核心素养统领下的数学教育变革

章建跃

(人民教育出版社 100081)

当前，我国数学教育界对高中数学课标修订组给出的数学核心素养的六个要素，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，展开了一些讨论.笔者认为，作为数学课改的核心问题，对数学核心素养的内涵、结构和要素的讨论，在广泛性、深入性上还很不够，特别是广大数学教师的参与度还需加强.本文从理论与实际的衔接角度谈谈对数学核心素养的认识，希望抛砖引玉.

1 关于数学核心素养内涵、结构和要素的讨论

众所周知，以林崇德先生为首的核心素养课题组历时三年集中攻关，并经教育部基础教育课程教材专家工作委员会审议，最终形成研究成果，确立了“中国学生发展核心素养”.它以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为国家认同等十八个基本要点.在这个体系下，各科都制订了各自的“学科核心素养”.可以发现，这个核心素养体系的要素非常庞大，如果不能厘清其结构，把握好“中国学生发展核心素养”与“学科核心素养”之间的关系，集中到一个学生的身上，将会不堪重负.笔者认为，尽管数学教育要着眼于学生核心素养的整体，但更重要的是要认识清楚数学学科对学生核心素养的发展有怎样的独特贡献，这就需要聚焦于“十八个基本要点”的某些方面.例如，数学学习在学生“理性思维”的发展中具有决定性作用，所以应该把“理性思维”置于数学核心素养的统领地位.

另一问题是，数学核心素养到底包含哪些要素？对这个问题的讨论太少.我们知道，数学的公认特点是“抽象性、严谨性和广泛的应用性”，六个核心素养中的数学抽象、逻辑推理、数学建模可以分别与这些特性相对应，表明“数学核心素养集”很好地反映了数学学科特性，并且它们与“数学的基本思想”，即“数学抽象的思想、数学推理的思想和数学建模的思想”一脉相承.但林崇德先生在《21世纪学生发展核心素养研究》(北京师范大学出版社，2016年3月版)中指出，核心素养的目标指向“全人教育”，在所有人都需要的共同素养中居于最关键最必要的核心地位，它并不指向某一学科的知识，而是情感、态度、知识、技能的综合表现.所以，如此“彻底地反映数学学科特征”，是否真的体现了“核心素养”的本来面目？

其实，研究核心素养的权威们对是否要提“学科核心素养”也是各执一词.进一步地，从全球范围看，目前对核心素养的内涵、结构和组成要素等并没有达成共识.笔者判断，可能很难达成共识，因为核心素养是人的终极性发展目标，可以包罗万象，还可以因不同群体的差异而有很大不同，所以对哪些是“共同素养中的核心”很难说清楚.可以预见的是，对核心素养的研究是一个没有最好只有更好、向着其本质逼近的永无止境的过程，目前我们离“本质”尚远.

当然，也不能说毫无共识.例如，大家都认为核心素养是一个复杂的结构，它的内涵是多维度、多元化的，核心素养统领下的教育教学必然是超越知识技能的，各学科教育都要为学生成长和终身发展作出独特贡献，要通过“基于核心素养的教学，帮助学生形成必备品格和关键能力”等等.不过，对于各学科日常教育教学而言，这样的抽象性共识几近于空洞说教，对实践的指导力很弱.从学校教育的实际需求看，“如何使学科教学超越知识技能”是落实立德树人根本任务、实现学科育人的更关键问题.而这个问题的解决，需要我们在理解核心素养及学科核心素养基本含义、厘清核心素养与三维目标(乃至双基和三大能力)相互关系的基础上，扎实开展数学教育实践研究，搞出一批“核心素养统领下的数学教学案例”，使抽象的、高大上的“核心素养”获得具体事例的支撑，实现“从思维的抽象发展到思维的具体，在思维中再现事物的整体性和具体性”，这样才能达到对核心素养、数学核心素养的深刻认识.也就是说，更加迫切的、对实践的指导意义更强的是案例，这不仅有利于广大教师的积极参与，而且能使理论从实践中汲取营养，有效地促进理论与实践的结合.数学教育研究应该强调它的实践品格，在实践的基础上进行理论概括，这样更能反映数学教育理论研究的本来面目.

2 从数学知识发生发展过程中认识数学核心素养

笔者曾经谈到[注]见《数学通报》2016年第5期“树立课程意识落实核心素养”.，数学教师的基本任务是帮助学生把一个个具体知识理解到位并能用于解决问题.这样，从平凡的日常教学中思考落实立德树人根本任务的策略，在数学知识的教学中寻找发展学生数学核心素养的方式和方法，应成为研究的基本出发点.下面我们从数学知识的发生发展过程，特别是如何发现和提出数学问题、获得数学对象的角度，通过例子，讨论日常教学中如何结合具体内容发展学生的数学核心素养问题.

我们知道，数及其运算是学生数学学习的主题之一.给一个数，可以把它加倍、求平方或求倒数等等，只要定义了一种运算法则，就可以引入根据法则规定的程序进行数学运算和推理的直接问题.于是，我们首先要在“保持自然数系的运算律普遍成立”的思想指导下定义运算法则，从而解决“如何算”的问题.例如，有理数的学习，关键是在自然数系的基础上，通过引入负数而扩充到有理数系，并定义关于有理数的加法、乘法和乘方等运算法则，其中的难点问题是“符号法则”，如“正负得负”、“负负得正”.为什么必须是“负负得正”呢？因为如果“负负不得正”的话，自然数系的运算律将不再成立.这是“在已有基础上发展新理论”，体现了理性精神，并且运算法则的抽象、运算律在有理数系中的表达等都与数学核心素养相关.当前教学中的问题是只关注“如何算”和“算得快”，而把“为什么这么算”和“如何才能算得快”这些与核心素养更相关的问题抛到脑后.

