Devaney定义下变换的拓扑和随机性质的关系

贾诺,王涛

(哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江 哈尔滨 150025)

Devaney定义下变换的拓扑和随机性质的关系

贾诺,王涛

(哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江 哈尔滨 150025)

利用拓扑和遍历理论对Devaney混沌意义下变换的弱混合与拓扑混合、拓扑传递及初值敏感的关系进行了研究,改进了已有文献的结论,证明了弱混合则初值敏感.

保测变换;弱混合;拓扑传递;初值敏感

1 引言

Devaney混沌定义是目前普遍流行的几个混沌定义之一[1],它从拓扑的角度刻划了混沌,给出了一维、高维甚至是Banach空间上的非线性迭代系统的精确的数学描述,并逐步用于对混沌动力系统的研究,如医学、经济学、通信、工程、信息处理和概率理论等等[26].

在研究混沌的三种常用方法中,基于Devaney混沌定义的微观拓扑方法和基于遍历理论的随机方法受到了广泛关注[7].许多学者利用拓扑方法揭示了混沌定义中变换满足的三个条件之间的关系[810],与此同时,由于系统轨道行为具有混合、弱混合和传递等特征,以泛函分析和谱理论为工具研究变换的混合性质的随机方法也引起了研究者的浓厚兴趣[1114].近年来,为了建立拓扑和随机方法间的联系,不断有学者致力于动力系统的拓扑和随机性质间关系的研究.徐正杰等[15]研究了连通、紧致、光滑的黎曼流形上的光滑迭代映射的混合与初值敏感的关系,研究结果表明混合是拓扑传递和初值敏感的充分条件.Salim[16]证明了对定义了Borel概率测度的非平凡紧致度量空间上的连续动力系统,若映射拓扑混合则初值敏感,且验证了拓扑混合弱于混合.在文献[17]中,我们证明了若连续变换f弱混合且周期点稠密,则f初值敏感.

为了进一步展示动力系统的拓扑和随机性质,本文从一个新的角度分别验证了弱混合与拓扑混合、拓扑传递及初值敏感之间的关系.研究表明弱混合则意味着拓扑传递和初值敏感,减弱了文献[15-16]中的定理条件,改进了相关结果.

2 预备知识

设M 为度量空间,d为定义在M上的距离,f:M→M为M到自身的连续映射,则拓扑动力系统可以描述为(M,f),其中M 代表系统的状态集合,f用于刻划系统的状态演化.

定义 2.1[1]度量空间(M,d)上M 到自身的连续映射f在Devaney意义下是混沌的,当且仅当下面条件成立：

(i)f是拓扑传递的,即对于 M 中的每一对非空集合 U和 V,存在一个正整数 n,使得

(ii)f的周期点集在M 中稠密;

(iii)f初值敏感,即存在敏感正常数σ＞0,对每一x∈M 和它的开邻域Nx,存在一个非负整数n,使得

关于变换f:M→M 的其他相关定义如下：

(a)若对任意非空开集U,V⊂M,存在整数n≥0,使得对每个k≥n,都有

则f是拓扑混合的;

(b)若对任意可测集A∈σ(M)都有

则称f保持测度µ或测度µ是f不变的;

(c)若对任意A,B∈σ(M)有

则保测变换f:M→M 是弱混合的.

定义 2.2[11]设集合A⊂ℕ且n∈ℕ.定义

其中

表示大于1小于n的自然数集合,则ν∗(A),ν∗(A)分别称为集合A的上密度和下密度.如果进一步有

则称ν(A)为集合A的密度.

3 主要结果

首先给出以下引理和定理的前提假设.设 (M,σ(M),d)是一个非退化的紧致度量空间, σ(M)表示(M,d)上的Borelσ-代数,µ为(M,σ(M))上的概率测度且其支撑集supp(µ)=M,即

其中

f:M→M是M到自身的连续可逆保测变换.

引理3.1f:M→M 是弱混合的当且仅当对任意非空开集U,V⊂M,存在一个密度为1的正整数集K,使得对每一个k∈K,都有

证明由文献[18]中W 的性质可以直接得到结论.

命题 3.1若f拓扑混合则弱混合.

证明由f拓扑混合知,对任意非空开集U,V⊂M,存在非负整数N≥0,使得对每一个k≥N,有

成立.于是,

且

由引理3.1得f是弱混合的.

