课堂教学中的“缺位”现象与“补位”思考

苏教版数学教材共分三次编排了认识分数的教学，分别是三年级上册认识“一个物体”的几分之几（分数教学的“起始”课）、三年级下册认识“一些物体”的几分之几、五年级下册认识“单位‘1”的几分之几（分数意义的“结束”课）。三次教材编排结合了学生的年龄与心理特征和认知水平，具有明显的思维递进与逻辑上升，形成对分数意义建构的整体视角。下面便结合认识分数的教学观察，就“缺位”现象进行探讨与思考，与大家交流、分享，以求指正。

一、关注静态结果，过程路径“缺位”，用“思维对接”补位

概念教学，不能只关注作为结论呈现的静态抽象的本质属性，还需要特别关照数学概念在数学化过程中动态生成的过程操作。三年级上册第一次教学分数时，书写分数是基本目标之一。表面上看，书写作为“静态画面”呈现的分数能出现“极高的正确率”，便逐渐形成一种错觉：学生写出一个分数是件十分简单的事。于是，教学中教师对于分数的书写指导常常一带而过，忽略了分数书写过程的具体指导。细究分数的书写过程，受“从上往下、从前往后”等习惯性心理影响，常常先写分子再分数线（或先分数线再写分子），最后写分母。这种“只见分数、不见意义”的“书写与为什么书写”之间的脱钩，正是师本位的体现，是对学生视角的缺失。

事实上，“分数的书写过程是有‘序存在的，可以结合分数的概念形成，即分数的意义来进行。同时，学生对于分数的各部分名称的理解也能更到位”。比如：将一个物体平均分（写分数线）成3份（写分母“3”），每份（写分子“1”）是它的三分之一（整体感知 ），如下图。这种从意义出发的书写过程，与中国古代对分数 的描述“分三之一”高度一致，有效实现了过程与结果的思维对接。

可见，分数概念的教学过程中，一要关注学生的学习心理，在多了解学习的心理学的基础上，注重结果的正确，重视过程的适切，暴露思维的动态生成过程，在问题解决时将知识方法的过程性和结论性统整并“脉动”起来，既能看到正确的结论，又能捕捉到应用概念达成问题解决过程的思维轨迹。二要关注概念的生成逻辑，重视理解和记录表达的结合与沟通。概念的生成，有着其“个性化”的发展逻辑，概念的理解也具有一定的学生个体性的内化方式。在概念教学课中，可以从概念的本源出发，充分联系概念或对概念的理解范式进行数学思维语言的“外化”，充分结合与沟通所学概念的内涵，让表达与记录具备生长的力量感。基于此，在教学数概念等知识时，可以适时渗透数学史，让学生在创生新知的同时，“看到”知识的“成长”历程，明白概念表达的科学性与合理性，感受数学的精、简、美。

二、重视正向分析，反向思辨“缺位”，到“思维彼岸”补位

思维是有“方向序列”的心理活动，简单地可以分为“正向思维”和“反向思维”。反向思维可以看作是正向思维的“彼岸”，反映相反方向的另一面，常能在重要时刻起到关键作用，却也常因人们习惯于正向思维的表达而被忽视。在三年级下册学生第二次学习分数，要把一些物体看作一个整体平均分，此时的“每份”等价于“一个或几个”，实现个数与份数的明确“划界”，这是这一阶段学习的难点和疑点。为了进行突破，常会观察到这样的题组进行对比与追问：

出示“想想做做”第2题：

学生独立完成，同桌相互交流，集体校改。

强调：把（ ）看作一个整体，平均分成（ ）份……

追问1（并列呈现上面两小题）：每份都是1个物品，为什么一个是 ，一个是 ？

追问2（并列呈现下面两小题）：同样是把8个小看正方体作一个整体平均分，为什么一个是 ，而另一个却是 ？

追问3（并列呈现左边两小题）：为什么都是 ？

小结：把一些物体看作一个整体，平均分成几份，每份都是它的几分之一。每份的个数可能是1个，也可能是几个。

这一题组练习主要是熟练与规范思维方法，通过三次对比与追问，从三种不同的维度正向感受“分数与什么有关”，强化分数中分母与分子的具体所指。“学生同时解答题组中的各个小题，能及时对这些小题进行比较，如果找到相同的成分就可以‘认知组合，如果发现相异的因素就可以‘认知分化”。无论是“认知组合”还是“认知分化”，都能够较好地促进对所学知识内涵的深刻理解与外延的整体把握。上面的教学案例中，教师过于关注知识本质“认知组合”下的抽象与概括，却缺位引导学生对于非本质属性进行剥离的反向思维的经历。

所以，建议在此教学环节之后增加一个“反向思异”的追问环节，获得思维“反补”的机会：

追问4（并列呈现4小题）：看来，得到的分数与什么无关？

小结：分数与被平均分的“整体”和所取“部分”所包含的具体个数无关。

从“与什么有关”，到“与什么无关”，一正一反的两类追问，让学生系统、全面地经历了整体感知与理性思考，强烈地感受到无论怎么平均分，都与被平均分的总数的具体个数无关，而与这些总数“组成的整体”平均分时形成的份数和所取的份数有关，体验分数表示数量多少的相对性，较好地抽象出分数的概念，完整地经历了数学化的过程，把对分数的认知建构引向深邃。

