模型建构：打开“问题解决”的密钥

胡宝军

【摘 要】《义务教育数学课程标准》（2011版）曾经将“解决问题”的说法改成了“问题解决”，虽然只是词语顺序的调换，但却蕴含着丰富的理论认知基础。本文就试图从这一名称的改变入手，阐述了其背后教学理念的演变，并提出了把握共性，明确认知构建模型；经验转换，从联系生活中完善模型；聚焦本质，从实践操作中运用模型，从而让模型构建成为学生问题解决的密钥。

【关键词】模型构建；概念置换；聚焦本质；经验转换；把握共性

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）01-0015-02

《义务教育数学课程标准》（2011年版）曾经将“解决问题”的说法改成了“问题解决”，虽然只是词语顺序的调换，但却蕴含着丰富的理论认知基础。新课标在重新阐述与设置课程设计思路时，就结合数学课程内容提出了十大核心概念，其中“模型思想”就是与“问题解决”紧密相连的重要理论之一。在小学数学教学中，模型思想的基本内涵是什么？与更换说法之后的“问题解决”又有着怎样的联系呢？

一、模型→思想：数学中模型概念的置换

在涉及模型思想之前，就不得不提到数学模型这一概念，这是运用数学自己独特的语言提炼或者近似的概括客观事物内在的特征、数量关系以及在空间概念形成的一种数学结构。数学模型的具体表现形态基本通过数学运算的基本符号、表达算式、各类图标等形式展开，与数学学习中的符号式思想有着千丝万缕的联系。

在新课标正式提出数学模型的理念和意义之后，并进一步明确了数学模型思想在小学数学教学，尤其是突破问题解决等一系列问题中的作用。这在一定程度上表明数学的应用价值，并明确地阐述了模型在数学应用以及解决问题过程中的核心价值。

二、题型→模型：名称更换背后教学理念的演变

小学数学教学纲领经历了从“教学大纲”“课标实验稿”“2011版新课标”的发展与演变，其对于解决生活中问题的说法也一直在与时俱进，从“应用题”到“解决问题”，然后又到“问题解决”，这不仅仅是语言文字符号的一种物理变化，更是对“问题解决”背后教学价值的一种化学变化。在这种变化之下，“解决问题”的教学的价值定位就会更加精确，教育的理念也会更为明晰，其所涉及的课程设置也会更加的宽泛，其呈现在学生眼前的形式也自然会更加的灵活多样。

相对于之前的理念，“问题解决”更加关注学生解决问题教学的过程，更加关注解决问题的过程中的整合以及对于具体问题的分析，凸显了在问题解决过程中的开放性和多元性，為学生发散性思维的发展奠定了基础。

三、解题→建模：从关注“结果”到关注“过程”的价值过渡

在《数学教育哲学》一书中，郑毓信教授曾经这样论述，数学是一种模式的学科，其基本任务就是帮助学生在学习过程中逐步构建并发展分析模式、实践模式与欣赏模式的能力与水平。从中也不难看出学生在运用已经形成的数学经验以及数学知识对解决生活中问题的过程，与数学教学中的模型构建之间存在着千丝万缕的紧密联系。从某种角度来看，我们甚至可以认为问题解决的过程其实也就是数学的建模过程，只是学生在构建模型的过程中，其内在尚处于无意识状态，并没有真正的有意识参与其中。因此在问题解决的教学过程中，需要教师在进行引导点拨时，将无意识的活动变成其内在思维、内在意识参与其中的有意识过程，使学生明确在学习过程中的价值和目标取向。

1. 把握共性，明确认知构建模型

无论是学生运用知识解决问题的过程，还是在数学教学中模型建构的过程，其关键的核心之处就在于“解”的策略和“建”的方法，而在这一过程中，教师需要密切关注学生在解决问题的过程中是否已经真正形成并积累了一套行之有效的解决问题的方法与策略，而不能仅仅关注学生是否已经顺利地解决了问题。要努力从关注问题结果向关注解决问题的过程转变，这就需要教师在教学中鼓励、点拨学生能够从问题解决的实践过程中总结一些模型建构的典型案例。

