立德树人——高考数学命题的新亮点①

赵思林 王 婷

(1.内江师范学院数学与信息科学学院 641112；2. 四川省教育考试院 610041)

党的十八大报告提出“立德树人是教育的根本任务”．立德树人作为教育的根本任务，高考也应体现这种导向．[1]在教育部制定的落实立德树人根本任务的配套文件《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中指出：“全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，加强社会主义核心价值体系教育，完善中华优秀传统文化教育，形成爱学习、爱劳动、爱祖国活动的有效形式和长效机制，增强学生社会责任感、创新精神、实践能力．”

数学是树人的重要途径．数学是基础教育的核心课程，是培养人才的重要学科．数学教育与树人的关系极为密切．数学是培养人才的重要途径．数学对培养人的科学精神、思维方法、探索能力、思辨能力、量化思维、审美情趣等具有重要作用．“数学是思维的体操”，“数学是思维的科学”，数学中充满了创造，整个数学史就是一部创造史，可以说，没有创造就没有数学．因此，数学对培养人的理性思维和创新能力具有巨大作用，正如《义务教育数学课程标准(2011年版)》所说“要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用．”[2]

数学与立德有密切关系．立德的过程就是德育的过程．简言之，立德即德育．一方面，数学教育应该而且可以发挥“数学教学具有的德育功能”．[3]另一方面，良好的德育有助于数学的教学，德育可以帮助学生培养正确的动机、浓厚的兴趣、积极的情感、良好的习惯、坚强的意志和独立的性格，这些德育因素是学生学好数学应具备的品质．

研究近年高考数学试题发现，立德树人已成为高考数学试题的新动向和新亮点．本文主要以近两年高考数学四川卷为例，分析了涉及立德树人的试题有以下几类：弘扬中国优秀数学文化，激发爱国情感；以中国资源缺乏为情境，培养勤俭节约美德；以新定义设置问题，考查学习能力；设计探究型、交汇型、开放型问题，考查数学创新意识；设计实际应用型问题，考查实践能力．

1 弘扬中国优秀数学文化，激发爱国情感

爱国是公民对祖国最深厚的情感与强烈的责任担当．中国是有几千年爱国主义优良传统的国家．培养学生的爱国情感是立德树人的重要任务．近年来，一些考题涉及《九章算术》、《数书九章》等数学著作的内容，其意图是弘扬中国优秀数学文化，培养考生的爱国情感．

例1(2016年四川卷理科第6题、文科第8题)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为( )．

(A)9 (B)18 (C)20 (D)35

评析秦九韶是我国南宋时期伟大的数学家，普州(现四川安岳)人，理科6题、文科8题以他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法为背景设置问题情境，这样设计的意图是引导考生了解和弘扬中国古代数学的优秀文化，激发考生的民族自豪感和爱国情感，增强学习数学、研究数学、应用数学和创造数学的信心．通过题干中“多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法”让考生了解和欣赏我国南宋时期数学家秦九韶的高超智慧．本题的难度较低，其解答不需要考生去学习《数书九章》，因此，这样考查不会加重学生的学习负担．

类似的题有2016年全国卷Ⅱ理科8题以《数书九章》中计算多项式值的秦九韶算法为背景考查算法，2015年全国卷Ⅰ文理科第6题以《九章算术》中米堆的体积为问题情境考查米堆体积的近似计算，2015年全国卷Ⅱ文理科第8题以《九章算术》中“更相减损术”为情境考查算法，2015年湖北卷文理科第2题以《九章算术》中“米谷粒分”问题为情境考查统计中的抽样方法，2015年湖北卷理科第19题以《九章算术》中的“阳马”和“鳖臑”为情境考查立体几何知识，这些题目充满数学文化气息，意在弘扬中国优秀数学文化，值得欣赏与学习．

2 以中国资源缺乏为情境，培养勤俭节约美德

勤能兴邦，俭能养德．勤俭节约是中国人民的传统美德．勤俭节约教育是立德树人的重要内容．

例2(2016年课标四川卷理科16题)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0．5)，[0．5,1)，…，[4,4．5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．

