关于sinnθ的一个统一公式

陈世明

(广州市第七中学 510080)

1 问题提出

众所周知，sinθ=sinθ，sin2θ=2sinθcosθ，sin3θ=3sinθ-4sin3θ，sin4θ=4sinθcos3θ-4sin3θcosθ,…，在这些公式中，左边一小变，则右边一大变，完全可以用“失之毫厘，差之千里”来描述.那么我们不禁要问：这些公式的右边有没有统一的形式？

2 思考探究

sinθ=-sin(θ+π)，

sin3θ=3sinθ-4sin3θ

sin4θ=4sinθcosθcos2θ

… … …

3 归纳猜想

4 证明猜想

易见数学归纳法是无能为力的，另辟蹊径，由欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，得

①

(1)当n=1时，①式显然成立；

②

由n次单位根的定义，

③

致谢：感谢中国科技大学王建伟教授的帮助！