三、局限课时设计，长程眼光“缺位”，在“思维盲区”补位

根据教学内容的不同，习题的设计在特定的阶段也有着特定的需求与要求。由于在小学阶段分数的概念教学分成三个阶段进行，所以每个节点的习题设计有着相对独立的考量与阶段递进要求，不但要符合学生相应的认识能力与水平层次，而且也要关注课时设计的“向前触伸、向后衔接、向内深化和向外拓展”，从而形成教学体系。只有“当我们从系统的观点认识概念时，概念教学才可能发生质的飞跃，从孤立的知识点走向有结构的整体。”否则，很容易形成思维盲区，影响学生对于学习内容的深刻把握，甚至造成理解上的思维定势与偏差。

1.三年级上册“一个物体平均分”：图形“完全分”向“非完全分”延展endprint

曾经多次在课堂上观察到这样的现象：在学生初步认识了分数后，教师出示一组判断题：下面的涂色部分是否表示 ，其中有如下图式。学生、甚至老师都很容易受图形的形状影响而错判涂色部分不能表示为 。实际上，通过教师用心添加辅助线后，便一目了然了。只是，基于三年级学生初学分数，此例有着较大的思维难度，远超学生的认知水平，出现时机过早，不适用。

抛开上例辅助线的“思维难度”，回到数学课堂中去，纵观数学教材与课堂习题设计，有两类设计是缺位的：第一类是教学过程中出现的都是“完全平均分好”的成品，第二类是平均分后的每份很少形状相同。见到学生获得此种思维拓展的机会，教师创设“非完全平均分”的图式情境缺位。

所以，建议在课尾增设类似下图的“看图写分数”的习题，启发学生感受、思辨，积累操作经验。一方面，根据学生的认知水平，“跳一跳”是能够找到正确答案，摘下思维的果子的。另一方面，这样的设计丰富了习题的思维层次，学生经历了“初看不平均分”到“细想平均分”的过程，走向了分数的本质内涵的理解：与每份的形状无关，只与大小（数量）有关。

2.三年级下册“一些物体平均分”：每份“整数个”向“非整数个”拓宽

在这一阶段，无论是教材的例题与习题，还是教师创编的练习设计，通过教学，学生都能轻松地把一些物体平均分成几份，并通过讨论发现每份可以是1个，也可以是几个，分子只与“取”的份数有关，而与具体个数无关，实现从具体到抽象的再次跨越。

只是，如果把三年级两次认识分数的教学联系起来建构，不难发现，分数的引入是从“一个物体平均分，每份不够1个”而“生长”出来，那么，到了第二次将一些物体平均分的时候，是不是也可以在平均分的过程中再次感受“每份不是正好几个”呢？毕竟“每份不是整数个”的情况在现实生活与学习中也是一种常会接触到的“常态”。所以，建议在原有基础训练的基础上，增添画图表示 的题组设计进行适当拓展，完成对常规习题的“补位”，实现对分数内涵把握的再次深入（如下图）。

3.五年级下册“单位‘1”平均分：从“部分与整体”向“部分与部分”渗透

早在2010年以前，特级教师唐彩斌曾做过这样的调查：在图中，你看到了什么分数？并得出数据统计。

为什么会出现这样的结论呢？纵观三个阶段的分数认识的教学，不难发现，都是用份数来定义的分数，所有的图像表征都是围绕“部分与整体”之间的份数关系（即倍比关系）进行的逻辑展开，还没有涉及“部分与部分”或“一个数量与另一个数量”之间的份数关系。所以，从某种角度上可以说：三次分数的认识是“一个数”内部本身的大小度量与规律特征。直到后续例2、例3教学了“部分与部分”之间的份数关系（如下上图），教学“分数与除法的关系”，此外在例4正式研究“一个量是另一个量的几分之几”，并在练一练中首次出现分子比分母大的分数的情况（如下下图）。那么，在前三个阶段教学分数概念的过程中，是否也有机会提前渗透，适时打破学生的思维局限与定势呢？拓宽对分数概念的开放性认识呢？

五年级下册“分数的意义”一课的教学是分数概念教学的结束课。此时学生已经积累了大量有关分数的经验，为了让学生完整地感知分数，不妨在课尾结束时增设“看图说分数”的习题“向后衔接”并“向内深化”，初步感知原来分数除了能表示部分与整体的份数关系，还可以用来表示部分与部分之间的份数关系，触及分数的商的定义形式，再次完成分数意义的整体认知建构。

当然，限于认识分数的阶段性，“涂色部分是空白部分的 ”或“空白部分是涂色部分的 ”都只需点到即止，一带而过；或者用渗透的方式结束全课：“这种说法到底对不对呢？大家可以在课后继续思考、相互讨论，今后我们将会进一步研究。”从而把对“数”的思考与兴趣从课内延伸到课外，提升课堂质感。

数学特级教师俞正强说：“当学生的数学学习发生困难时，回到源头去。一定是在某个时候，我们曾经省略了一段阳光。”这段被省略的“阳光”，需要我们教师用长程的整体视角去有效实现“补位”，通过研读教材建立整体性的观念，防止把节点性课堂教学与整体性知识脉络割裂，从而实现内涵的深入，以及外延的扩大。

（姚建法，常州市新北区新华实验小学，213127）

责任编辑：赵赟endprint