评析本题受到社会普遍赞誉，很多老师都认为这是一道考查应用意识的好题．题目以考生熟悉的居民节约用水作为情境，考查考生用概率统计知识解决现实生活问题的能力，真正体现了统计思想方法在现实生活中的应用价值．其命题立意有四点：一是渗透环保意识，二是倡导勤俭节约，三是考查应用意识，四是崇尚科学精神．关于崇尚科学精神，似乎并不明显，有必要解释如下：本题是政府要制定一个居民生活用水收费方案，即确定一个合理的月用水量标准x(吨)，这个标准不是拍脑袋人为地确定一个标准，而是通过统计调查、数据整理、数据分析、统计推断，根据居民月用水量的数据用统计方法科学地推算出一个科学合理的标准，这样就可培养考生的调查研究意识和科学决策意识，从而本题暗含科学决策，故有“崇尚科学精神”之意．

类似的题还有2016年四川卷文科第16题，2016年全国卷Ⅱ文理科18题以保险为背景考查概率统计知识，2016年全国卷Ⅲ文理科第18题以生活垃圾无害化处理为情境考查利用线性回归模型进行拟合与预测，2016年北京卷文科第17题以“居民用水实行阶梯水价”为情境考查统计知识和应用意识，2015年全国卷Ⅱ文理科第3题以二氧化硫排放为情境考查统计知识，这些试题立意鲜明、情境新颖，激发环保意识、保险意识、储蓄意识、节约意识，充满正能量，值得欣赏与借鉴．

3 以新定义设置问题，考查学习能力

学习能力是现代人才的核心素养．学习能力包括搜集、提炼、加工信息，对阅读的内容进行概括和理解，看清楚问题的本质，然后运用新的知识通过分析、演算、归纳、猜想、类比或论证等方法解决一些新的数学问题．

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．

其中的真命题是____________(写出所有真命题的序列)．

评析本题是一道立意深远、背景深刻、结论开放、易于推广、富含探究价值的好问题．该题的解答没有现成的套路和方法，要求考生快速准确地读懂“伴随点”、“伴随曲线”这两个新定义，面对这个新颖的问题情境，考生必须经历“学习数学——理解数学——应用数学”的过程．因此，本题需要考生经历自主学习、探究学习等过程．本题的“伴随点”、“伴随曲线”有深刻的数学背景，考生可以从题目中的定义出发，判断4个命题的真假，还可以猜想并推演出很多结论，如不经过原点的直线的“伴随曲线”是一个圆，圆的“伴随曲线”是直线或圆等．这样的问题设计，可有效考查考生的探究意识、创新意识和学习潜能．本题着重考查考生对知识的理解、迁移和应用，从而检测考生的思维广度、深度以及学习的潜能．

类似的题还有2016年全国卷Ⅲ理科12题以“规范01数列”为新定义考查数学学习能力和创新意识；2016年全国卷Ⅱ理科17题以高斯函数定义为载体设计问题考查数列知识；2015年北京卷文科第8题以汽车的“累计里程”为新定义考查分析问题和解决问题能力； 2015年福建卷理科第15题以保密通讯中二元码为背景，以“第k位码”为新定义考查创新意识等．这些试题设计新颖，难度适中，能有效考查考生学习新数学知识的能力．

4设计探究型、交汇型、开放型问题，考查数学创新意识

数学探究型问题、交汇型问题、开放型问题等是考查数学创新意识的好问题．这些问题立意鲜明、设问巧妙，富含思维价值，体现树人特点，是检测考生理性思维广度、深度和创新潜能的良好素材．解答这些问题，需要考生具有高层次的理性思维，具有较强的分析问题、探究问题和解决问题的能力．

例4(2015年四川卷理科20题)如图，椭圆E：

(1)求椭圆E的方程；

评析数学探究性问题的核心价值在于考查学生独立研究、敢于质疑、勇于创新的思维品质．数学探究性问题对培养学生的创造能力肩负着特殊的责任．[4]

第(2)问考查探究意识和探究能力的意图是明显的．考查数学探究对引导高中教学重视数学探究是有益的．从试卷分析来看，本题的得分率非常低，很多考生不知探究、不会探究．如果考生对直线l从特殊着手进行探究，则可降低解题难度并大幅减少运算量．首先借助直线l平行于x轴时，与椭圆有两个交点，则易知定点Q必在y轴上，这时可设点Q的坐标为(0,y0)，这就能大幅减少运算量．为探求y0，可以再对直线l从特殊着手考虑，取直线l与x轴垂直时，可求得y0=2，从而唯一确定的点Q的坐标就求出来了．接下来的工作是进行严格的证明．

