利用数学建模提高高等数学教学效果的研究

黄刚+邹敏+马晴霞

摘 要 本文从高等数学教育的效果着手，提出一种根据学生所学专业不同、因材施教的教学方法，也就是把数学建模作为一种重要的教学手段。通过这种方法进行教学，可以更高效率的进行高等数学的教学。

关键词 高等数学教学 数学建模 分组教学 数学理论应用 理论实际结合

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.10.042

Abstract This paper starts from the effect of advanced mathematics education， proposed a teaching method according to the students majors， teaching students in accordance with their aptitude， that is， the mathematical modeling as an important means of teaching. Through this method， teaching can be more efficient to carry out the teaching of advanced mathematics.

Keywords advanced mathematics teaching； mathematics modeling； group teaching； application of mathematics theory； combination of theory and practice

0 引言

所谓素质教育，就是通过一系列教育手段提高学生的综合能力，从而提升其内在的价值也就是整体素质，最终目的是增强学生未来的竞争力，为社会输送更优质的人才。如何能高效率的进行高等数学的教学，是目前各大高校教育中的一道必答题。这里讲的高效率有两层含义，第一层是指如何让学生尽快掌握数学概念，理解各种数学知识，指的是学习速度；第二层含义指的是学生学习所能达到的深度，对数学知识的领悟程度，最终是否达到精通。而从目前的传统的高数教学来看，学生普遍反应学习缓慢，理解起来困难，几乎无法入门，更不要说精通了。这个现象是源于数学这门课程的特点。数学是一门理论性极强，对逻辑思维要求极高的学科，抽象是这门学科的最大特点。然而我们人类自身更愿意接触实际性的，形象性的东西，这就存在一个认知反差，因此大多数学生并不能顺利的从形象性思维跳跃到逻辑性思维，因此高数学习就成了一个老大难问题。所以我们这里给出一个可行的教学方法，从应用终端入手，将数学建模与高等数学教学相结合，从而提高高数教学效果，促进素质教育。

已经有一些初步的研究结果表明，通过数学建模相关的教学方法对高等数学教学有较好的促进作用，我们在本文中将对数学建模在教学中应用做更进一步的探讨。

1 从更深入的角度理解数学建模

我们要将数学建模有机的融入到高等数学的教学过程中，就需要让学生对什么是数学建模有个深刻的理解。

所谓数学建模的过程，就是用数学的语言对现实世界中某些实际对象进行描述，以期发现一些直观观察无法得到的规律。我们把在各行各业中，我们从事各种专业的生产生活中准备作为对象进行模拟的现象或者案例叫做原型（Prototype）。原型可以是看得见的过程，比如电心脏血流过程、建筑过程、金属加工等。也包括无形的过程，如人口增长、感冒传播流行过程、动物的昼夜节律等。对于这些原型的数学建模，首先我们要对原型进行特征提炼，将其抽象化。这个抽象的过程其实我们不光在数学上，在生活上也经常用到，比如照片、化石、地图等，都从一定侧面上反映了它所代表的事物，但是又有所不同，描绘了其一部分特征。在数学建模过程中所选用的模型需要有如下特征：（1）模型可以从某个方面对客观事物的某个或者某些属性进行概括。一个优秀的模型，必须能准确的描述原型的一定特征。（2）模型在建立的过程中，要充分考虑到原型内部和可能改变原型状态的因素。原型不是孤立存在的一个奇点，其内涵中包含了许多运转规则，并且受到外因的影响，这样我们建立模型的过程中，要把这些内容条理清晰的考虑在内，将主干部分抽提出来。（3）模型必须清晰的将原型运转过程中各个要素之间的关系展现出来。作为一个完备的模型，仅仅是将因素描述出来是不够的，要将这些因素之间的相互关系做数学的阐述。这个过程中就需要进行实验，也就是数学建模过程中所常见的数学实验。用合理的实验来获得模型所需要的一切信息，如公式中的参数等，才能完成模型的建立。而这个实验过程，就是我们准备在实际教学过程中让学生着重掌握的内容。以往关于数学建模的教学，经常是注重前面两点，而忽略了实验过程，所以收效有限。本文所倡导的数学模型相关教学过程则把实际的数学实验与模型建立放在更重要的位置。这样才能让学生在解决具体问题的过程中，更深入的掌握数学知识。

数学模型目前从不同的角度，有各种不同的定义。本文中所指的数学模型，是通过提炼准备描述的原型的某些特征，通过刻画和演绎推理，将实际问题转化为数学表达式的形式。在这个表达式中，我们可以通过检测其中的参数来获得一些相关于原型的信息，并且因为信息的简化，可以更容易将繁杂的过程简化成一个易于观察的对象，可以成为我们更深入的认识这一原型的工具，具有抽象化、准确性、演绎性、预测性的特点。

2 明确数学建模在数学教学中的定位

高等数学的教学发展多年，随着环境的变化，对数学教学的要求越来越高，这就给广大的高等数学教育人员提出了新的挑战。高等数学教学以前只传授书本上的知识，通过大量习题让学生一步一步的掌握数学知识。但是现在由于各种因素的影响，学生越来越难通过这样的方式来掌握数学原理，学习困难的同时会带来一定的惰性，很容易陷入“学不会，不想学”的怪圈；学生学得吃力，教师也教得吃力，很多教学人员会感慨，“学生大不如前了”。于是一再降低教学难度，以期让学生可以理解，但是这样依然是一个恶性循环，学习的内容和深度降低，会对学生将来在实际工作中应用数学能力产生很大的影响，没有一个良好的数学背景对于学生来讲无疑是一个重大短板。因此，我们教育工作者需要思考一种更能被学生接受的教学方法，使得学生在未来的工作中可以将数学知识活学活用，真正让这门工具学科成为自己手里的武器，而不是横亘在眼前的绊脚石。