例如在帮助学生建立“归一”认知模型时，教师结合教学内容创编了以下的题型：

1. 一辆轿车4个小时行驶440千米，照这样计算，8个小时行驶多少千米？

2. 购买3个书包需要180元，照这样计算，购买6个书包需要多少钱？

3. 李师傅3个小时可以加工零件36个，如果还以这样的速度进行工作，在8个小时中可以加工多少个零件？

教师旨在通过这三道结构相同、逻辑相同的题型，帮助学生从题目中不同的数量关系中能够总结、提炼出相同的结构与解决问题的策略：即都需要先求出题目中的单一量，再结合具体的问题求出对应的总量。这一思维的过程其实也正是为形成“归一”思想奠定了基础。

在这一案例中，起码有两点值得我们深入地探究与思考：首先，要想帮助学生构建相应的数学模型结构，就需要教师从众多题目中找寻出其共性存在之处，并在教学中引导学生发现和积累这种特性。这一步教学中作为模型建构的中间环节，是学生进行问题解决的核心所在；其次，教师要在选取相关素材时，引领学生学会敲定问题解决过程中的数量关系，如速度问题的“路程等于速度与时间之积”等，只有明确了各自的关系所在，数学的模型才能形成雏形。

2. 经验转换，从联系生活中完善模型

生活是数学学习的源头活水，没有生活元素的介入，数学学习就成为一种僵硬、死板的存在。因此要想在解决问题的过程中帮助学生建立数学模型，就必须学会从学生的现实生活入手，从学生已经具备的数学经验和数学知识入手。只有联系生活教学数学、将生活中积累的经验不断赋予数学的内涵、并能将教材中的数学问题转化为现实生活中的实际问题，学生才能真正意识到我们的生活离不开数学，只有掌握数学知识才能让我们的生活更美好，从而激发学生学习数学的兴趣。

例如在教学“解决问题的策略：一一列举”中，教师首先引导学生回忆自己曾经玩骰子的经历，激活学生对应的经验储备，然后引导学生回忆：如果有5个孩子一起玩骰子，有可能会得到哪些数字，会不会出现7或者是8的情况？通过这些问题的引领，让学生进一步明确：如果将事情发生的可能一一列举出来的话，就是一种解决问题的策略。

在这一教学案例中，教师充分运用了学生在原始生活中所积累的经验，并借助这种经验衍生出数学问题，认真思考，加以解决。由此可见，在数学教学的初始阶段，教师可以从学生较为熟知的生活问题出发，启发学生捕捉数学信息，引领学生从中发现、提出数学问题，使学生了解知识的源头，连接其原始数学与学生实际生活之间的关系，为学生模型建构打下坚实的认知基础。

3. 聚焦本质，从实践操作中运用模型

其实，人类在现实生活中解决问题所建立的模型特征，具有悠久的历史。早在人类开始运用数字记录生活状态的时代，这种模型构建就已经在人类意识中无形地存在了。随着人类使用数字的频率不断增加，其数学模型的构建也日趋丰满。因此，建立数学模型是连接实际问题与内在形成的数学经验的一种必不可少的纽带。当学生在数学教学中初步建立了数学模型之后，教师可以帮助学生运用这些既已形成的模型认知尝试解决生活中的问题，进一步强化数学模型思想在思维意识中的稳固性和通透性。這就要求教师引导学生运用数学的特殊语言和符号、思想和方法逐步建立相对稳定和完善的数学模型，从而重新渗透数学的模型思想。

例如在教学这样一道题：王伯伯要用22根长度1米的栅栏围成一个长方形的菜园，应该怎样围才能使菜园的面积最大？教师提问引导：这道题目中我们已经知道的信息是哪些？题目要求的内容又是什么？……

在这一问题的浸润下，教师可以对教学采取以下步骤：①要想形成的面积最大，必须要先知道可能存在哪些不同的围法；②从“22根长度1米”这样的信息中，我们可以了解到这一长方形的周长；②从长方形周长计算公式出发，让学生在不能重复且也不遗漏的情况下，可以尝试按照一定的顺序进行列举；④最终得到结论是在长方形中长与宽数值越相近，长方形的面积也就越大。

在这一案例中，教师首先从分析题意入手，接着让学生自主探究，经历解决问题策略的形成过程，继而在交流汇报中展示与归纳，真正理解其策略的本质，最终完善模型结构，感悟思想价值，更新了学生数学认知体系和结构。

在数学三大基本思想中，模型思想与问题的解决息息相关。因此，教师必须在教学解决问题策略的过程中，努力结合具体的问题情境，引导学生发现问题、思考问题、解决问题，从而帮助学生构建模型、运用模型，丰富学生的数学思想，提升学生的数学素养。

（组稿：韦波富 编辑：胡 璐）