注 3.1在某些特定情形下,弱混合与拓扑混合是等价的,例如,f=a·A是紧致度量的Abelian群G上的仿射变换,其中a∈G,A:G→G是G上的满同态.但通常由f弱混合无法得到拓扑混合,即命题3.1的逆命题未必成立.例如,在文献[12]中,令τ(M)代表M 上所有保测变换全体构成的集合,若采用文献[19]中的弱拓扑将τ(M)拓扑化,则在此拓扑下存在弱混合但非拓扑混合的变换.

命题3.2若f:M→M 弱混合则拓扑传递.

证明用反证法.假设变换f不是拓扑传递的,则存在M 中的非空开集U和V,使得对所有n∈ℕ都有

于是

与引理3.1矛盾.因此f是拓扑传递的.

注 3.2这里我们基于引理3.1给出了命题3.2的证明,与文献[17]中采用的遍历定理方法不同,也更简洁.

引理3.2若f:M→M 拓扑传递且支撑集supp(µ)=M,则对任意非空开集U⊂M,存在带有正密度的非负整数递增序列{nk}k≥1,使得

证明对任意M 中的非空开集U,由sup p(µ)=M 知µ(U)＞0.由于f保持测度µ,由不变测度的遍历分解定理知存在遍历测度ν,使得ν(U)＞0.根据Birkho ff遍历定理,令

则ν(Gν)=1,因此且对任意x∈Gν∩U和g,有

令

则

即

是带有正密度的集合.

引理3.3设supp(µ)=M,f:M→M 是拓扑传递但非初值敏感的,则存在M 中的非空开集U,V和带有正密度的非负整数递增序列{nk}k≥1,使得

证明由M 是非退化的知,存在δ＞0,使得对任意y∈M 都有

又由f不是初值敏感的可得,存在x∈M及其邻域Nx,使得对任意自然数n≥0和y∈Nx有

于是有

再由已知supp(µ)=M 得µ(Nx)＞0,根据引理3.2,存在带有正密度的非负递增整数整数序列,使得

进一步,令

则存在ε＞0,使得B(z,ε)⊂Nx.于是对任意u∈B(z,ε)和所有k≥1,由不等式(6)得

因此

令

则V非空,且

定理3.1若f:M→M 弱混合,supp(µ)=M,则f初值敏感.

证明由f弱混合及命题3.2知,f拓扑传递.若f不是初值敏感的,由引理3.3知,存在非空开集U,V⊂M 和带正密度的非负整数递增序列{nk}k≥1,使得

这与引理3.1矛盾.

4 结论

本文对Devaney混沌意义下变换f的拓扑和随机性质的关系进行了探讨,证明了若f是连续可逆保测变换,则f弱混合意味着拓扑传递和初值敏感.所得结论将文献[15-16]的验证条件减弱为弱混合,改进了其结论.在此基础上仍有以下问题值得进一步研究：

(1)在一般流形上f拓扑传递并不能保证Devaney混沌定义中的其他两条性质,是否一般流形下变换f的混合性质能保证其定义域内周期点的稠密性有待于进一步探讨;

(2)本文中f的拓扑性质成立的充要条件;

(3)文献[20-23]将f的随机性质推广到f的Zadeh延展型上.尽管已有一些文献讨论了的拓扑和随机性质及与f的关系,但的拓扑和随机性质的关系仍不清楚,需要进一步探讨.

参考文献

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[23]Lan Y,Li Q,Mu C,et al.Some chaotic properties of discrete fuzzy dynamical systems[J].Abstr.Appl.Anal.,2012,Article ID 875381,9 pages.

Links between topological and stochastic properties of transformation in definition of Devaney′s chaos

Jia Nuo,Wang Tao
(School of Mathematical Sciences,Harbin Normal University,Harbin 150025,China)

We explored the relationships between topological mixing and weak mixing,weak mixing and topological transitivity,weak mixing and sensitive dependence on initial conditions in the sense of Devaney’s chaos by using topology and ergodic theory.The main result that weak mixing can be seen as a new sufficient condition to sensitive dependence on initial conditions is obtained,which improves the results in existing literature.

measure-preserving transformation,weak mixing,topological transitivity, sensitive dependence on initial conditions

O193

A

1008-5513(2017)01-0012-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.002

2016-11-23.

黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12541243);哈尔滨师范大学青年学术骨干资助计划研究项目(KGB201222).

贾诺(1978-),博士,副教授,研究方向：微分方程与控制论.

王涛(1977-),博士,副教授,研究方向:概率统计.

2010 MSC:37A25,54H20