在“解决问题”的教学中引领学生建模

董海英

【摘 要】小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在指导学生解决问题的过程中，从模型的构建、提升与突破三个方面入手，发展学生的比较、分析、抽象、概括、运用等能力。

【关键词】操作建模；数学语言；建模能力；模型突破

中圖分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）01-0012-03

《义务教育数学课程标准》在前言中指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建立和求解模型可以提高学习数学的兴趣和应用意识。如何帮助学生从已有经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程？我们积极寻找以教促学的教学策略，针对苏教版二年级下册“解决实际问题”，从模型构建、提升与突破三个方面入手，点拨学生思维，发展学生初步的比较、分析、抽象、概括、运用等能力。

一、自主操作探究，合作交流建模

心理学家皮亚杰认为“智慧的鲜花是开放在手指尖上的”，一语道出了操作实践的重要性。动手操作是数学学习的重要方式，有利于发挥学生的主观能动性，让学生在解决问题中，经历知识形成，构建数学模型。因此，我们在教学活动中，要尽可能给学生提供操作探究的机会。

1. 在操作感悟中，建构数量关系模型

如教材第1页例题1，重点是引导学生通过分铅笔的操作，感知平均分后有剩余的现象。

（1）经验操作。把10支铅笔按2支一份平均分，可以分给几个人？明确：10支铅笔。每人分2支，正好分给5人。

把10支铅笔按3支、4支、5支一份平均分，分别会出现怎样的结果。用小棒代替铅笔分一分，再和小组同学说说分的过程和结果。

（2）演示操作。10支铅笔，每人分3支，结果又是怎样？展示操作过程。结合学生演示，明确：10支铅笔，每人分3支，可以分给3人，还剩1支。继续演示反馈“每人分4支”“每人分5支”的情况。学生在操作和交流中充分感知平均分东西，有时能全部分完，有时会剩下一些不能继续分了，从而产生对余数的感性认识。

（3）填写表格。你能把每次分铅笔的结果记录在表格里吗？

学生通过填表对操作过程和结果进行梳理，对平均分后出现的情况进行分类：把一些物体平均分后，有时正好分完，有时会有剩余。教师适时点拨，像这样平均分后还有剩余的情况，也可以用除法算式来表示。

从学生操作以后所填写的表格里，提取“10支铅笔，每人分3支，可以分给3人，还剩1支”这个事实，写出除法算式“10÷3=3（人）……1（支）”，指出算式里的“1”是“余数”。

（4）模型体验。根据“10支铅笔，每人分4支，可以分给2人，还剩2支”这个事实，写出相应的除法算式，初步学会有余数除法算式的写法和读法。

教学中，紧扣分铅笔的操作过程和结果，引导理解除法算式，使学生在具体事实和相应算式之间建立联系。体会这道算式比表内除法多了“余数”，是由于平均分东西没有全部分完所造成的。学生在操作活动中获得了感性的经验，有余数的除法数量关系的模型也就呼之而出。

2. 在操作感悟中，理解“余数要比除数小”的道理

“余数都比除数小”对低年级孩子来讲，是一个比较抽象的数学规律，学生理解这个道理会有一些困难。如果采取直接的方式告诉学生，就不能内化为学生的认知结构。他们需要丰富的感性认识为缓冲带，逐步上升成理性认识的过程。教材重点引导学生通过摆正方形的操作，理解除数和余数之间的关系。

如教材第2页例题2。

首先明确用4根小棒可以摆1个正方形，8根小棒可以摆出2个正方形。在此基础上提出“像这样用12、13、14、15、16根小棒摆正方形结果会怎样。学生通过操作，填写算式和表格丰富了对有余数除法的认识。