引入字母表示数，可以对数及其运算中的“直接问题”再研究一遍，得到各种各样的代数式，并且可以用“字母代表数，所以在代数式的运算中，关于任何数都成立的运算律可用”的思想，对代数式的运算进行研究.于是，我们可以向学生提出具有高度统摄性的问题：

字母代表数，代数式是数及其运算的抽象化、一般化产物，因此我们可以类比数及其运算对代数式展开研究.对于代数式这个数学对象，你认为可以研究哪些问题？如何构建研究框架？研究的具体内容有哪些？如何找到研究方法？

然后让学生展开自主探究，获得各种代数式的定义、性质、运算法则，熟练进行有关的运算和代数推理.这样设计的学习过程，既有以数及其运算为支撑的代数研究对象的抽象，也有通过类比、推广而发现各种代数式的性质、运算法则，还有根据已有经验展开的代数运算和推理活动，所以能使数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养得到发展.

一般地，对于函数y=f(x)，直接的问题是已知x求y.反过来，可以提出已知y求x，这就是解方程f(x)=y.这里我们没有限制x，y为数，所以解方程的概念是非常一般的.这里又提出了一个数学的中心问题——解方程.

接下来的问题是，如何从一元一次方程出发进行数学推广，发现和提出值得研究的问题？我们抓住关键要素“未知数”，从“元”、“次数”、“函数”等角度入手，可以提出大量有趣的问题.例如考虑“元”的增加，如2x+y=5.与2x+1=5相比，这是一个实质性的变化，2x+y=5有无数解.把方程变为y=5-2x，给定一个x就有相应的一个y满足这个方程，即有一对(x，y)满足这个方程，在直角坐标平面内，以这些解为坐标的点在同一条直线上.我们还可以再增加一个方程以加大难度，如2x+3y=3，这时就只有一组解x=3，y=-1同时满足这两个方程.如果从几何角度看，形如ax+by=c的方程是直角坐标系中的一条直线，两条直线交于一点.当然，特殊情况是两条直线平行或重合，这时二元一次方程组无解或有无数解，我们可以利用方程组

中各系数之间的关系，得出什么时候有唯一解、无解和无数解的准确表示.这个过程中，数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养都能得到发展.

对于“元”，其实可以推广到n元.可以发现，如果机械地沿用上述思路，那么解n元线性方程组是繁琐而无趣的工作.能否把它们看成含有一个未知“东西”的一个方程呢？如果允许这个“东西”是一个更复杂的对象，就会打开一片全新的天地.例如，利用矩阵和向量，将2x+y=5，2x+3y=3写成

我们用A表示上面的矩阵，x表示未知向量，b表示已知向量，那么方程组变为Ax=b.这样的做法似乎是把困难隐藏起来了，但实际情况并非如此，它开辟了数学的新天地.现在我们得到了从R2到R2的一个线性映射，要解决的问题是哪个向量x被映射到向量b，这在数学思想上是一个飞跃.在这个思想指导下，我们可以容易地把矩阵、向量推广到n维.这样，向量理论、矩阵理论、空间维数的推广(理论上，你想几维就几维，甚至是分数维)就都在议题之中了.这里已经触及到大学《线性代数》等课程的基本内容.

以上是“元”的推广，接下来是“次”的增加.首先是一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0=0.我们熟悉的是一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)，而且知道这类方程有求根公式.一般的，记住求根公式并在面对具体方程时能用公式求出方程的根就可以了.但这里出现了线性方程研究中没有遇到过的问题，由此提供了培养核心素养的新契机.

第三，由一元二次方程存在求根公式自然想到：能否找到一元n次方程的求根公式.这是一个一劳永逸的想法，不过人们发现，虽然三次、四次方程存在求根公式，但其复杂程度是二次方程求根公式所无法比拟的，而五次及以上方程的公式解是一个悬而未决的问题.直到19世纪，阿贝尔和伽罗瓦证明了这样的公式是不存在的.令人惊喜的是，由此产生了一个“副产品”——群论，它不但彻底解决了一元多项式方程的公式解问题，而且由此发展了一整套理论，进而创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个崭新的高度.群论为数学研究提供了新工具，它对数学分析、几何学的发展都有很大影响，对物理学、化学的发展，甚至对二十世纪结构主义哲学的产生和发展都有巨大影响.群论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.在数学史上，一元多项式方程公式解问题的解决经历了非常曲折的过程，体现了数学家的想象力、创造力和不屈不饶、精益求精的精神.我们可以挖掘这些素材并向学生介绍方程理论的发生发展过程，让学生感受数学的文化和精神的同时，促进他们体会各种解方程的思想及其算法的意义.

3 小结

限于篇幅，我们不再往下讨论.从中已经可以看到，从自然数及其运算出发，经过逐步深入的抽象化、一般化，可以不断发现新的数学对象，引入新的数学语言，形成新的数学方法，获得具有一般性、广泛应用性的数学结论，提炼新的数学观点.同时，它使学生看到，许多原来貌似无关的结果之间内在的联系性、一致性，在数学的不同领域间找到联系对数学的进展有显著的推动作用.按照这一思路进行的课程、教材和教学设计与实践，关注的是通过抽象化、一般化获得数学的研究对象，根据研究对象的特点确定合适的类比对象并构建研究路径，通过类比、联想、特殊化、一般化等思维活动发现和提出数学问题、形成研究思路、找到研究方法，注重了数学的整体性、思想的一致性、逻辑的连贯性和思维的系统性，体现了“数学的方式”，强调了数学核心概念和基本思想(big idea)的育人价值，是从“四基”、“四能”通向数学核心素养的主渠道，是使课堂教学超越数学知识技能进而使数学核心素养“落地”的康庄大道.