有限域上多项式的指数和及其L-函数

韩山猛,祝美玲,曹炜

(宁波大学数学系,浙江 宁波 315211)

有限域上多项式的指数和及其L-函数

韩山猛,祝美玲,曹炜

(宁波大学数学系,浙江 宁波 315211)

L-函数蕴藏着深刻的算术信息,是数论中重要的研究对象.有限域上多项式的指数和及其L-函数在一般情形下难以计算.通过利用高斯和及多项式的次数矩阵的Smith标准形,得到了在特定情形下有限域上一类多项式的指数和及其L-函数的具体公式.

有限域;Smith标准形;指数和;L-函数

1 引言

用 Fq表示特征为p的q元有限域,F∗q为其乘法群.对给定的正整数 r,用表示Fq的 r次扩域.设 f是 Fq上的 n元 d次多项式,用 Nq(f)和 Nq∗(f)分别表示方程 f=0在Fq和F∗q中的解的个数.由于在一般情形下要给出Nq(f)和Nq∗(f)的具体表达式是困难的,研究者们努力寻找它们在特定情形下的表达式或某种形式的估计;参见文献 [1-3].著名的Chevalley-Warning定理给出了Nq(f)的p-adic估计:若n＞d,则p|Nq(f).Ax[4]改进了该定理,他证明了,其中为不小于x的最小整数,ordq是q进制加法赋值,且满足ordqq=1.2005年,王文松和孙琦[5]得到了一类三角方程

在gcd(d11d22…dnn,q−1)=1条件下的解数公式.2007年,曹炜和孙琦[6]发现如果多项式f的次数矩阵非奇异,则可给出Nq(f)的具体表达式.2009年,曹炜[7]通过Smith标准形将文献[6]中的结果推广到了增广次数矩阵上.2013年,陈建明和曹炜[8]利用Smith标准形给出了Nq∗(f)的一个估计.

2 预备知识

定义 1.1设

是一个洛朗多项式,定义指数和:

其对应的L-函数定义如下:

从定义1.1中可以看到,S∗r(f)和L∗(f,t)中的f可以是洛朗多项式,即其变量的次数可以为负整数.但为了叙述的统一,下文中均讨论f为多项式的情形;须注意的是,关于S∗r(f)和L∗(f,t)的结果均可推广到洛朗多项式上.

定义 1.2设

是一个多项式,定义指数和:

其对应的L-函数定义如下:

由Dwork-Bombieri-Grothendieck定理知,L∗(f,t)是有理函数,即

其中有限多个零点αi(1≤i≤d1)和极点βj(1≤j≤d2)是非零的代数整数.等价地,对每个正整数r,均有以下公式:

对于指数和Sr(f)及其相应的L-函数L(f,t),亦有类似的结论,不再赘述.下面将会发现,相对而言计算S∗r(f)和L∗(f,t)比计算Sr(f)和L(f,t)更容易些.

下面介绍多项式的次数矩阵及Smith标准形的相关概念,它是本文研究指数和及其L-函数的重要工具.

定义 1.3假设f(x1,…,xn)∈Fq[x1,…,xn]有如下稀疏表达式:

对于任意的环R,用GLn(R)表示R上阶为n的一般线性群,即R上所有n×n阶可逆方阵关于矩阵乘法构成的群.特别地,当R=ℤ时,GLn(ℤ)里的元称为幺模矩阵.当我们考虑f∈Fq[x1,...,xn]的次数矩阵D时,由于对任意的α∈Fq,有αq=α,因此不妨将其看成是剩余类环 ℤq−1上的一个矩阵.若D在ℤq−1上可逆,则记为D∈GLn(ℤq−1).如无特别提示,下文中出现的f和D均指定义1.3中的f和D.

引理1.1[10]设A∈ℤn×m的秩为k,则存在两个幺模矩阵H∈GLn(ℤ)和K∈GLm(ℤ),使得A等价于HAK=(λij),其中λij=0若i≠j,对角元λi:=λii满足:λi|λi+1,λi＞0,这里1≤i≤k−1,且λk＞0.