多年来，很多教育工作者在为了数学进行不同的尝试，数学建模的强化学习方法就是其中之一。这是一种很优秀的教学体系，具有很多传统教学方法所不具备的优点。数学建模的教学方法可以更贴近于学生所学专业的实际，学生会有更大的兴趣参与其中。高等数学是一门必修课程，绝大多数的学生非数学系本专业，没有特别强烈的数学学习兴趣。因此，如果只是简单地进行课堂教学，通过习题来掌握数学原理，学生会很不理解数学学习的目的，甚至会产生“这个课程跟我有什么关系”这样的想法。而通过数学建模与学生所学专业相结合，根据学生所处的专业选择合适的原型，让学生在解决问题的过程中巩固数学知识，可以让学生更深刻的认识到数学在自己学科实际中所起的作用。同时，根据联合记忆的原理，学生可以通过实际的数学实验过程更牢固的掌握所学的数学原理。换句话说，利用数学建模方式的教学，理应处在一个更高的优先级中，起码是应该和传统的教学方法平起平坐，做到从理论到实践，再从实践更深入的理解理论这个良性循环，从而促进高等数学的教学效率，不但提高知识的理解速度，还可以加强知识的理解深度。

3 数学建模方式教学的实施方法

通过数学建模的方法进行教学，这是一种创新性的尝试，对教师提出了更高的要求，需要对这一教学方法进行仔细的思索，寻找到真正合适的实施手段。我们可以按照如下方案实施：（1）分组进行学生协助教学。在数学建模这种方式中，我们需要压缩传统的教学内容时间，这样，是否能在有限的时间内对知识进行有效吸收就成为一个新的难题。如果片面的强调进行数学实验，基本原理都无法理解的话，极有可能得不偿失。所以我们可以将学生分成若干小组，小组不宜过大，以10人左右为宜。在从初期一些较为简单的课程中尽早进行适量的课堂测试，根据测试结果将每个小组中理解能力较强的学生设置为小组长。这样在今后的课程中，布置一些小组自帮活动，可以让没有十分透彻理解课上所学知识的同学首先通过询问更优秀的同学来获得解答。同时将来进行数学建模实验时候，整体发布指令之后，可以将各个小组长集中起来以小班教学的方式额外进行一些点播，再由他们来传递思想。通过这样让学生分组成为小老师的过程中，已经极大的提高了学生在高等数学教育中的参与度，参与度越高，学生就越有兴趣进行学习。（2）根据不同专业的学生提供不同的数学建模题目。数学建模的教学过程，自然是很大一部分时间是要进行数学建模实验，而实验题目需要根据学生所处专业进行特殊设计，这就要有足够的时间进行准备。所以，在进行教学之前应该尽早排出课程表，提前至少2个月时间让教师知晓下一学期所教授的学生隶属于什么专业，教师可以提前进行调研，明确应该选择什么样的数学建模课题进行实验。同时，安排课程根据教师团队的自身情况进行统筹，原则应该是任课教师更容易针对该专业进行实验方案的选择。（3）数学建模实验分组进行。教师在公布数学实验方案之后，由各个小组长组织组员一起对题目进行分析调研。数学实验对于学生来说是较为陌生的，教师可以先选择一两个案例作为样本，向学生阐述数学建模的过程，以及可以达到的程度。在这个基础上分组进行问题解决，组织讨论过程，逐步进行数学模型的完善。并且所出的问题可以由简单到复杂逐步进行，切合所学知识。最初的课题可以是简单并且有正确唯一答案的，随着学生能力的提升，可以给定一些无唯一最优模型的，由学生自行摸索和探究，各个小组可以通过组内讨论获得自己小组的最优模型，再和其他小组相比较，教师在其中可以参与分析和指导。这类没有唯一解的课题，可以让每组学生整理成文章的形式，详尽的阐明本组建立的模型的特点，以及可以解决或者预测怎样的情况，再由教师对他们的成果进行分析。

4 评价体系

由于采用了将数学建模融入传统数学学习中的教学方法，相应的评价体系也应该有所更新。学生的课外活动与实验增加的情况下，可以将考试分数所占的比重降低至50%以下或者更低，而将数学实验的完成程度作为考核标准。学生在建模过程中的表现以及论文撰写所体现出的参与度也应该有相应的体现，从而让学生有更高的兴趣参与到数学建模的教学中。

5 总结

综上所述，我们一线高等数学教学工作者可以通过数学建模的方式进行教学，提高学习效率，让学生更深刻理解数学学习的意义。在这种以实践为基础的教学过程中，不但学生会更好的将数学融入到自身专业课程中，教师也通过事先的调研对数学的应用有新的认识，真正实行教学相长，是一种行之有效的教学方法，值得我们广大教师尝试。

参考文献

[1] 叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融入高等数学课的教学中[J].工程数学学报，2003（8）.

[2] 常浩.数学建模思想方法融入“高等数学”课程的教学改革思路[J].高等理科育，2009（2）.

[3] 林昕茜.数学建模思想在高等数学教学中应用价值的研究[J].桂林电子科技大学学报，2009（2）.

[4] 郑宗剑，刘浏张，斌儒，数学建模和数学实验融入高等数学教学改革初探[J].四川文理学院学报，2012（2）.