构造模型法巧证不等式

陕西省西安市高新第三中学(710075)吕二动

构造模型法巧证不等式

陕西省西安市高新第三中学(710075)吕二动

我们知道,不等式证明的方法是多种多样,为了深入研究不等式的证法,可根据所给不等式的特点,构造一些特殊模型来证明不等式,往往可以达到事半功倍的效果.

一、利用概率统计模型

其中A,B,C为三个相互独立事件.则有

二、利用导数模型

例3.设x∈(0,+∞),求证:ln(1+x)＜x.

分析:所证不等式等价于ln(1+x)−x＜0,令f(x)=ln(1+x)−x,故只须证f(x)在(0,+∞)上是减函数.

证明:令f(x)=ln(1+x)−x,因为x＞0时,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,由于f(x)在(−1,+∞)上连续,且f(0)=0,所以x＞0时,f(x)＜f(0)=0即ln(1+x)＜x.

例4.已知a、b为实数,且e＜a＜b,证明:ab＞ba.

分析:先把指数问题转化为对数问题

再分离变量得

当x∈(e,+∞)时,

三、构造函数模型

例5.若|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,a,b,c∈R求证: ab+bc+ca＞−1.

证明:因为ab+bc+ca+1=(b+c)a+bc+1,所以构造一次函数

则有

由一次函数性质知,当−1＜a＜1时,恒有f(a)＞0,那么ab+ac+bc＞−1.

例6.已知a1,a2,···,an都是正数,证明对任意的n∈N+,不等式成立.

证明:对任意的x∈R,n∈N+,不等式

成立.即

成立.构造函数

四、构造图形模型

例7.已知α,β,γ均为锐角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求cotαcotβcotγ的最大值.

解:构造一个长方体,使长方体的对角线与过同一顶点的三条棱a,b,c的夹角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+ cos2γ=1且

图1

图2

五、利用复数模型

例9.设a,b,c∈R+,λ＞0,求证:

证明:

当且仅当a=b=c时,等号成立.

六、利用抽屉原理模型

故

七、利用行列式模型

例12.若α,β,γ∈R,求证:

证明:令

其几何意义为构造点

则|u|=2S△ABC.由于A,B,C三点都在单位圆x2+y2=1上,因为圆内接三角形中,正三角形的面积最大,所以,当△ABC为正三角形时,S△ABC取得最大值故 |sin(α−β)+sin(β−γ)+sin(γ−α)|≤

通过构造不同的模型证明不等式,各种模型显现各自解决不等式的优点,只有认真去思考和研究,才会有意想不到的收获!同时展现了数学奥妙及神奇,研究就要多思考,这样才有提高!在平时教学中要多思、多想,多问为什么,这样数学会因思考而更加精彩,只有在学习和思考中才可以提升数学品质和数学素养,既需要大胆的猜想和细心的求证,还需要坚定的意志和灵通的变通,所以说,只有多思、多想、多变,才会有创新、提高!