上面引理1.1中的λi(1≤i≤k)由A唯一确定,称为A的第i个不变因子,HAK 称为A的Smith标准形,记作SNF(A).

引理1.2[7]设A为整数矩阵.则同余式方程组AX=0的整数解和SNF(A)Y=0的整数解之间存在一一对应的关系.特别地,AX=0只有零解当且仅当SNF(A)Y=0只有零解.

引理 1.3[7]DX≡0(mod qr−1)只有零解当且仅当

只有零解.

3 S∗r(f)和 L∗(f,t)的计算

本节将要用到Teichm¨uller特征与高斯和,详细介绍参见文献[9-12].回忆上一节中固定ζp为一个复本原单位根,Trr表示从Fqr到素域Fp的绝对迹映射.设ω是的Teichm¨uller特征,对于是(qr−1)次复单位根.因ω的阶为(qr−1),故的所有乘法特征可由ω生成.定义上的(qr−1)个高斯和

定理 2.1假设 D ∈ℤn×m(m≤n),r为给定的正整数.若 SNF(D)的不变因子为λ1≤…≤λm且满足gcd(λm,qr−1)=1,则有

推论 2.1 假设 D ∈ℤn×m(m≤n),r为给定的正整数.若 D 有一个 m 阶子方阵M∈GLm(ℤqr−1),则有

证明由题设,此时D的最大不变因子为第m个且它与qr−1互素.应用定理2.1即得.

定理 2.2假设D∈ℤn×m(m≤n).若SNF(D)的不变因子为λ1≤…≤λm,且对所有的正整数r,均有

则有

下面我们给出定理2.2中L∗(f,t)另一种更为紧凑的表达式.它需要用到下面这个引理.

引理 2.1若

对所有的正整数r都成立,其中π(i)和τ(i)是取值于非负整数的数论函数,则有

证明由(1)和(2)即可证得.

定理 2.3假设D∈ℤn×m(m≤n).若SNF(D)的不变因子为λ1≤…≤λm,且对所有的正整数r,均有gcd(λm,qr−1)=1.则有

证明注意此时有

应用引理2.1即可得.

注 2.1定理 2.2中 L∗(f,t)(−1)n−1的表达式并非没有意义.事实上,在一些特殊情形下, L∗(f,t)(−1)n−1比L∗(f,t)具有更好的性质,因而有不少研究前者的文献（如[10,13-14]等）.

推论2.2假设D∈ℤn×m(m≤n).若SNF(D)的不变因子为λ1=…=λm=1,则有

4 Sr(f)和 L(f,t)的计算

本节讨论Sr(f)和L(f,t)的计算.类似于前一节的讨论,定义Fqr上的(qr−2)个高斯和

令

由特征的正交性质(5),有

令

及

对于给定的一个向量l=(l1,…,lm)∈Ωm,令

并用σ(l)和s(l)分别表示向量(l1,…,lm)和(v1,…,vn)中非零元的个数.由(7)和(8),我们计算得

其中和号遍历所有的向量l=(l1,…,lm)∈Ωm,且满足

注意到gr(0)=qr−1,gr(qr−1)=−qr及对任意的aj∈F∗q,有ω(aj)0=1,类似于上一节定理2.1和定理2.3的证明,可得以下结论:

定理 3.1假设D∈ℤn×m(m≤n),且SNF(D)的不变因子为λ1≤…≤λm.若对某个正整数r有gcd(λm,qr−1)=1,则有

若对所有的正整数r均有gcd(λm,qr−1)=1,则有

推论 3.1假设D∈ℤn×m(m≤n).若对某个正整数r,D存在一个m阶子方阵M∈GLm(ℤqr−1),则(10)成立;若对任意的正整数r,D均有一个m阶子方阵M∈GLm(ℤqr−1),则(11)成立.

