不等式恒成立解题策略

福建省沙县一中 黄仍洪

不等式恒成立解题策略

福建省沙县一中 黄仍洪

不等式 函数 高考

不等式恒成立是一类常见且重要的问题，这类问题因为既含参数又含变量，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点，在解题时对问题要有充分的认识理解，否则若理解偏差，或对问题的认识有误，都会导致解题错误，造成不必要的失分，本文结合教学实践就不等式恒成立的几类问题进行举例剖析，重点是分析它们的解题策略和注意事项与大家分享.

问题一注意所研究不等式恒成立的类型

例1（1）已知关于x的不等式x2+ax+1〉0恒成立，求参数a的取值范围.

（2）已知关于x的不等式ax2+ax+1〉0恒成立，求参数a的取值范围.

分析：本例中的两个小题都是一个关于x的不等式恒成立的问题，稍不注意都易把它们当成是关于x的一元二次不等式恒成立的问题，实际上问题（1）确实是一个关于x的一元二次不等式恒成立的问题，所以结合二次函数 f（x）=x2+ax+1的图像，必须整个函数的图像都在x轴的上方，从而只要Δ=a2-4〈0得到-2〈a〈2；

本例特别注意点是问题（2）的易忽略a=0.

问题二注意不等式恒成立转化中符号的影响

例2（1）已知不等式x2+ax+1〉0对一切x∈（0，+∞）恒成立，求参数a的取值范围.

（2）已知不等式x2+ax+1〉0对一切x∈（-2，2）恒成立，求参数a的取值范围.

本例应注意点是（2）在分离过程中自变量的取值对不等号方向的影响，也就是分离参数不等式转化过程中注意不等号的方向是否改变问题，若涉及符号变化，则应进行分类讨论处理.

问题三注意问题转化过程的含义和要求

例3（1）已知函数y=lg（2x2+mx+1)的定义域为R，求实数m的取值范围.

(2)已知函数y=lg（2x2+mx+1)的值域为R，求实数m的取值范围.

分析：本例中两小题从题目表面来看区别不大，但实际上在转化为恒等式的过程中还是存在很大的区别的.

问题（1）是函数的定义域为R，也就是不论x为何值，函数y=lg（2x2+mx+1)均有意义，所以不等式2x2+mx+1〉0恒成立，应满足Δ=m2-8〈0，得；而问题（2）是值域为R，根据对数函数性质，这时必须保证2x2+mx+1能得到所有的正数，所以结合二次函数的图像知，满足的关系是2x2+mx+1的最小值不大于0，于是有Δ=m2-8≥0得到或

问题四注意全称命题和特称命题成立的区别

例4（1）命题“∀x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命题，求出m的取值范围；

（2） 命题“∃x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命题，求出m的取值范围；

分析：命题“∀x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命题即对一切[-2，3]上的实数x，不等式恒成立；形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”是不等式恒成立问题中最基本的类型，其实质是不等式恒成立中最常见的问题“a≥f(x)在x∈D上恒成立，则a≥f（x）max（x∈D），a≤f（x）x∈D上恒成立，则a≤f（x）min（x∈D）”；因为f(x)=x2+2x+2在[-2，3]的最小值为1，所以命题“∀x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命题，则m的取值范围是m〈1.

命题“∃x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命题即在[-2，3]上存在实数x，使不等式成立；这是不等式成立中的另一类常见问题，存在x∈D，a≥f(x)成立，则 a≥f（x）min（x∈D）；存在x∈D，a≤f（x）成立，则a≤f（x）max（x∈D）；f(x)=x2+2x+2在[-2，3]的最大值为17，所以命题“∃x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命题，m的取值范围是m＜17即可.

问题五 注意f(x)〉g(x)恒成立与f(x1)〉g(x2)恒成立的区别

分析：f(x)≤g(x)恒成立问题转化为[f(x)-g(x)]max≤0恒成立；而f(x1)〈g(x2)恒成立问题转化为f(x)max〈g(x)min恒成立.

问题（1）解法：f(x)≤g(x)在x∈[0，1]恒成立在x∈[0，1]恒成立在x∈[0，1]上的最大值小于或等于零．

∵x∈[0，1]， ∴F'(x)〈0即F(x)在[0，1]上单调递减，

∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1．

问题（2）解法：对任意x1，x2∈[-2，2]，都有f(x1)〈g(x2)成立，等价于x∈[-2，2]，

∵f'(x)=x2-2x-3，令f'(x)〉0得x〉3或x〈-1；得f'(x)〈0．

∴f(x)在[-2，-1]为增函数，在[-1，2]为减函数．

问题六注意正确选用和理解问题中的参数

例6对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px〉4x+p-3恒成立，试求 x的取值范围．

分析：在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图像和性质解决问题，但若是一个含多个变量的数学问题时，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，才会使问题更加清晰明了；人们都习惯把x当作自变量，即这时的函数为y=x2+（p-4）x+3-p，于是问题转化为：当p∈[0，4]时，y〉0恒成立，求x的取值范围.解决这个问题需要用到二次函数以及二次方程的区间根原理，是相当复杂的.这时如果能适时地把主元变量和参数变量进行“换位”，往往会使问题降次、简化.一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.

解：设函数f(p)=（x-1）p+（x2-4x+3），显然x≠1，则f(p)是p的一次函数，要使f(p)〉0恒成立，当且仅当f(0)〉0且f(4)〉0时，解得x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

本例注意点是很容易把问题简单地等价转化为一个二次不等式问题，解题的关键是正确选用和理解问题中的参数.