12÷4=3（个）

13÷4=3（个）……1（根）

14÷4=3（个）……2（根）

15÷4=3（个）……3（根）

16÷4=4（个）

结合算式和表格引导学生深入思考：

（1） 用12根小棒或16根小棒摆正方形，小棒正好用完，没有剩余；用13、14、15根小棒摆正方形，都有剩余的小棒，为什么剩下的小棒根数分别是1根、2根、3根？

（2） 用12、13、14、15根小棒都是摆成3个正方形，用16根小棒摆成4个正方形，为什么多了1个正方形？

（3）如果用更多根小棒摆正方形，余数可能超过3吗？

随着学生对这些问题的思考与感悟，他们就能发现：剩下的小棒够摆一个正方形，就要继续摆下去，直到不够摆为止，这里的余数只能是1、2、3。 “余数都比除数小”就不再是一个机械记忆的知识，而是一个通过操作建模体验的数学规律。

二、加强数学语言训练，提高数学建模能力

数学语言是一种科学语言，它是对数学概念、解题思路、推导过程等的表述。它具有准确、简练、符号化的特点。它有利于培养学生揭示事物本质的能力，帮助学生更好的概括事物的规律。训练数学语言的过程就是通过师生、生生之间的交流提升思维品质的过程，它是提高学生数学建模能力的有效途径。

1. 在计算过程中，注重学生复述

计算题教学的重点是让学生在理解算理的基础上掌握计算方法。在低年段数学的计算教学中，加强算理教学，重视过程复述训练，既可以帮助学生巩固所学的计算方法，又能提高数学语言表达能力，发展学生思维。

（1）除法竖式。除法竖式和学生已经熟悉的加、减法竖式不一样，在计算的过程中包含“除—乘—减”三步，学生较难接受。在教学中不能停留在将竖式当作是一种格式，它更是一种数学的符号语言，具有计算与表达的双重功能。

①表内除法。比如教材第4页例题3，从解决实际问题切入：妈妈买了12个苹果，每4个放一盘，放了几盘？学生很容易列出除法算式12÷4=3（盘）。教材告诉学生，除法也可以用竖式计算，同时给出了这道除法的竖式，并对竖式的各个部分做出解释。

引导学生结合平均分过程，口述用竖式计算的过程：利用乘法口訣“三四十二”得出商3；接着用乘法计算，把3和4相乘得12，（表示3盘分掉12个苹果）；最后用减法计算，12减12等于0（表示苹果全部分完，没有剩余）。

在复述过程中进一步体会除法竖式的形式、结构以及书写格式，为教学有余数除法的笔算做好准备。

②有余数除法竖式。例题用图画给出12个苹果，要求学生每5个放一盘，在图画中圈一圈，得出可以放2盘，还余2个，并填写除法算式12÷5=□（盘）……□（个），把教学引入有余数的除法。

学生已经知道被除数、除数、商在竖式中的位置，能够写出图2的样子：

首先引导学生，竖式中的商“2”应该怎样想到，联系平均分操作活动，可以这样想：12里面最多有2个5，商是2；接着用乘法计算2个5是10，表示2盘分掉10个苹果；最后用减法计算，12减10等于2，表示还剩余2个苹果。

在尝试完成竖式以后，复述展示计算步骤，每一步计算表示什么，以及计算时要注意什么。通过口述交流，学生进一步明确有余数除法求商时，可以想被除数里最多有几个除数，明确竖式的写法以及竖式中“10”和“2”所表示的意思。学生从这样的复述过程中抽象出数学模型，建立起有余数除法与表内除法计算方法的联系和区别，更好地掌握用竖式计算有余数除法的思考过程和书写规范。

（2）加减法计算。加、减法计算是小学数学十分重要的教学内容，也是整数阶段最后一次教学加、减法计算。

如学习书本68页例题 142+86的竖式计算时，要求学生通过分析说出算理：相同数位对齐，从个位加起。个位上2个一加6个一得8个一，在个位上写8；十位上4个十加8个十，得12个十，在十位上写2，向百位进一；百位上1个百，加进上来的1个百，得2个百，在百位上写2。这样通过说算理，使学生条理清楚，思维深刻。