5 例子

在最后一节给出一个简单的例子,说明如何应用前两节中的结论计算S∗r(f),L∗(f,t),Sr(f)及L(f,t),并利用指数和与有理点个数之间的关系,给出Nq(f)和Nq∗(f)的具体值.设多项式

则f的次数矩阵为:

显见,D中由第一行和最后一行组成的2阶子方阵M是幺模矩阵,故对于所有正整数r,均有M∈GL2(ℤ/(11r−1)).同余式方程组

的每个解l=(l1,l2)9Aœσ(l)与s(l)值见表1.

No.l=(l1,l2)σ(l)s(l) 1 (0,0) 0 0 2 (0,10) 1 3 3 (10,0) 1 2 4 (10,10) 2 4

这里q=11,n=4,m=2,Ω={0,10}.利用定理 2.1,定理 2.3和定理 3.1分别计算及L(f,t)可得:

下面考察多项式

显见,

其中x0是作为一个新变量出现的.由解数与指数和的关系可得:

通过 Maple编程,易计算出多项式 h(x1,x2,x3)的 Fq-有理点个数为 121,有理点个数为100,与上述结果完全相符.

[1]冯克勤,廖群英.有限域及其应用[M].大连:大连理工大学出版社,2011.

[2]Lidl R,Niederreiter H.Finite Fields[M].Cambridge UK:Cambridge Univ Press,1997.

[3]Schmidt W M.Equations over Finite Fields:An Elementary Approach[M].New York:Springer-Verlag, 1976.

[4]Ax J.Zeros of polynomials over fi nite fi elds[J].Amer J Math.,1964,2:255-261.

[5]Wang W S,Sun Q.The number of solutions of certain equations over fi nite fi elds[J].Finite Fields Appl., 2005,2:182-192.

[6]Cao W,Sun Q.On a class of equations with special degrees over fi nite fi elds[J].Acta Arith.,2007,130:195-202.

[7]Cao W.Smith normal form of augmented degree matrix and its applications[J].Linear Algebra Appl., 2009,431:1778-1784.

[8]Chen J M,Cao W.Smith normal form of augmented degree matrix and rational points on toric hypersurface[J].Algebra Colloq.,2013,20:327-332.

[9]Hong S F.L-functions of twisted diagonal exponential sums over fi nite fi elds[J].Proc.Amer.Math.Soc., 2007,135:3099-3108.

[10]Smith J S.On systems of linear indeterminate equations and congruences[J].Philos.Trans.Royal.Soc.London,1861,151:293-326.

[11]Berndt B,Evans R,Williams K.Gauss and Jacobi Sums[M].New Yock:Wiley Interscience,1998.

[12]陈国华,武艳丽,张艳娜.某种特定类型三角和的定量估计[J].纯粹数学与应用数学,2013,29:325-330.

[13]Adolphson A,Sperber S.Exponential sums and Newton polyhedra:cohomology and estimates[J].Ann.Math., 1989,130:367-406.

[14]Adolphson A,Sperber S.Newton polyhedra and the degree of the L-function associated to an exponential sum[J].Invent Math.,1987,88:555-569.

Exponential sums and L-functions of polynomials over fi nite fi elds

Han Shanmeng,Zhu Meiling,Cao Wei
(Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

L-functions contains rich information of arithmetic and are an important study object in number theory.In general it is difficult to compute the exponential sums and the corresponding L-functions of the polynomials over fi nite fi elds.Using Gauss sums and the Smith normal form of the degree matrix for polynomials over fi nite fi elds,we obtain the explicit formulas for the exponential sums and the corresponding L-functions of polynomials over fi nite fi elds under certain conditions.

fi nite fi eld,Smith normal form,exponential sum,L-function

O156

A

1008-5513(2017)01-0092-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.0010

2017-01-18.

国家自然科学基金(11371208);宁波市自然科学基金(2016A610079).

韩山猛(1991-),硕士生,研究方向：数论、有限域及其应用.

2010 MSC:11M06