像这种探求定点是否存在的题目，比较适合从特殊情况着手，先把定点探出来再严格证明(这样做运算量比较小)，有时通过计算直接判断定点不存在．

类似的题还有2016年全国卷Ⅱ理科12题以抽象函数为载体考查函数知识、数形结合思想和数学探究能力；2016年全国卷Ⅲ理科12题以“规范01数列”为新定义考查数学探究能力；2015年全国卷Ⅰ理科第16题已知平面四边形的三个相等角的度数及一条边长，探求另一条边的取值范围，理科第20题是解析几何中存在性探究问题，这两题对数学探究能力的要求都比较高；2015年全国卷Ⅱ理科第20题、2015年北京卷文科第19题，都是解析几何中存在性探究问题．

(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

评析本题(1)是典型的结论开放性问题，符合条件的点可以找出无数多个．命题组的“参考答案”最后还给了个“说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点”．这说明在平面PAB内所找的点M是不确定的，点M的轨迹是一条直线．由于考生平时没有做过“在平面内找一点”题目，致使很多考生觉得此问比较难，很多考生花了不少时间才找出一点，可见，本题的开放性导致考生很不适应、很不习惯，得分率也比较低．这也表明，平时对数学开放型问题的教学力度不够．数学开放性问题对训练学生的思维能力是非常有益的，是考查学生思维广阔性、灵活性和创造性的优秀题型之一，受其阅卷麻烦(答案多种多样)的限制，出现的考题并不多．平时教学和高考中可以设计少量的条件开放型问题或结论开放型问题，引导学生摆脱数学是“答案唯一”的僵化思维模式，培养求异思维和创新思维．本题有通过设计开放型问题考查创新意识的意图．

例6(2016年四川卷理科19题)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q>0,n∈N*．

(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列，求an的通项公式；

评析本题是典型的知识交汇型问题．该题由数列、双曲线、不等式等知识交汇而成，这种交汇方式考生在本次高考之前的考试和练习中从未遇见，考生对这种交汇很不习惯，致使本题第(2)问的得分率很低，考生普遍感到此题第(2)问很难．考生面对这种新颖的交汇方式，由于没有现成套路，很多考生不知如何下手，因此，解答本题考生需要具有创新精神，勇于突破对题型和解题套路的思维定势．本题有通过设计知识交汇型问题考查创新意识的意图．

5 设计实际应用型问题，考查实践能力

数学应用型问题是考查数学实践能力和创新意识的好问题．解答应用型问题，需要考生具有较强的分析问题和解决问题的能力．

例7(2016年四川卷理科第5题、文科第7题)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )．

(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)

(A)2018年 (B)2019年

(C)2020年 (D)2021年

评析本题考查数学应用意识．该题以“大众创业，万众创新”的时代背景设计问题，意在引导考生立志创业、崇尚创新．为使运算简单，本题给的三个对数值只保留了两位小数，恰好lg1.12作分母，即0.05作分母，这样运算量非常小，甚至可以心算完成．注意到lg1.12≈0.049，若保留三位小数，则运算量就大得多．若保留四位小数，取lg1.12≈0.0492，这时lg1.12作分母，其运算量将会非常大．不难看出，本题在控制运算量方面作了有益探索并且是成功的．由此获得启示，应用问题的设计要注意控制运算量，可以通过减少保留小数位数来控制近似计算的运算量，从而真正体现“多考点想，少考点算”的命题理念．

类似的考题还有2016年全国卷Ⅰ文理科第16题以高科技企业利润为背景考查线性规划；2016年全国卷Ⅱ理科5题以选择最短路径为实际背景考查排列组合知识和数学应用能力；2016年全国卷Ⅲ文理科4题以“气温的雷达图”为情境考查分析问题能力和数学应用意识．

顺便指出，画图是立体几何重要的基本技能，考画图的目的之一是动手考实践能力．近年来，立体几何试题中出现一些考查画图或作图的题目，如2016年全国卷Ⅰ文科18题要求考生作出一个点的正投影画出一个正方形(说明作法及理由)；2015年全国卷Ⅱ理科19题要求考生在正方体内画出一个正方形(不必说明画法和理由)；2015年四川卷文理科第18题，要求考生标出正方体的三个顶点的字母(不需说明理由)．

数学教育的重要任务是数学育人，数学育人主要表现在培养学生的爱国情怀、诚实守信、热爱劳动、理性精神、探究能力、创新意识、辩证思维等方面，数学教学在这几方面是应该并且能够作为的．随着高考命题改革的不断推进和完善，加之涉及立德树人的优秀高考试题的不断涌现，可以展望：立德树人将会成为数学教学的新常态，立德树人将会成为高考数学命题的新特点．