又如书本77页例题：学习隔位退位减法，用竖式计算204-108。在引导学生通过探索理解隔位退位减法的算理和算法基础上，要求学生复述：个位上不够减，要从十位上退1，十位上是0，就向百位退1；百位上还剩1个百，十位上是10个十；再从十位上退1，十位上还剩9个十。个位上14个一减8个一得4个一；十位上是9个十减0得9个十；百位上1个百减1个百，就没有了。经常训练学生清晰而又准确地表达自己的计算思维，学生思维程序优化进程就会大大加强。

2. 在解决问题过程中，重视让学生说清解题思路

表达解题思路，是发展学生语言的又一重要方法。学生在口述解题思路时，首先需要明确题意，判断数量关系，确定解决问题的策略，然后组织语言，有条理地表达出来。

如：25个气球，平均分给6个同学，每人分得几个，还剩几个？先让学生读懂题意，用数学语言转换成符合题意的数量关系和解题思路：把总数25个气球平均分，分成的份数是6，得到的每份数是4个，还剩1个。

课本82页第6题解决实际问题（如下图）。

这是关于求比一个数少几的数是多少的连续两问的实际问题，学生列式解答以后，需要让他们连贯地说说解决问题的思路，每一步算的是什么，第二步算式是如何利用第一步计算得数的。引导学生组织语言：先根据二年级修补254本图书和一年级比二年级少修补69本，求出一年级修补多少本；再根据求出的一年级修补的本数和二年级修补254本图书，求出两个年级一共修补多少本。

在教学中，老师适当点拨，帮助学生逐步规范地运用数学语言，让学生有根、有据、有序地口述解题思路， 表达数量关系。课堂上学生你一言，我一语，不仅调动了他们的学习积极性，使教师能及时获得反馈信息，了解学生对知识掌握的程度，更能促进学生举一反三，触类旁通，面对不同形式的问题，不会束手无策，而是能熟练运用策略、驾驭策略。

三、走进生活，突破模型解决实际问题

数学源于生活，又广泛地用于生活。让数学模型回归生活，将现实生活材料当作问题来解决，能激发学生研究问题的兴趣，更能拓展模型的外延，突破模型化的思维定式，有效地打破套型解题的弊端。

教材十分重视在具体的生活情境中，利用余数意义去解决实际问题。书中第7页，练习一第9、10题。都是通过连续发问的形式重点引导学生灵活选择算法、灵活处理余数。引导学生结合实际来解决问题。30张纸，每4张纸做一个灯笼，可以做几个灯笼，还剩几张纸？这些纸够做8个灯笼吗？45个皮球，每6个装一盒，可以装几盒，还剩几个？如果全部装入盒中，至少需要多少个盒子？两个后续追问都需要联系实际，或是去掉余数，商增加1，或是去掉余数，商不变。两条练习有效地训练学生根据实际情况和问题来判断是把余数“进一”还是“去尾”，进一步感受了余数的应用价值，形成思维模型的突破，避免了简单的模仿。

教材80页最后一题是拓展练习（见图）

首先鼓励学生用不同的方法分析题中的数量关系，然后组织学生讨论与交流，充分展示学生中各种不同的解题策略。例如，学生联系生活经验，可以想到：看一本同样的故事书，剩下的页数多，看的页数就少；剩下的页数少，看的页数就多；剩下部分相差的页数应该等于已看部分相差的页数。小芳看的页数最多，小华看的页数最少，两人看的页数相差：43-26=17（页）。再如，可以先假设故事书的总页数是100页，这样小明看的页数是100-34=66（页），小华看的页数是100-43=57（页），小芳看的页数是100-26=74（页）。所以，小芳看的页数最多，小华看的页数最少，两人看的页数相差74-57=17（页）。这样的训练开启了学生的积极思维，有利于学生更多地关注生活中的数学问题，成为有数学头脑的人。

本册教材解决问题教学中，突出了模型的意义建构。在实际运用中，“操作建模”是从学生已有的知识经验出发，亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程，为模型的拓展外延奠定基础；数学语言训练能有效地提升建模能力，深化知识层次；生活实际运用是模型思想内化并形成灵活运用能力的必需途径，是突破思维定式的利器。

（组稿：韦波富 编辑：胡 璐）