数方法求KP方程的新精确解[J].纯粹数学与应用数学,2010,26(4):651-655.

[6]那仁满都拉,王克协.(2+1)维耗散长波方程与 (2+1)维 Broer-Kaup方程新的类多孤子解 [J].物理学报,2003,52(7):1565-1568.

[7]张解放.(2+1)维耗散长波方程的类多孤波解[J].浙江工业大学学报,1999,27(1):77-81.

[8]包霞,斯仁道尔吉.(2+1)维耗散长波方程与(2+1)维Broer-Kaup方程新的类孤子解[J].西北民族大学学报:自然科学版,2006,27(57):18-22.

[9]陈丽莹.(2+1)维耗散长波方程的行波解[J].内蒙古民族大学学报,2012,18(5):3-4.

New exact solutions of the(2+1)-dimensional dispersive long wave equations and their local excitation

Liu Wei,Taogetusang
(The College of Mathematical Science,Inner Mongolia Normal University,Hohhot 010022,China)

Based on the improved expansion method with hyperbolic tangent function,the new type compound solutions of the(2+1)dimensional dispersive long wave equation,by combination of exponential function and trigonometric function and hyperbolic function,were obtained.There is an arbitrary function about the variable y in it.According to the arbitrariness of the functions and the numerical simulation of the solutions through the symbolic computation system Mathematica,the rich local excitation and fractal structure have been got.

modi fi ed hyperbolic function expansion method, (2+1)-dimensional dispersive long wave equations,local excitation,fractal structures

O175.29

A

1008-5513(2017)01-0102-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.0011

2016-09-28.

国家自然科学基金(11361040);内蒙古自治区自然科学基金(2015MS0128);内蒙古自治区高等学校科学研究基金(NJZY16180);内蒙古师范大学硕士研究生科研创新基金(CXJJS16081).

刘威(1991-),内蒙古,硕士生.研究方向：孤立子与可积系统理论及应用.

套格图桑(1964-),教授,博士,从事孤立子与可积系统理论及应用.

2010 MSC:35C08